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第三章 行列式,3.1 行列式的定义 3.2 行列式的性质及应用 3.3 克莱姆（Cramer）法则 3.4 行列式的计算 3.5 应用实例 3.6 习题,3.1 行列式的定义,3.1.1 二、三阶行列式的定义 引入记号： ，称它为二阶行列式 其值规定为：,把 的连线称为二阶行列式的主对角线， 把 的连线称为二阶行列式的副对角线， 那么二阶行列式的值就等于主对角线上元素 的乘积减去副对角线上元素的乘积。 例3.2 在平面上有一个平行四边形OACB， A、B两点的坐标分别为： 、 ，如图 3.1所示，求平行四边形OACB的面积。,图3.1 二阶行列式等价于平行四边形面积 解：过点A做x轴垂线，交x轴于点E；过点B 做平行x轴直线与过点C做平行y轴直线相交于 点D。显然可以得到三角形CDB和三角形AEO 全等，则有： （3-2）,根据二阶行列式的定义，该平行四边形的面 积刚好是以A、B两点坐标所构成的二阶行列 式： 例3.3 求下面三元线性方程组的解：,解：利用消元法可以得到： （3-3） 当 之前的系数不为零时，可以解出 的值 但这个结果很难记忆，为此引进三阶行列式 的定义，我们称： 是一个三阶行列式,其值规定为： （3-4） 图3.2给出了它的图示计算规则（称为沙路 法）。 图3.2 三阶行列式的计算规则,有了三阶行列式的定义，我们可以把式（3- 3）写为： 当方程组（3-2）的系数行列式 时，可以得到它的解。,3.1.2 n阶行列式的定义 把三阶行列式定义式（3-4）改写为如下形 式： 则有： （3-5）,定义3.1 在n阶行列式中，划去元素 所在的 第i行和第j列元素后，余下的元素按原来次序 构成的n-1阶行列式，称为元素 的余子式 记作 ，称为元素 的代数余子式。 根据定义3.1，可以把式（3-5）变为：,定义3.2 由 个数组成的 阶行列式 是一个算式，当 时， ；当 时， （3-6）,3.1.3 行列式定义的进一步讨论 定义3.3 由n个自然数1、2、3、n组成 的一个有序数组，称为一个n元排列。 例如，1 2 3、132、213、231、312、321都 是3元排列。 在n元排列的n！个排列中，123n是唯一一 个按从小到大排列的n元排列，称为标准排列 （或自然排列）,定义3.4 一个排列中任两个数，如果排在前 面的数大于排在后面的数，则称这两个数构 成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为 这个排列的逆序数。 排列的逆序数记为 例如，五元排列25341，1和2、5、3、4有四 个逆序，4和5有一个逆序，3和5有一个逆 序，则排列25341的逆序数为4116。,定义3.5 （行列式的另一种定义方法）： 由 个数组成的 阶行列式： (3-7) 其中 是一个n元排列， 表示对 所有n元排列（n！个）求和。,例3.4 写出四阶行列式中含有 的项。 解：四阶行列式共有24项，其中含有 的项 为： ，我们只要分析列标排列 1x2y的各种情况，显然有1324和1423两种情况，1324逆序数为1，1423逆序数为2，则四阶行列式中含有 的项为： 和 。,3.1.4 矩阵与行列式的关系 矩阵是一个数表，而行列式是一个算式，即 它是一个值。 在比较两个矩阵是否相等时，不仅要求两个 矩阵同型，而且要求两个矩阵所有对应元素 相等。 而两个行列式是否相等，只需分析其值是否 相等。 矩阵是由一对方括号（或圆括号）括起，而 行列式是由一对竖线括起。,矩阵的行数和列数不做任何限制，而行列式 的行数与列数必须相等。 当讨论的矩阵A是方阵时，把A的一对方括号 去掉，加上一对竖线，就变成了行列式，我 们把这个行列式称为方阵A的行列式， 记作： 或 。,例3.5 证明n阶下三角矩阵 的行列式 。 证明：用数学归纳法证明，当 、 时，结论显然成立。 假设结论对 阶下三角行列式成立，则由定义3.2得：,右端行列式是 阶下三角行列式，根据归 纳假设得： 同理可证，n阶对角矩阵的行列式（也称n阶 对角行列式）,3.1.5 行列式按行（列）展开 定理3.1 n阶行列式D等于它的任一行（列） 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， 即： 或：,例3.6 计算行列式 解：此行列式第3列只有一个非零元素，故应 把行列式按第三列展开。得到的三阶行列式 中的第3列又只有一个非零元素，再得：,3.2 行列式的性质及应用,3.2.1 行列式的性质 性质1 行列式 与它的转置行列式 相等。 行列式的转置和矩阵的转置概念相同。 如：,性质2 互换行列式的两行（列），行列式变 号。 如： 推论1 如果行列式有两行（列）完全相同， 则此行列式为零。 推论2 n阶行列式D的任一行（列）的各元素 与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积 之和等于零，即：,或： 例3.7 已知四阶行列式 ， 求 ，（其中 为行列式D 的代数余子式）。 