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文档简介

6.6 方向导数与梯度,6.6.1 方向导数,6.6.2 梯度,函数的增量f (x+x，y+y)f (x，y)与P、P两点间的距离即,1 方向导数的定义,设函数z=f (x，y)在点P(x，y)的某一邻域U(P)内有定义，自点P引射线l。设x轴正向到射线l的转角为,并设P(x+x，y+y)为l上的另一点（如图）且PU(P)。我们考虑,6.6 方向导数与梯度,6.6.1 方向导数,当P沿着l 趋于P时，如果这个比的极限存在，,则称这极限为函数f (x，y)在点p沿方向l的方向导数, 方向导数与偏导数之间的关系,（1）从定义可知，当函数f (x，y)在点P(x，y)的偏导数fx 、fy存在时，,函数f (x，y)在点p沿着x轴正向e1=，,y轴正向e2=，的方向导数存在,且其值依次为fx ，fy.,函数f(x，y) 在点P沿x轴负向e1=，),y轴负向e2=，的方向导数也存在,且其值依次为fx ，fy 。,（2）即使沿任何方向的方向导数都存在，也不能保证fx 、fy存在,例如,但fx(，) 、fy(，)不存在。,在点(，)处, 方向导数的计算方法,注,解,推广可得三元函数方向导数的定义,解,令,故,方向余弦为,故,1 梯度的定义,定义6.6.2 设函数z=f (x，y)在区域D内具有一阶连续偏导数，则对每点P (x，y)D，都可定出一个向量,这个向量称为函数z=f (x，y)在点P(x，y)的梯度，记作:,注,(ii)对于三元函数可类似地定义:,(i) 梯度是一向量。,6.6.2 梯度,2 梯度的性质 （与方向导数的关系）,且最大值为梯度的模,经过与二元函数的情形完全类似的讨论可知，三元函数的梯度也是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。,结论： 函数z=f (x，y)在某点P (x，y)处沿梯度方向的方向导数最大（函数增长最快），而它的最大值为梯度的模。,例3 求函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在点M0(1，1，2)处方向导数的最大值，及M0在取得方向导数最大值的方向与坐标轴夹角
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