27.1. 2 圆的对称性

2圆的对称性第2课时圆的对称性教学目标一、基本目标1理解并掌握圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形2理解同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系二、重难点目标【教学重点】圆的对称性、圆心角、弧、弦之间的关系【教学难点】利用同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系解决问题教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P37P39的内容，完成下面练习【3 min反馈】1圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心.2(1)在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等(2)在同圆或等圆中，如果两弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.(3)在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.3圆是轴对称图形，它的任意一条直径都是它的对称轴.4如图，在O中，若AOBCOD，则ABCD，；若，则AOBCOD，ABCD；若ABCD，则AOBCOD，.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，AB、DE是O的直径，C是O上的一点，且.BE与CE的大小有什么关系？为什么？【互动探索】(引发学生思考)根据圆心角、弦、弧之间的关系可得，再结合已知条件即可通过等量代换及同圆中相等的弧所对的弦相等得出结论【解答】BECE.理由：AODBOE，.又，BECE.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，应从同圆中圆心角、弦、弧之间的关系进行判断【例2】如图，A、B、C是O上三点，AOB120，C是的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由【互动探索】(引发学生思考)观察法：由AOB120，C是的中点，可想到连结OCOAACOCBCOB四边形OACB是菱形【解答】四边形OACB是菱形理由如下：如图，连结OC.AOB120，C是的中点，AOCBOCAOB60.又COBO，OBC是等边三角形，OBBC.同理可得，OCA是等边三角形，OAAC.又OAOB，OAACBCBO，四边形OACB是菱形【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理，作辅助线(连结弧中点和圆心)解决问题活动2巩固练习(学生独学)1如图，在O中，已知，则AC与BD的关系是(A)AACBDBACBDCACBDD不确定2如图，AB是O的直径，BC、CD、DA是O的弦，且BCCDDA，求BOD的度数解：连结OC.BC、CD、DA是O的弦，且BCCDDA，AODDOCBOC.又AB是O的直径，BOD180120.3如图，在O中，弦ABCD，那么AOC和BOD相等吗？请说明理由解：AOCBOD.理由如下：在O中，弦ABCD，AOBCOD，AOBCOBCODCOB，AOCBOD.4如图，AB、CD为O的直径，.求证：BDCE.证明：连结AC.，ACCE.AOCBOD，ACBD，BDCE.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知AB是O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CMAB，DNAB.求证：.【互动探索】求证，由弧、弦、圆心角的关系定理，考虑作辅助线连结OC、OD，从而通过证明COMDON来得到.【证明】如图，连结OC、OD.AB是O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，OMON.CMAB，DNAB，OMCOND90.在RtOMC和RtOND中，RtOMCRtOND(HL)，COMDON，.【互动总结】(学生总结，老师点评)在同圆或等圆中，如果两条弧(一般同为优弧或劣弧)、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)圆的对称性练习设计请完成本课时对应训练！第3课时*垂径定理教学目标一、基本目标1理解与掌握垂径定理及其推论2运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题二、重难点目标【教学重点】垂径定理及其推论【教学难点】利用垂径定理及其推论解决相关计算或证明问题教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P39P40的内容，完成下面练习【3 min反馈】1*垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.即一条直线如果满足：直线经过圆心O且与圆交于C、D两点；ABCD交CD于M.那么AMBMAB，.2垂径定理的推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.(2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图1)，此时的水面宽AB为0.6米，求此时的水深(即阴影部分的弓形高) 图1 图2【互动探索】(引发学生思考)要求此时的水深，即阴影部分的弓形高结合垂径定理，作辅助线(如图2)构造直角三角形求出CD长即可【解答】如图2，过点O作ODAB于点C，交O于点D，连结OB.根据垂径定理，得C是AB的中点，D是的中点，CD就是水深，则BCAB0.3米又由题意可知，ODOB0.5米，所以在RtOBC中，由勾股定理，得OC0.4米，所以CDODOC0.1米，即此时的水深为0.1米【互动总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD600 m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF90 m，求这段弯路的半径【互动探索】(引发学生思考)要求这段弯路的半径，可转化为求OC的长，结合已知条件，在RtOCF中利用勾股定理即可求得OC的长【解答】连结OC.设弯路的半径为R m，则OF(R90)m.OECD，CFCD600300(m)在RtOCF中，根据勾股定理，得OC2CF2OF2，即R23002(R90)2.解得R545.这段弯路的半径为545 m.【互动总结】(学生总结，老师点评)常用辅助线：连结半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形活动2巩固练习(学生独学)1如图，AB为O的弦，O的半径为5，OCAB于点D，交O于点C，且CD1，则弦AB的长是多少？解：弦AB的长是6.2一条排水管的截面如图所示已知排水管的半径OB10 cm，水面宽AB16 cm.求截面圆心O到水面的距离解：截面圆心O到水面的距离为6 cm.3如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是的中点，OE交弦AC于点D，若AC8 cm，DE2 cm，求OD的长解：OD3 cm.4有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB60 m，水面到拱顶距离CD18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由解：不需要采取紧急措施理由如下：如图，连结OM，设OAR m由题意知，在RtAOC中，ACAB30 m，CD18 m，由勾股定理，得R2302(R18)2，解得R34.又在RtMOE中，MEMN16 m，342162(34DE)2，解得DE4 m或64 m(不合题意，舍去)，DE4 m43.5，不需要采取紧急措施活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知O的半径为13，弦AB24，弦CD10，ABCD，求这两条平行弦AB、CD之间的距离【互动探索】画出几何示意图要求两条平行弦AB、CD之间的距离利用垂径定理求解作辅助线，构造直角三角形【解答】分两种情况讨论：当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OFCD于点F，交AB于点E，连结OC、OA.由题意可知，OAOC13.ABCD，OFCD，OEAB.又AB24，CD10，由垂径定理，得AEAB12，CFCD5，由勾股定理，得EO5，OF12，EFOFOE7. 图1 图2当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，过点O作OFCD于点F，反向延长OF交AB于点E，连结OC、OA.同理可得，EO5，OF12，EFOFOE17.综上，两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.【互动总