解：可以先求出行列式D的第四行各元素的代 数余子式，然后再进一步求得题目的答案。 也可以利用代数余子式的性质来分析此题。,构造行列式 ，行列式 按第四 行的展开式，刚好就是,性质3 用数k乘以行列式D，等于D中某一行 （列）的所有元素同乘以数k。 如下等式中，把数3乘到了行列式的第二列 中： 推论1 行列式某一行（列）中所有元素的公 因子可以提到行列式的外面。,推论2 如果行列式的任意两行（列）对应元 素成比例，则行列式为零。 下列行列式的第一行和第三行所有对应元素 成比例，故知： 性质4 行列式可以按某一行（列）拆分成两 个行列式之和。,具体拆分方法用4阶行列式说明如下： 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘 以同一数后加到另一行（列）对应的元素上 去，行列式值不变。如：,3.2.2 方阵行列式的性质 设A、B为n阶方阵，k是数，根据行列式的性 质可以得到方阵的行列式有如下性质： （1） （2） （3） （4） （5）,3.2.3 方阵可逆的充要条件 定义3.6 设矩阵 ,且 的代数 余子式为 ，则称矩 为 的伴 随矩阵。记为 ，或 。,伴随矩阵的重要性质： 定理3.2 n阶方阵 为可逆矩阵的充要条件 是 。当 可逆时， 。 证：充分性，当 时， 知 故结论成立； 必要性， 设 可逆，有 ，两边同取 行列式 ，故,推论 若 和 为同阶方阵，且满足 ， 则 ，即矩阵 和矩阵 互逆。 例3.8 判断三阶方阵 ，是否可逆； 若可逆，求 解：因为 ，所以 可逆。 中各元素的代数余子式分别为,则： 例3.9 设 为n阶可逆方阵， 证明（1） 也是可逆矩阵且 （2） 证：（1）因为矩阵 为可逆方阵，则 又根据伴随矩阵的性质,知 ，故 是可逆矩 阵且 （2）对等式 两边取行列式， 有 又因为矩阵 为可逆方阵，则 故有,3.3 克莱姆（Cramer）法则,讨论用行列式来求解含有n个方程n个变量的 线性方程组 （3-7） 方程组（3-7）也可以写成矩阵形式： （3-8）,其中： 行列式 ，称为方程组（3-7）的系数行 列式。 定理3.3（克莱姆法则） 若方程组（3-7）的 系数行列式 ，则该方程组有唯一解： ， ， ， （3-9）,其中 是把 中第 列的元素用 方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列 式，即： 第 列 定理3.3的逆否定理为：如果线性方程组（3- 7）无解或有超过一个以上的解，则它的系数 行列式必为零。,把常数项全为零的线性方程组 称为齐次线性方程组； 把常数项不全为零的线性方程组 称为非齐次线性方程组。 推论1 对于nn齐次线性方程组 ，当 系数行列式 时， 只有一个零解。 推论2 若nn齐次线性方程组 ，有 非零解，则必有 。,例3.10 已知齐次线性方程组 有非零解，问 应取何值？ 解：根据推论2，知方程组系数行列式必为 零，故有： 得： 或,3.4 行列式的计算,3.4.1 行列式的笔算技巧 主要的方法是把矩阵变换为行阶梯形（三角 形），然后计算其主对角线元素的连乘积； 其次是充分利用含零元素较多的行或列进行 展开； 其他还有加边法、公式法、递推法、数学归 纳法等等。,例3.12 计算四阶行列式 解：利用行列式性质把行列式化为三角行列 式（性质法、三角化法）,例3.13 证明： 证：利用行列式性质及行列式按列展开（性 质法、展开法）,此例中的四阶行列式，称为四阶范德蒙 （Vander Monde）行列式, n阶范德蒙行列 式为：,例3.14 计算n阶行列式（空白处都为零） ： 解：其中只有n个非0元素，这n个元素之积正 是行列式唯一的非零项，再由列下标全排 列（n-1,n-2,2,1,n）的逆序数确定该项的 正负。,例3.15 计算5阶行列式： 解：由分块矩阵行列式公式： 则得,例3.16 计算5阶行列式： 解：该行列式称为三对角行列式，通常可以 用递推法来求解,例3.17 设 ， 均为n阶方阵， 求： 解：由于 ， 则有：,例3.18 设矩阵 ， 矩阵 满 足： ，其中 为单位矩阵， 是 的伴随矩阵，求 。 解：由于 ，则存在 ，且有 即有： 两边取行列式，有： 而 则,例3.19 设 ， 为三阶方阵且 ， ，求 。 解：根据分块矩阵的乘法概念，有： 则,3.4.2 用MATLAB计算行列式 考虑的问题主要是计算速度和计算精度问题 一初等矩阵的行列式 对于第一类初等矩阵E1，即行交换变换，它 的行列式等于-1。 det(E1)=-1 (3-11) 对于第二类初等矩阵E2，即行数乘变换，它 的行列式等于k。 det(E2)=k (3-12） 对于第三类初等矩阵E3，即行的乘加变换， 它的行列式仍等于1。det(E3)=1 (3-13）,二把方阵变换为上三角矩阵LU分解 如果不考虑出现基准元素为零或很小的情况 时，连第一类初等变换都用不到。这样，通 过N=(n-1)2/2次使用第三类初等矩阵E3，就 可以把主对角线左下方的N个元素全变为零。 