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第五章 函数、导数与积分等 的数值计算,函数值、多项式、导数、定积分、二重积分、非线性方程（组）、级数的计算,1.函数值的计算,解： x=pi/6; y=sin(x)+sin(2.*x)+sin(3.*x); x,y x = 0.5236 y = 2.3660,解： x=1:2:5;y=2:2:6; z=log(x.2+y.2)+2.*x.*y.*tan(y./x); x,y,z x = 1 3 5 y = 2 4 6 z = -7.1307 102.3804 158.4400,2.多项式的计算,多项式的表示法：p=1,0,-12,5 多项式在给定点的值：p=4,-3,2,1; y=polyval(p,5) y = 436 多项式方程求根:roots p1=1,0,-12,5;p2=1,0,-12,20;x1i=roots(p1) x1i = -3.6562 3.2332 0.4230 x2i=roots(p2) x2i = -4.1072 2.0536 + 0.8075i 2.0536 - 0.8075i,多项式相乘：conv p1=5,-4,3,-2,1,-6;p2=1,0,-2,3; p3=conv(p1,p2) p3 = 5 -4 -7 21 -17 7 -8 15 -18 多项式相除：q,r=deconv(p1,p2) p1=5,-4,-7,21,-17,7,-8,15,-18;p2=1,0,-2,3; q,r=deconv(p1,p2) q = 5 -4 3 -2 1 -6 r = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p2=1,0,-2,5;q,r=deconv(p1,p2) q = 5 -4 3 -12 9 -32 r = 0 0 0 0 0 0 70 -94 142 qq=poly2sym(q) qq =5*x5-4*x4+3*x3-12*x2+9*x-32 rr=poly2sym(r) rr =70*x2-94*x+142,解： p=1,0,0,0;q=1,1,-2; a,b,r=residue(p,q) a = 2.6667 0.3333 b = -2 1 r = 1 -1,有理分式的分解与合并：a,b,r=residue(p,q),解： p=1,1;q=1,-6,11,-6; a,b,r=residue(p,q) a = 2.0000 -3.0000 1.0000 b = 3.0000 2.0000 1.0000 r = ,解： p=1;q=1,0,0,0,-1; a,b,r=residue(p,q) a = -0.2500 0.2500 -0.0000 + 0.2500 -0.0000 - 0.2500i b = -1.0000 1.0000 0.0000 + 1.0000 0.0000 - 1.0000i r = ,将简单分式之和并为有理分式,例6 a=2.6667,0.3333; b=-2,1;r=1,-1; p,q=residue(a,b,r) p = 1.0000 0 0 -0.0001 q = 1 1 -2,3.导数的数值计算,fx,fy=gradient(f, x, y) yx=diff(y)./diff(x) 例7 x=0:0.5:3;f=x.2;fx=gradient(f,0.5) fx = 0.5000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 5.5000,例8 x,y=meshgrid(0:0.2:1,0:0.3:1.5); f=x.2+x.*y; fx,fy=gradient(f,0.2,0.3);fx fx = 0.2000 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 1.8000 0.5000 0.7000 1.1000 1.5000 1.9000 2.1000 0.8000 1.0000 1.4000 1.8000 2.2000 2.4000 1.1000 1.3000 1.7000 2.1000 2.5000 2.7000 1.4000 1.6000 2.0000 2.4000 2.8000 3.0000 1.7000 1.9000 2.3000 2.7000 3.1000 3.3000,例9 x,y=meshgrid(-2:0.2:2); f=x.*exp(-x.2-y.2); fx,fy=gradient(f,0.2,0.2); contour(f) hold on quiver(fx,fy) hold off,4.定积分的数值计算,Simpson法：S,nf=quad(F,a,b,tol),解： function y=f(x) y=sin(x)./x; quad(simp11,1,10) S1 = 0.7123 nf = 65,例11 计算,解： function y=f(x) y=exp(-x.2/2); S2,nf=quad(simp12,-8,8) S2 = 2.5066 nf = 105,Newton Cotes法：S,nf=quad8(F,a,b,tol) 例12：同11。 解： function y=f(x) y=exp(-x.2/2); format long; S3,nf=quad8(Newton,-8,8) S3 = 2.50662827463083 nf = 168,例13 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。 解： 调用函数quad求定积分： format long; fx=inline(exp(-x); I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10) I =0.28579444254766 n =65,调用函数quad8求定积分： format long; fx=inline(exp(-x); I,n=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254754 n =33,5.二重积分的数值计算,矩形域上的二重积分：S=dblquad(F,c,d,a,b,tol),f=inline(sin(x+y),x,y); S=dblquad(f,-2,2,-1,1) S = 3.3307e-016,解： function z=f(x,y) global nf;nf=nf+1; z=sin(x+y); S=db1quad(simp21,-2,2,-1,1),nf S = 3.3307e-016 nf = 312,一般有界域上的二重积分 例15 计算 ，D为 与 所为成区域。,解： syms x y; f=exp(-x*x-y*y); y1=x*x;y2=2*x; S1=int(f,y,y1,y2); S2=int(S1,x,0,2); SS=double(S2) SS = 0.2652,例16 计算 ，D为 与 所围区域。,解： syms x y; f=sin(x+y)/(x+y); x1=y*y;x2=y+2; S1=int(f,x,x1,x2); S2=int(S1,y,-1,2); SS=double(S2) SS = 1.9712,6.非线性方程（组）的数值解,x=fsolve(fun,x0),解： function f=fun2(t) x=t(1);y=t(2); f(1)=x3-y2;f(2)=exp(-x)-y; t0=1,1; t=fsolve(fun2,t0) t = 0.6488 0.5226 f=fun2(t) f = 1.0e-006 * 0.2196 0.0321,解： function f=fun3(t) x=t(1);y=t(2);z=t(3); f(1)=x+y+z-6; f(2)=x+y*z+z*x-8; f(3)=exp(-x)+log(y)+z-2; t0=1,1,1; t=fsolve(fun3,t0) t = 2.6132 2.2877 1.0992 f=fun3(t) f = 1.0e-012 * 0.0036 -0.1998 -0.0868,7.级数的数值和,S=symsum(fn,n,n1,n2),解： syms n; fn=1/(n*n); S10=symsum(fn,n,1,10); Sinf=symsum(fn,