（黄冈名师）高考数学核心素养提升练四十六9.7利用向量求空间角和距离理（含解析）新人教A版.docx

核心素养提升练四十六利用向量求空间角和距离(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量,若cos=-,则l与所成的角为()A.30B.60C.120D.150【解析】选A.设线面角为,则sin =|cos|=,=30.2.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.【解析】选A.如图,连接AC,交BD于点O,连接C1O,过C作CHC1O于点H.因为CH平面C1BD,所以HDC为CD与平面BDC1所成的角.设AA1=2AB=2,则OC=,C1O=.由等面积法,得C1OCH=OCCC1,即CH=2,所以CH=.所以sinHDC=.3.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为()A.150B.45C.60D.120【解析】选C.因为=0,=0,所以由=+,两边平方得,=+2(+),所以= 62+42+82+268cos,所以cos=-,所以=120,因为二面角的大小为锐角,所以该二面角的大小为60.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为,则sin 的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.如图,以D为原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则O, C(0,1,0),C1(0,1,1),设=(0,0,1),所以=+=+(0,0,)=,容易得到平面A1BD的法向量为n=(-1,1,1),所以sin =,因为0,1,所以sin .5.(2018全国卷)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.【解析】选A.由于平面与每条棱所在直线所成的角都相等,所以平面与平面AB1D1平行或重合(如图),而在与平面AB1D1平行的所有平面中,面积最大的为由各棱的中点构成的截面EFGHMN,而平面EFGHMN的面积S=6=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60,则AD的长为_.【解析】如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴,y轴,z 轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2),设平面B1CD的一个法向量为m=(x,y,z).则由m=0,m=0,得到取z=-1,所以m= ,又平面C1DC的一个法向量为n= (0,1,0),由cos 60=,得=,即a=,所以AD=.答案:7.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=(01),则点G到平面D1EF的距离为_.【解析】如图所示,以射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则G(1,1),E,D1(0,0,1),F,=,=(0,1,0),=.过点G向平面D1EF作垂线,垂足为H,由于点H在平面D1EF内,故存在实数x,y,使=+x+y=,由于GHEF,GHED1,所以解得故=,所以|=,即点G到平面D1EF的距离是.答案:8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是_.【解析】建立如图所示的坐标系,令AB=1,则A(0,0,0),E,D1(0,1,1),B(1,0,0),C1(1,1,1),A1(0,0,1),F(1,t,s),平面D1AE的法向量为n=(x,y,z),则=(1,t,s-1),=,=(0,1,1),所以n=0,n=0,即令z=2,则所以n=(1,-2,2).又因为A1F平面D1AE,所以n=0,即1-2t+2(s-1)=0,即s-1=t-,所以=.由于n1=(1,0,0)是平面BCC1B1的一个法向量,且n1=1,所以cos=,记A1F与平面BCC1B1所成角为,则sin =,cos =,所以tan =,因为s=t+1,所以t,故t,所以tan 2,2.答案:2,2三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,PAD为正三角形,且E,F分别为AD,AB的中点,PE平面ABCD,BE平面PAD.(1)求证:BC平面PEB.(2)求EF与平面PDC所成角的正弦值.【解析】(1)因为PE平面ABCD,BE平面PAD,所以PEAD,BEAD,又PEBE=E,PE平面PEB,BE平面PEB,所以AD平面PEB,由四边形ABCD为菱形,得ADBC,所以BC平面PEB.(2)以E为原点,EA,EB,EP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨设菱形ABCD的边长为2,则AE=ED=1,PA=2,PE=,BE=,则点A(1,0,0),B(0,0),C(-2,0),D(-1,0,0),P(0,0,),F,=(-1,0),=(1,0,),设平面PDC的法向量为n=(x,y,z),则由n=-x+y=0,n=x+z=0,解得取z=1,得n=;又=,所以EF与平面PDC所成角的正弦值为=.10.(2018南宁模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PD平面ABCD,PD=AD=3,PM=2MD,AN=2NB,DAB=60.(1)求证:直线AM平面PNC.(2)求二面角D-PC-N的余弦值.【解析】(1)在PC上取一点F,使PF=2FC,连接MF,NF,因为PM=2MD,AN=2NB,所以MFDC,MF=DC,ANDC,AN=AB=DC.所以MFAN,MF=AN.所以四边形MFNA为平行四边形,即AMNF.又NF平面PNC,所以直线AM平面PNC.(2)取AB中点E,底面四边形ABCD是菱形,DAB=60,所以AED=90.因为四边形ABCD为菱形,所以EDC=90,即CDDE.又PD平面ABCD,所以CDPD.又DEPD=D,所以直线CD平面PDE.故DP,DE,DC相互垂直,以D为原点,如图建立空间直角坐标系.则P,N,C,A,B,D,平面PDC的法向量为m=,设平面PNC的法向量为n=,由n=0,n=0,得n=,所以cos=,所以二面角D-PC-N的余弦值为.(20分钟40分)1.(5分)(2018全国卷)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选C.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),所以=(-1,0,),=(1,1,),设异面直线AD1与DB1所成角为,则cos =|cos|=.【一题多解】选C.如图.连接A1D交AD1于点E.取A1B1中点F,连接EF,则EFB1D,连接D1F,在D1FE中,D1EF为异面直线AD1与DB1所成的角.由已知EF=DB1=,D1E=AD1=1,D1F=,所以cosD1EF=.2.(5分)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D.【解析】选B.因为三棱柱的底面面积为S底=,所以=AA1,所以AA1=.因为P为底面A1B1C1的中心,所以PA1=1,设PA与平面ABC所成角的大小为,所以tan =,所以=.3.(5分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_.【解析】如图,过E作EE1B1C1于E1,连接D1E1,过P作PQD1E1于Q,在同一个平面EE1D1内,EE1E1D1, PQD1E1,所以PQEE1,又因为CC1EE1,所以CC1PQ,因为CC1平面A1B1C1D1,所以点P到CC1的距离就是QC1的长度,所以当且仅当C1QD1E1时,所求的距离最小值为C1Q=.答案:4.(12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA底面ABCD,E,F分别为AB,PC的中点.(1)求证:EF平面PAD.(2)若PA=2,试问在线段EF上是否存在点Q,使得二面角Q-AP-D的余弦值为?若存在,确定点Q的位置;若不存在,请说明理由.【解析】(1)取PD中点M,连接MF,MA,在PCD中,F为PC的中点,所以MFDC,在正方形ABCD中,E为AB中点,所以AEDC,所以AEMF,故四边形EFMA为平行四边形,所以EFAM,又因为EF平面PAD,AM平面PAD,所以EF平面PAD.(2)结论:满足条件的点Q存在,是EF的中点.理由如下:如图:以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,则P(0,0,2),B(0,1,0),C(1,1,0),E,F,由题易知平面PAD的法向量为n=(0,1,0),假设存在Q满足条件:设=,因为=,所以Q,=,0,1,设平面PAQ的法向量为m=(x,y,z),由可得m=(1,-,0),所以|cos|=,由已知:=,解得:=,所以满足条件的点Q存在,是EF的中点.5.(13分)(2018济南模拟)如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG平面ADF.(2)求二面角O-EF-C的正弦值.(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【解析】依题意,OF平面ABCD,如图,以O为原点,分别以,的方向为x轴,y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(-1,1,0), B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).(1)依题意,=(2,0,0),=(1,-1,2).设n1=(x,y,z)为平面ADF的法向量,则即不妨设z=1,可得n1=(0,2,1),又=(0,1,-2),可得n1=0,又因为直线