换元法、分部积分法-2.ppt

,二、定积分的分部积分法,第四节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一 问题的提出（Introduction),我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有换元法，那么定积分是否也有换元法，有哪些不同？,在一定条件下，可以用换元积分法与分 部积分法来计算定积分.,不定积分的换元法,第二类换元公式,第一类换元公式,二、定积分的换元法 (Formula for Integration by Substitution),二、定积分的换元法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,说明:,2) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,3) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,4) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,1）换元的基本思路是方便有效地找出被积函 数的原函数。这与不定积分的换元思路相同。,例1：求积分,解：,令,当 x = 0 时，t = 0，,当 x = 8 时，,对换元法中的条件常用观测法加以验证。,在 0 , 2 上，,t = 2，,连续可导且单调，所以,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,几何意义,想一想，为什么不能取 t 的范围为,例3：计算,解：,例3. 计算,解：,注意被积函数在不同积分区间内的符号,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,例4. 计算,解:,原式,换元时，若不写出代换变量，则不要换上、下限。,例5.,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,例6：求,解：设,例7：求,解：,奇函数,例8. 计算,解:,原式,偶函数,单位圆的面积,证,（1）设,（2）设,证,证,例10：设,解：,例11 计算,解,令,原式,原式 =,解: (1)法一 记,并由此计算,则,即,例12. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：,法二：,与 a 无关,所以,(2),周期的周期函数,则有,二、定积分的分部积分法 (Formula for Integration by Parts),定理2.,则,证:,几点注记：,（1）使用定积分的分部积分公式的方法或技巧 同不定积分的情形完全相同，其目的还是要快 捷、方便地求出原函数。,（2）使用分部积分法不需要变换积分上、下限.,（3）分部积分法常与换元法结合使用。,例1. 计算,解:,原式 =,例2. 计算,解：幂函数与三角函数乘积的积分，可考虑用 分部积分法，设法去掉 x 。,例3,计算,解,去掉绝对值时注意分积分限,例4：设f (x)有一个原函数 ，求,解：,例5 计算,解,例6. 设 求,解:,例7. 证明,证: 令,n 为偶数,n 为奇数,则,令,则,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立 .,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限 配元不换限 边积边代限,思考与练习,1.,提示: 令,则,2. 设,解法1.,解法2.,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示: 两边求导, 得,得,3. 设,求,解:,(分部积分),备用题,1. 证明,证：,是以 为周期的函数.,是以 为周期的周期函数.,解：,2.,右端,试证,分部积分积分,再次分部积分