写成 (3-14） 其中U是一个上三角矩阵，所有的E3矩阵也 是上三角矩阵。,由于初等变换矩阵都是可逆的，其乘积也是 可逆的，设其逆矩阵为L，它应该是一个下三 角矩阵，于是此式可写成 (3-15） 这种把矩阵A通过第三种初等矩阵左乘分解为 一个下三角矩阵和一个上三角矩阵乘积的变 换称为LU变换。 其中下三角矩阵L的行列式为1，因而上三角 矩阵的行列式就等于原矩阵的行列式，即 det(A)= det(L)*det(U)= det(U),在实际工程中为了保证计算结果的精度，计 算软件在做行阶梯变换时还是要把基准元素 取为每列的绝对值最大项，所以还是使用了 行交换变换。因为其行列式等于-1，每多一 次交换，就改变一次符号。它并不影响行列 式的绝对值，但影响其正负号。 另外在(3-14）式左端的连乘积中，多了若干 个交换矩阵。会使得最后的下三角矩阵L不那 末标准，各行有些颠倒，常常称之为准下三 角矩阵。,MATLAB提供了矩阵的三角分解函数lu.m， 其调用格式为： L,U=lu(A) 它返回的结果就是一个准下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U。因为这个函数并不专为行列式 计算之用，有一定的普遍性，所以它不限定A 为方阵。 另一种调用格式能同时给出真正的下三角矩 阵L和交换矩阵P,其形式为： L,U,P = lu(A) 此时，它满足 P*A = L*U （3-16）,三求出上三角方阵的行列式 由(3-15）式知道，det(U)决定了det(A)的绝 对值。因U是一个上三角矩阵，它的行列式为 其对角元素的连乘积。 在不计正负号的时候，可以写出： 用MATLAB语句表示为 D=prod(diag(U),在必须知道行列式的正负号时，必须知道lu分 解过程中进行了多少次交换，每一次交换就 改变一次正负号。 lu子程序没有给出这个数据，所以解决不了问 题。其实MATLAB已经把上述过程集成在一 起，给出了直接计算方阵行列式的函数det.m 其调用格式为： D=det(A) 这个函数要求输入变元必须是方阵,3.5 应用实例,3.5.1 用LU分解计算行列式 例3.14 用化简为三角矩阵的方法求下列矩阵 的行列式 解：列出程序： A10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,8,7,4,0;9,4,2,9,1; L,Ulu(A), % 分解为上三角矩阵U和准下三角矩阵L dU diag(U); % 取上三角矩阵U主对角线上元素向量,Dprod(dU) % 求主对角元素的连乘积 程序运行的结果如下： dU 10 4.8 10.625 9.4824 1.2349 D 5.9720e003 5972,3.5.2 行列式奇异性对计算精度的影响 例3.15 设线性方程组 中， 是一个6阶 的hilbert矩阵，就是说它的下标为(i,j)的元素 值为1/(i+j-1)，系数A,b1及其增量b2=b1+b 如下： 计算解x1,x2，分析两个解的差与系数差 之间的关系。,解：用MATLAB写出程序ea344如下： A=hilb(6), b1=1;2;1;1.732;1;2; b2=1;2;1;1.7321;1;2; x1=inv(A)*b1, x2= inv(A)*b2 dx=x2-x1, db=b2-b1 程序运行的结果为：,由于系数b的万分之一的变化，引起解x的误 差dx最大可达近400。 主要因为行列式D=det(A)很接近于零。本题 中的矩阵系数是hilbert矩阵，它的主要特点就 是行列式很接近于零。这样的矩阵方程，我 们就称之为病态的，或很接近于奇异的，对 它的解是否正确，要保持一定的怀疑。 为了定量地分析解的误差和可信度，应该用 相对误差做标准。b的相对误差是 x的相对误差是,两者之间是以条件数(Condition Number)相关 联的，条件数与行列式有关，它随着行列式 的减小而减小： （3-17） 例3.16 设 ，求其逆阵V 解：输入A的数据后，键入Vinv(A)，程序 为： A=-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9, V=inv(A),运行后得到警告信息： Warning: Matrix is close to singular or badly scaled Results may be inaccurate. RCOND 6.042030e018. det(A)=0，故它是一个奇异矩阵，其逆不存 在。在用数值方法求矩阵的逆时，由于计算 中存在方法和截断误差，故矩阵是否奇异， 结果不是绝对的。为了评价矩阵接近“奇异”的 程度MATLAB用了“逆条件数”作为衡量指标。,3.5.3 用逆阵进行保密编译码 把消息中的英文字母用一个整数来表示。然 后传送这组整数。 例如“SEND MONEY”这九个字母就用下面九 个数来表示； 5,8,10,21,7,2,10,8,3。5代表S，8代表 E，等等。 这种方法是很容易被破译的。在一个很长的 消息中，根据数字出现的频率，往