平面向量的数量积(14).ppt

柯桥中学高三数学组 何利民,第五编 平面向量,5.3 平面向量的数量积,1、数量积的定义：,其中：,注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.,2.性质:,基础自测 1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为( ) A. B. C. D.,C,2.若|a|=2cos 15，|b|=4sin 15，a，b的夹角为30,则ab等于 （ ） A. B. C. D.,B,3.已知a=(1,-3),b=(4,6)，c=(2,3)，则a（bc）等于 （ ） A.（26，-78） B.（-28，-42） C.-52 D.-78,A,4.向量m=(x-5,1),n=(4,x),mn，则x等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4,D,5.（2009江西文，13）已知向量a=(3,1), b=(1,3),c=(k,2),若（a-c）b,则k= .,0,题型一 平面向量的数量积,题型分类 深度剖析,1、用定义求数量积,2、用数量积的几何意义求数量积,3、建立坐标系求数量积,4、用基向量求数量积,A,B,C,2、已知O是ABC内部一点， 且BAC=30，则AOB的面积为（ ） A.2 B.1 C. D.,D,D,C,已知非零向量 与 满足 且 则 为 (A)等边三角形 （B）直角三角形 (B)等腰非等边三角形（D）三边均不相等的三角形,4.【06陕西卷】,题型二 利用数量积解决向量的平行,垂直,长度 和夹角问题,例2、06浙江卷,1、直接计算,2、关注题目所体现的几何背景,练习1、已知在ABC中， ,则O为ABC的（ ） A内心 B外心 C重心 D垂心,D,C,2,探究提高 （1）利用数量积求向量的模， 可考虑以下方法. |a|2=a2=aa;|ab|2=a22ab+b2; 若a=(x,y)，则|a|= .,（2）求向量的夹角利用公式 需分别求向量的数量积和向量的模.,4.知识综合运用,方法与技巧 1.数量积ab中间的符号“”不能省略，也不能用“”来替代. 2.要熟练类似（ a+b)(sa+tb)= sa2+( t+s) ab+tb2的运算律（ 、s、tR）. 3.求向量模的常用方法：利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算. 4.一般地，（ab）c(bc)a即乘法的结合律不成立.因ab是一个数量，所以(ab)c表示一个与c共线的向量，同理右边（bc）a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(ab)c (bc)a.,思想方法 感悟提高,失误与防范 1.零向量:(1)0与实数0的区别，不可写错：0a=00,a+(-a)=00,a0=00;(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系. 2.ab=0不能推出a=0或b=0,因为ab=0ab. 3.ab=ac(a0)不能推出b=c.即消去律不成立. 4.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中， 应为120,而不是60.,一、选择题 1.（2009宁夏文，7）已知a=(-3,2),b=(-1,0)，向 量 a+b与a-2b垂直，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 解析 a=(-3,2),b=(-1,0), a+b=(-3 -1,2 ), a-2b=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）. 由（ a+b）(a-2b),知4 +3 +1=0. =-,A,定时检测,2.已知向量a,b的夹角为120，|a|=1，|b|=5，则 |3a-b|等于 （ ） A.7 B.6 C.5 D.4,解析,A,3.设向量a与b的夹角为，定义a与b的“向量积”：ab是一个向量，它的模|ab|=|a|b| sin,若a=(- , -1), b=(1, )， 则|ab|等于 （ ） A. B.2 C.2 D.4 解析 |a|=|b|=2，ab=-2 ， cos = 又0，sin = |ab|=22 =2.,B,4.已知非零向量a,b，若|a|=|b|=1,且ab，又知 （2a+3b）(ka-4b)，则实数k的值为 （ ） A.-6 B.-3 C.3 D.6 解析 由（2a+3b）（ka-4b）=0，得2k-12=0, k=6.,D,5.（2009全国文，8）设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a,b等于 （ ） A.150 B.120 C.60 D.30 解析 a+b=c,|c|2=|a+b|2=a2+2ab+b2. 又|a|=|b|=|c|,2ab=-b2, 即2|a|b|cosa,b=-|b|2. cosa,b=- ,a,b=120.,B,6.在ABC中，已知a、b、c成等比数列，且a+c=3，cos B= ，则 等于 （ ） A. B. C.3 D.-3 解析 由已知b2=ac，a+c=3，cos B= ， 得 ，得ac=2. 则 =accos =2,B,二、填空题 7.（2009江苏，2）已知向量a和向量b的夹角为30，|a|=2，|b|= ，则向量a和向量b的数量积ab= . 解析 由题意知ab=|a|b|cos 30=2 =3.,3,8.设向量a,b满足|a-b|=2，|a|=2，且a-b与a的夹角为 ，则|b|= . 解析 由已知得 即 ab=2. 又|a-b|2=4=|a|2+|b|2-2ab， |b|2=4,|b|=2.,2,9.已知向量a=(x,1),b=(2,3x)，则 的取值 范围是 . 解析 本题考查数量积的坐标运算及均值不等式求 最值；原式= ，当x=0时，原式=0， 当x0时，原式=,当x0时，0 当x0时，0 综上所述，取值范围为 答案,三、解答题 10.已知点A（1,0）,B（0,1）,C（2sin,cos）. （1）若| |=| |，求tan的值； （2）若（ ） =1，其中O为坐标原 点，求sin 2的值. 解 （1）A（1，0）,B（0，1），C（2sin， cos）， =（2sin-1，cos）, =（2sin， cos-1）. | |=| |，, 化简得2sin=cos. cos0（若cos=0，则sin=1,上式不成 立）. tan= . （2） =（1，0）， =（0，1）， = （2sin，cos）， =（1，2）. （ ） =1，2sin+2cos=1. sin+cos= .（sin+cos）2= . sin 2= .,11.设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角. 解 由|m|=1，|n|=1，夹角为60，得mn= . 则有|a|=|2m+n|= |b|= 而ab=（2m+n）（2n-3m）=mn-6m2+2n2=- 设a与b的夹角为， 则cos = 故a，b的夹角为120.,12.在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、 b、c，且2sin2 +cos 2C=1. （1）求角C的大小； （2）若向量m=(3a,-b),向量n=（a,- ），mn，（m+n）(-m+n)=-16.求a、b、c的值. 解 （1）2sin2 +cos 2C=1， cos 2C=1-2sin2 =cos（A+B）=-cos C