二元Freund型指数分布的特征及参数估计.doc

二元freund型指数分布的特征及参数估计第27卷第5期2011年10月大学数学collegemathematicsvo1.27.no.5oct.2011二元freund型指数分布的特征及参数估计李国安(宁波大学数学系,宁波315211)摘要利用分布密度分拆的思想,导出t2ifreund型指数分布的一个特征,利用该特征,获得了二元freund型指数分布参数的最大似然估计及矩估计,还给出了强度服从二元freund型指数分布时并联结构系统的可靠度估计及模拟.关键词freund型;二元指数分布;特征;最大似然估计;矩估计;可靠度;模拟中图分类号o212.4文献标识码a文章编号16721454(2011)05004804freund1于1961年引入了如下的二元指数分布1exp一;2一(1+2一)z1,0z1<z2,px1,x2(xl,z.一12expez一(1+.一:)z2,ozz,它是第一个一元指数分布的二元推广,关于它的特征及参数估计研究就显得有一定意义.本文在第1节给出了二元freund型指数分布的特征及参数估计,在第2节给出了强度服从二元freund型指数分布时并联结构系统的可靠度估计及模拟.1二元freund型指数分布的特征及参数估计称(x,y)服从二元freund型指数分布的随机变量,指它有如下的密度函数:p,cz,=;二三二:二;:记作(x,y)fbved(x,a2,a:,).设z=min(x,y),设j一1,当x<y时,设i-2,当xy时;记p一p(ii)(一1,2),f()表示给定i=i时z的条件密度函数;记pf(2)表示(z,d的联合密度;记p厂(z)厂一l(z)表示(z,lx-y1)的联合密度.有如下的引理:引理1设(x,y)fbved(a,2,),则有f户1f1()一1e-u12k,z>o,i2f2()一2e-u12,z>o.证直接计算可得.弓i理2设(x,y)fbved(a,:,;),贝4有fp1f1(z),一y1(z)=/t1/;exp-(1+z)2z,x>o,z>o,【2f2()厂1一yi(z)一2expe-(+2)一z,x>0,z>o.证直接计算可得.定理1(x,y)-fbved(a1,2,:,;)当且仅当pp(j=)一_ai,:1,2,这里i=11+2.且(1)收稿日期2008一li一06;修改日期20090219第5期49(2)同时满足:(i)给定i-1时,z与yx相互独立,且ze(),yxe(a;);(ii)给定1=2时,z与y相互独立,且ze(),xye().证直接验证可得.定理2设(x,y)fbved(a-,z,:,:),(,yj)(=1,2,)为它的样本,那么参数,;最大似然估计及矩估计均为一=,i=l,2;zw2ywfxy这一00一,:,一,【,xy,i,x<y,一一,wixyl一证由由此得,wfxy1一ewa上1+a2,1,2,ez1,ewew1ixyf一,.得zfxy,wia土1-ka,12z1+2,i一1,2,w1xylwlxyizv,z一:一;一wfxyixy接下来证明,z,;分别是对应参数的最大似然估计.由(,fxjyji)(一1,2,)的似然函数l(1j(+2)(+2).exp【-一(+z)一(w,一j);一(vixjj1nl一()l+()lm.:+(妻,jxiyjj);+(zfxj一j):一(-ka:)zj.904alnl=.,alnl一.,可31nl=.,可31nl一.可得本定理结论.),(1)lj一一=ij一50大学数学第27卷2强度服从二元freund型指数分布的并联结构系统可靠度估计及模拟考虑由两个结构单元a和a并联组成的系统a7,设a和a.的强度(x,x)fbved(11,a,:),系统a所承受的应力x服从指数分布e(b),其密度函数为g()一bexp(-bx),(z>0),其中6>o是未知参数.x的分布函数记为g(z).又设应力与强度相互独立.上述假定称为模型ma.以上并联结构系统a的可靠度为pap(max(x1,x2)>x)=ip(max(x1,x2)>z)dg(x)一j.lexp(一;z)+exp(一)lbexp(一bz)df._去xp(一(+)z)jbexp(一6z)dzj.l干_=干xl一(十)z)(一dz)dz20一瓦十:+:;(+2一)(+6)(+2-11;)(1+一;)(+2+6)设有来自(x,x,x)的样本(x,x,x)(z=1,2,).记一x,则p的估计为=1pa一一一一一一.一+一一一一:(+一:)(:+妻)(+;)(+妻)+z:)(+z).;l(+.+)类似文7,我们不加证明直接给出p的如下的统计性质.定理3在模型ma的条件下,有(i)pa三pa(一c3);(ii)q(pa-pa)n(0,d)(n-),模拟过程及结果如下:根据定理1,先独立地产生四组容量均为500的(0,1)上均匀分布的伪随机数:1,f2,(=1,2,3,4;一500).然后将它们转换成二点分布b(1,竽)及参数为,和的指数分布的伪随机数,也可独立地产生四,组容量均为500的分别服从二点分布b(1,)及参数为:,;和的指数分布的伪随机数,i1,i2,i(一500),a】,n2,n(:500).若i,一0若i,一1j=500j=500b1,b2,b(一500),1,2,(一500).,则取w1j一1,w2j一0,x1j,xv一6j+zj(一500);,则取wio,wzi一1,x1i=ai+zi,x2izjj=500).可产生服从fbved(11,:,:)的伪随机数(zl1,21),(12,z22),(1,x2)(n-500).独立地产生一组容量为500的服从参数为b的指数分布的伪随机数z1,z2,x(一500).依的公式计算p的值,依公式(1)及的公式获得结果;将上述过程重复100次,计算平均值.具体模拟时参数值取为11.65,21.45,;:1.25,一1.05,61.2,则pa一0.5407372251;其模拟结果为一,一一1.643283445,21.462085507,:一1.240117302,;一1.053438361,pa:0.5453028264.第5期5l12r3-45678参考文献freundrj.abivariateextensionoftheexponentialdistributionj.j.amer.statist.assoc.,1961,56(4):971977.weinmandg.amultivariateextensionoftheexponentialdistributionj.ph.d.thesis,arizonastateuniversity,1966.marshallaw.olkiniamultivariateexponentialdistributionj.j.amer.statist.assoc.,1967,62(1):3o一44.johnsonnl,kotzs.distrilutioninstatistics:continuousmultivariatedistributionsm.johnwiley&sons,1972:26o一272.blockhwandbasuap.acontinuousbivariateexponentialextensionj.j.amer.statist.assoc.1974,69(4):10311037.proschanfandsullop.estimatingtheparametersofabivariateexponentialdistributioninseveralsamplingsituationsa.inreliabilityandbiometry,statist,analysisoflifelengths(f.proschanandr.serfling,eds.),philadelphia:s.i.a.m.,1974,423440.叶慈南.强度为mobve分布时并联结构系统可靠度的估计j.高校应用数学,2000,15(4):484490.李国安.二元weinman型指数分布的特征及其应用j.数学研究与评论,2005,25(2):33734o.characterizati0nandparameterestimationofthemultivariateexponentialdistributionoffreundliguoan(departmentofmathematics,ningbouniversity,ningbo,315211,china)abstract:byusingpartitioningtechniqueofdistributiondensity,acharacterizationofthebivariateexponentialdistributionoffreundarederived,usingthischaracterization,themaximumlikelihoodestimatorsandthemomentestimatorsofparametersofthefreundtypesbivariateexponentialdistributionareobtained.moreover,theestimatorofreliabilityforparallelstructuralsystemwithstrengthhavingthefreundtypesb