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天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 1 量子力学与统计物理量子力学与统计物理 习题参考答案习题参考答案 量子力学常用积分公式量子力学常用积分公式 (1) dxex a n ex a dxex axnaxnaxn = 1 1 )0(n (2) )cossin(sin 22 bxbbxa ba e bxdxe ax ax + = (3) = axdxeaxcos)sincos( 22 bxbbxa ba eax + + (4) axx a ax a axdxxcos 1 sin 1 sin 2 = (5) = axdxx sin 2 ax a x a ax a x cos) 2 (sin 2 2 22 + (6) ax a x ax a axdxxsincos 1 cos 2 += (7ax aa x ax a x axdxxsin) 2 (cos 2 cos 3 2 2 2 += ) )ln( 2 2 22 caxxa a c cax x + (0a) (8)=+ dxcax2 )arcsin( 2 2 2 x c a a c cax x + (aa) (10) = 0 sin dx x ax 2 (0=an正整数) (12) a dxe ax 2 1 0 2 = (13) 121 0 2 2 !)!12( 2 + = nn axn a n dxex 注意：) 12(531!)!12(=nnL 表示阶乘仅取奇数 (14) 1 0 12 2 ! 2 + + = n axn a n dxex (15) 2 sin 0 2 2 a dx x ax = (16) + = 0 222 )( 2 sin ba ab bxdxxe ax (0a) + = 0 222 22 )( cos ba ba bxdxxe ax (0a) 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 3 第二章第二章 薛定谔方程薛定谔方程 1. 一维运动粒子处于 = )0(0 )0( )( x xAxe x x 的状态，式中0，求 （1）归一化因子 A； （2）粒子的几率密度； （3）粒子出现在何处的几率最大？ 解： （1）由波函数归一化定义，可得 1)()( 0 222 = dxexAdxxx x 由积分公式(11) 1 0 ! + = n nax a n dxxe可得 1 4)2( ! 2 3 2 12 2 0 222 = + A AdxexA x 求解，的得 2/3 2=A （2）粒子的几率密度 x exxxxP 223 4)()()( = （3）在极值点，由一阶导数 0 )( = dx xdP 可得方程 0)1 (24 23 = x exx 解得方程的根 0=x；=x；/1=x 即为极值点。几率密度在极值点的值 0)0(=P；0)(lim= xP x ； 2 4)/1 ( =eP 由于 P(x)在区间(0，1/)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/，)的一阶导数小 于零，是减函数，故几率密度的最大值为 2 4 e，出现在/1=x处。 2. 一维线性谐振子处于状态 tix Aetx 2 1 2 1 22 ),( = （1）求归一化因子 A； （2）求谐振子坐标x的平均值； （3）求谐振子势能的平均值。 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 4 解： （1）由积分公式(12) a dxe ax 2 1 0 2 = ，可得 = 0 22 2222 2dxeAdxeAdx xx 2 2 2 1 2 =A 2 A = 由归一化的定义 1= dx 得 =A （2） =dxxeAdxxxPx x2 2 2 )( 因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为 0，故 0=x （3） =dxxPxUU)()( =dxekx x2 2 2 2 1 = 0 2 22 dxex k x 由积分公式(13) 121 0 2 2 !)!12( 2 + = nn axn a n dxex ，或教材 P429 附录 I，可得 3 4 1 = k U 2 4 k = 将 2 =k、 h = 2 代入，可得 0 2 1 4 1 EU=h 即谐振子势能的平均值是总能量的一半，由能量守恒定律 UTE+= 0 可得，动能的平均值为 UEUET= 00 2 1 即动能平均值和势能平均值相等，也是总能量的一半。 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 5 3设把宽为a的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有 ，所以 03 )53(ar+=是最大值点。波尔理论预测 2s 态电子的轨道半径为 n2a0=4a0。 （2）2p 态电子的径向波函数 0 2 0 2/3 0 21 32 1 )( a r e a r a rR = 代入径向分布函数，可得 00 / 5 0 4 2 2 0 2 2/3 0 2 2021 2432 1 |)( ara r e a r e a r a rRrP = = 令 0 )( 21 = dr rdP ，可得 0 14 24 1 2424 4 000 / 0 5 0 4 / 0 5 0 4 / 5 0 3 = = + ararar e ara r e aa r e a r 所以，r 有三个解，即在 r=0，r=4a0，r=处，P12有极值。