MATLAB7.0使用详解-第5章矩阵.ppt

第5章 矩阵,MATLAB为工程技术人员提供了方便、强大的数值计算功能。同一般的计算机语言不同的是，MATLAB是一种边解释边执行的语言，其风格更像数学语言，因此工程人员在利用MATLAB解决数学问题时，并不需要很多编程方面的知识，只需懂得基本的MATLAB语法即可。 MATLAB为用户提供了大量的数值计算函数，这些函数封装了一些常用的数值计算功能。利用这些数值计算函数，用户能够从繁琐的编程工作中解放出来，集中精力于问题的解决思路。 本书将数值计算分为三章分别讨论，包括本章及下一章的初等数值计算和第13章的高级数值计算。初等数值计算是数值计算的基础部分，包括矩阵的基本代数运算，矩阵分析、初等函数分析、数理统计分析，本章主要讨论与矩阵相关的矩阵基本代数运算、矩阵分析、稀疏矩阵等内容。,5.1 矩阵基本代数运算,矩阵是MATLAB基本的运算单元，矩阵基本代数运算是MATLAB数值计算最基础的部分，包括矩阵的加、减、乘、除四则运算、幂运算、比较运算和逻辑运算。 读者要特别注意矩阵的按位运算和矩阵运算的差别，矩阵的按位运算是对矩阵各元素的运算，而矩阵的矩阵运算是依据线性代数中定义的运算。 这里对本节所涉及矩阵的相关数学符号作一个统一，矩阵用大写字母表示，如、；矩阵的第行、列元素用带下标的小写字母表示，如、；表示的转置矩阵；表示的Hermite转置。,5.1.1 矩阵加、减,5.1.2 矩阵乘法,5.1.3 矩阵除法,矩阵除法是矩阵乘法的逆运算，MATLAB中的矩阵乘法算子有两种，如表。,5.1.4 矩阵的幂,5.1.5 矩阵的按位运算,矩阵的按位运算定义为矩阵各元素的运算，这是MATLAB中经常用到的一种运算方式。矩阵的按位运算符前面一般有一个（.）作为前导符，下面列出了矩阵的几种按位运算符。,5.2 矩阵分析,矩阵分析在解线性方程组、信号处理、控制理论等方面有重要应用，本节以求解线性方程组为切入点，引出MATLAB中矩阵分析相关的一系列内容，包括矩阵行列式、条件数，矩阵的秩，矩阵特征值和特征向量，矩阵分解，矩阵的谱分析等。,5.2.1 求解线性方程,信号处理、控制理论、物理学等领域中的很多问题都可以归结到下面的线性方程组,5.2.2 矩阵行列式,关于矩阵行列式的相关定义这里不作赘述，如有疑问，请参考任何一本线性代数方面的书籍。如N阶矩阵A的行列式不等于0，即时，称矩阵A非奇异，否则A奇异。当线性方程系数矩阵非奇异，则线性方程有唯一解。对N阶方阵A，MATLAB中由函数得到行列式，下面是求N阶方阵行列式的例子。,5.2.3 矩阵的逆,上一小节中，当线性方程系数矩阵A非奇异，即时，方程有唯一解，该唯一解由下式得到：x=Ab。这里的Ab定义为A-1*b，A-1为A的逆矩阵。A-1满足AA-1= A-1A=I。其中I为N阶单位矩阵。MATLAB中inv(A)求A的逆矩阵A-1。以下是逆矩阵应用的一些例子，这些例子也验证了前文给出的关于逆矩阵的性质。,5.2.4 矩阵条件数,5.2.5 矩阵范数,范数是从整体上描述向量或矩阵元素大小的度量，对MN矩阵A，常用的范数有以下几种：,5.2.6 矩阵的秩,5.2.7 矩阵特征值和特征向量,5.2.8 矩阵分解,矩阵分解通过将复杂矩阵表示成形式简单或具有良好数学性质（统称为简单矩阵）的组合，以便于理论分析或数值计算。通常矩阵分解将复杂矩阵分解为几个简单矩阵的乘积。中提到的EVD即是一种矩阵分解。表列出了一些常用的矩阵分解及其对应的MATLAB实现函数。,5.2.9 矩阵函数,5.3 稀疏矩阵,利用计算机对大型矩阵进行数值计算时，需要考虑的一个问题是存储和执行效率的问题。稀疏矩阵的提出，正是为了解决这一问题。从数学性质上看，稀疏矩阵与一般的矩阵没有差别，但在数据存储和执行算法上有着很大的不同。本节在讲述稀疏矩阵时，经常与一般矩阵作对比，使读者对稀疏矩阵的概念和使用方法有一个更加透彻的理解。本节中将一般的矩阵称为全矩阵（Full Matrix），以区别于稀疏矩阵。,5.3.1 稀疏矩阵与全矩阵,5.3.2 稀疏矩阵的创建与转换,MATLAB提供了一系列的函数用于稀疏矩阵的创建，如表所示。,5.3.3 稀疏矩阵的操作,一般地，能用于全矩阵的操作函数对稀疏矩阵都是有效的，并且具有相似的操作规则，如下： 下标寻访赋值函数。 用于矩阵拼接的函数，如cat，horzcat、vertcat、repmat，若输入参数中有一个为稀疏矩阵，则返回结果为稀疏矩阵。 矩阵变形函数，如ctranspose、flipdim、fliplr、flipud、reshape、rot90、transpose，这些函数都是单输入函数，若输入为稀疏矩阵，则返回结果也为稀疏矩阵。 矩阵结构信息函数，如isempty、isscalar、isvector、length、ndims、numel、size。 矩阵数据类型信息函数，如ischar、isfloat、isinteger、islogical、isnumer、icisreal，这些函数对稀疏矩阵输入同样返回稀疏矩阵。,5.3.4 稀疏矩阵的运算,一般矩阵的四则运算对稀疏矩阵都是有效的，但是返回结果有可能是稀疏矩阵或者是全矩阵，这要视具体情况而定。 对于单个稀疏矩阵的输入，很多函数都返回稀疏矩阵，但也有一部分函数返回全矩阵。 对于多个矩阵输