在 r=0 和 r=处，P12=0；所以 r=4a0 时，P12有极大值， () max21 4 0 /4 5 0 4 0 02 )( 3 32 24 4 )4( 0 rP ea e a a aP ar = 2p 态电子与波尔理论预测的轨道半径为 n2a0=4a0相同。 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 16 5求出氢原子 p 态电子（l=1）当 m=1 时的角分布几率，所得结果与旧量子论关于电 子沿确定轨道运动的概念是否一致？ 解：p 态电子在 m=1 时的角几率分布为 2 2 2 1111 sin 8 3 sin 8 3 | ),(|)(= i eYP 若电子沿确定轨道运动，即沿确定空间曲线运动，则电子只应出现在该曲线上。但上式 表明角分布几率与无关，电子不是分布在曲线上，而是分布在空间一个相当宽的区域。故 电子不是沿确定轨道运动，与旧量子论概念不一致。 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 17 第五章第五章 定态微扰论定态微扰论 原子的能级原子的能级 1. 一维非线性谐振子处于势场2/,2/)( 243432 kxcxbxcxbxkxxU+=， 求该 非线性谐振子基态的一级近似能量。 解：因一维谐振子的能量h += 2 1 nEn无简并，且 243 kxcxbx+，故可采用非简并 定态微扰论的相关结论。 一维非线性谐振子的能量算符 HHH+= 0 无微扰项 2/ 2 2 2 22 0 kx dx d H+= h 为线性谐振子的能量算符。解本征函数可得其基态波函数为 22 2 1 0 )( x ex = 由无简并定态微扰论的能量一级近似表达式dHE kk = * 及微扰项表达式 43 cxbxH+=，可得基态能量的的一级近似为 dxHHE 0 * 0000 = dxex c dxex b xx 2222 43 += 因第一项被积函数是奇函数，因此，该项积分为零，即 0 22 3 = dxex b x 第二项被积函数为 dxex c dxex c xx 2222 0 44 2 = （积分过程参见教材 p429 附录 I） 5 8 32 = c 4 4 3 c = 即 4 0 4 3 c E = 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 18 3. 有两个谐振子组成的耦合谐振子，其能量算符 21 2 2 2 1 2 0 2 2 2 1 )( 2 1 )( 2 1 xxxxppH+ = 式中 21x x为两谐振子的相互作用能量，可视为H 。试证： （1）此耦合谐振子的零级近似能量 0021 0 ) 1() 1(+=+=hhNnnE LL, 2 , 1;, 2 , 1 , 0, 2121 =+=nnNnn （2）此耦合谐振子第一激发态（N = 1）能量的一级修正 )2/( 0 h=E 证明： （1）采用定态微扰论，将能量算符表示为HHH+= 0 ，其中， 21 xxH=为微扰项 无微扰时的能量算符表示为 02012 2 2 0 2 2 2 1 2 0 2 1 2 2 2 1 2 0 2 2 2 1 0 ) 2 1 2 1 () 2 1 2 1 ()( 2 1 )( 2 1 HHxpxpxxppH+=+=+= 设耦合谐振子的波函数为),( 21 xx，无微扰时的定态薛定谔方程 ),(),( ),( ),( 21 0 21 02 21 01 21 0 xxExxHxxHxxH=+= 因算符 01 H仅与 x1有关、 02 H仅与 x2有关，波函数),( 21 xx可分离变量，令 )()(),( 2121 xxxx= 则前述方程可分离为两个独立的方程 )()( 1 01 1 01 xExH= )()( 2 02 2 02 xExH= 02010 EEE+= 每个独立的方程描述了一独立的一维谐振子，其能量 Lh Lh 2 , 1 , 0,) 2 1 ( 2 , 1 , 0,) 2 1 ( 202 02 101 01 =+= =+= nnE nnE 总能量 Lhh2 , 1 , 0,) 1() 1( 210021 02010 =+=+=+=+=nnNNnnEEE 天津大学电子信息工程学院 电子科学与技术 19 （2）当耦合谐振子处于第一激发态时，谐振子能量 001 2) 1(hh=+=NE。与该能量 对应的谐振子有两种可能的状态：1、谐振子 1 处于第一激发态，谐振子 2 处于基态，此状 态表示为 )()(),( 20112111 xxxx=； 2、 谐振子 2 处于第一激发态， 谐振子 1 处于基态， 此状态表示为 )()(),( 21102112 xxxx=。因此，第一激发态能级是二度简并的，应用 有简并定态微扰论求解能量的一级修改。 因简并度 f=2，因此，久期方程为22行列式，即 0 22 21 12 11 = EHH HEH 微扰矩阵元 22 2 0211 2 112111 * 1111 )()( dxxxdxxxdxdxHH = = 由于被积函数是奇函数，在对称区间上积分为 0，故 0 11 =H 同理 0