《光学信息处理》习题解答.pdf

光光 信信 息息 处处 理理 习习 题题 解解 答答 光学信息技术原理及应用习题解答 第 1 页 共 61 页 第一章第一章 二维线性系统分析二维线性系统分析 1.1 已知线性不变系统的输入为 )(comb)(xxg= 系统的传递函数为三角形函数)( b f 。若取（1） b=0.5; (2) b=1.5，求系统的输出)( xg，并画出 输出函数及其频谱的图形。 解：对于线性空间不变系统，设系统的脉冲响应为)(xh，输入函数表示式为)(xg，输出函数表示式为 )( xg，则 )()()( xhxgxg= 或 )()()( fHfGfG= 由)(comb)(xxg=知， + = = n nfffG)()(comb)(，所以 )()()( b f nffG n = + = + = = n nf b n )()( （1）5 . 0=b， + = = n xx nfnfG)()2()( ，因为1)0(=，0) 1(=， 所以， + = = n xx ffG)()( ，等式两边取傅立叶变换， 1)()( 1 = x fFxg。 )( xg的函数图形和频谱图如下： 图 1-1 图 1-2 光学信息技术原理及应用习题解答 第 2 页 共 61 页 （2）5 . 1=b， + = = n xx nf n fG)() 3 2 ()( )()0() 1() 3 2 () 1() 3 2 ( xxx fff+= )()1() 1() 3 2 ( xxx fff+= )()1() 1( 3 1 xxx fff+= )2cos( 3 2 1)()( 1 xfGFxg x += ，这里用到了)(x函数的偶函数性质。 )( xg的函数图形和频谱图如下： 图 1-3 图 1-4 1.2 若限带函数),(yxf的傅立叶变换在长度为 L、宽度为 W 的矩形之外恒为零。 （1） 如果 W b L a 1 , 1 ，还能得出以上结论吗？ 证明： （1） 设 )(sinc)(sinc 1 ),( b y a x ab yxh=，)(rect)(rect),( yxyx bfafffH= 则 )(sinc)(sinc 1 ),(),( b y a x ab yxfyxg=，等式两边取傅里叶变换可得： ),()(rect)(rect),( yxyxyx ffFbfafffG= 光学信息技术原理及应用习题解答 第 3 页 共 61 页 W b L a 1 , 1 1 , 1 Q a 1 是),( yx ffH在 x f方向的宽度， b 1 是),( yx ffH在 y f方向的宽度，L、W分别是输入函数 ),(yxf在频域上的频带宽。 ),( yx ffH在 x f、 y f方向的宽度大于),( yx ffF，即),( yx ffF能完全通过系统传递函数为 ),( yx ffH的滤波器，即),(),(),( yxyxyx ffFffHffF=。 故),(),(),(yxfyxhyxf=，即),(),(*)(sinc)(sinc 1 yxfyxf b y a x ab =。 （2） 如果 W b L a 1 , 1 ，因),(yxf是限带函数，在频域内，),( yx ffF在长、宽分别为L、W的矩 形内不为零， L a 1 、 W b 1 即L a x f的频 率分量通过，又)4(75sinc x f和)4(75sinc+ x f宽度很窄，可以认为完全不能通过滤波器。于是 )()75(sinc75),(),(),( 33yxyxyxyx ffffHffFffG= 上式取逆傅立叶变换可得 ) 75 rect(),( 3 x yxg （4）由)2rect()2rect()(comb),( 4 yxxyxf=得： ) 2 (sinc) 2 (sinc 4 1 )(comb),( 4 y x xyx f f fffF= ) 2 (sinc)() 2 sinc( 4 1 y x n f nf n = + = ) 7 rect() 2 (sinc)() 2 sinc( 4 1 ),( 4 x y x n yx f f nf n ffG= + = ) 2 (sinc)() 2 (sinc 4 1 3 3 y x n f nf n = = )2()2()1 (sinc 4 1 ) 2 1 (sinc)1() 1( 4 1 )( 4 1 += xxxxx fffff ) 2 sinc()3()3() 2 3 sinc( 4 1 y xx f ff+ 因为0) 1 (sin=c，上式第三项为零， 2 ) 3() 3( ) 2 3 (sinc) 2 1 (sinc 2 ) 1() 1( )( 2 1 ) 2 (sinc 2 1 ),( 4 + + + += xxxx x y yx ffff f f ffG 上式两 边取逆傅里叶变换得 光学信息技术原理及应用习题解答 第 6 页 共 61 页 ) 2 sinc( 2 1 1 )6cos() 2 3 (sinc)2cos() 2 1 sinc( 2 1 ),( 1 4 y f Fxxyxg+= )2rect()()6cos() 2 3 sinc()2cos() 2 1 sinc( 2 1 yyxx+= )6cos() 2 3 sinc()2cos() 2 1 sinc( 2 1 xx+= )6cos(212.0)2cos(636.05 .0xx+= 1.4 给定一个线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波 )(*) 50 rect() 3 (comb 3 1 )(x xx xgi= 对下述传递函数用图解方法确定系统的输出。 （1） ) 2 rect()( 1 f fH= （2） ) 2 rect() 4 rect()( 2 ff fH= 解： 由已知条件，在空域内系统输出应为输入函数)(xgi与滤波器)(xh的卷积（线性不变系统） 。 将)(xgi展开可得 )(*) 50 rect() 3 comb( 3 1 )(x xx xgi= )(* ) 50 rect()3(x x nx n = + = )(* )3( 16 16 xnx n = + = + = = 16 16 )3( n nx 函数图形如图 1.4(a)所示 光学信息技术原理及应用习题解答 第 7 页 共 61 页 图 1.4(a) （1）由) 2 ()( 1 f rectfH=得)2(sin2)( 1 xcxh=，函数图形如图 1.4(b)所示 图 1.4(b) )(*)3()()()( 1 16 16 11 xhnxxhxgxg n i + = =，函数图形如图 1.4(c)所示。 如果考虑到系统为线性不变系统，对上式的卷积可以先计算)2sinc(2*)(xx。 + = 16 16 )3( n nx表 示以 3 为间隔的标准三角波序列， 那么根据线性空间不变系统的性质， 输入函数在空域内的位移将导致 输出函数在空域内相应的位移，不在原点的)(x所对应的输出为在原点的)(x函数所对应的输出进 行空域平移。于是，总的输出应当是)2sinc(2*)(xx的函数图形在x轴的重复。从图 1.4(c)可以看出， 结果确实如此。 光学信息技术原理及应用习题解答 第 8 页 共 61 页 图 1.4(c) （2）由) 2 rect() 4 rect()( 2 ff fH=得)2sinc(2)4sinc(4)( 2 xxxh=，函数图形如图 1.4(d) 所示。 图 1.4(d) )(*)3()()()( 2 16 16 22 xhnxxhxgxg n i + = =，)( 2 xg的函数图形如图 1.4(e)所示。 光学信息技术原理及应用习题解答 第 9 页 共 61 页 图 1.4(e) 采用同样的分析方法，可得出函数图形的分布规律。 如果从频域考虑，则将)(xgi进行傅里叶变换则可得到 )(sinc)50sinc(50)3comb()( 2 ffffGi= )(sinc)50sinc(50)3( 2 ffnf n = + = )(sinc) 3 (50sinc 3 50 2 f n f n = + = 其函数图形如图 1.4(f)所示。 光学信息技术原理及应用习题解答 第 10 页 共 61 页 图 1.4(f) （1）)()()( 11 fHfGfG i = ) 2 rect()(sinc) 3 (50sinc 3 50 2 f f n f n = + = )( 1 fG所对应的频谱将是图 1.4(f)中-1，1以内的部分。 （2）方法同（1） ，)( 2 fG所对应的频谱将是图 1.4(f)中1，2及-2，-1以内的部分（图中两星号之间 的是正半轴的部分） 。 1.5 若对二维函数 )(sinc),( 2 axayxh= 抽样，求最大允许的抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。 解：因为)(sinc),( 2 axaFffH yx = yxyfxfjaxa yx dd)(2exp)(sinc2+ = + yyfjxxfjaxa yx d)2exp(d)2exp()(sinc2= + + )()( y x f a f = 光学信息技术原理及应用习题解答 第 11 页 共 61 页 在 x f方向上，aBx=，aBx22=，由抽样定理可知， x B X 2 1 ，所以 a X 2 1 。 原函数的抽样： 对原函数抽样可采用)(comb X x ， 若采用最大允许抽样间隔， 则可用) 2/1 (comb a x 与原函数卷积就 可完成抽样。 )(comb)(comb),()( Y y X x yxgxgs= )(sinc) 2/1 (comb 2 axa a x = )() 2 1 comb( 2 1 )( a f f aa fG x xxs = )()2( a f anf x n x = + = + = = n x a anf ) 2 ( 如图 1-5(a)所示。 图 1-5(a) 原函数的恢复： ) 2 (rect)()( a f fGfG x xsx = )( a fx = 如图 1-5(b)所示。 光学信息技术原理及应用习题解答 第 12 页 共 61 页 图 1-5(b) 对)( x fG取傅立叶变换有： )(sinc)()( 21 axa a f Fxg x = 原函数得到恢复。 1.6 若只能用ba表示的有限区域上的脉冲点阵对抽样函数进行抽样，即 )rect()rect()comb()comb(,(),( b y a x Y y X x yxgyxgs= 试说明，即使采用奈奎斯特间隔抽样，也不能使用一个理想低通滤波器精确恢复),(yxg。 解：因为),(yxgs在频域内 )sinc()sinc()comb()comb(),(),( yxyxyxyxs bfafabYfXfXYffGffG= 由 卷 积 的 性 质 ， 两 函 数 卷 积 的 带 宽 为 各 自 带 宽 之 和 ， 因 而 频 谱 会 发 生 展 宽 。 上 式 )sinc()sinc()comb()comb( yxyx bfafabYfXfXY项卷积结果将表示)sinc()sinc( yx bfafab在二维 空间被抽样，是在 x f、 y f方向整齐排列的sinc函数序列。 当 a、 b 取适当的值，sinc函数很快衰减为零， 就可近似看成函数。),( yxs ffG则表示),( yx ffG 在频域被梳函数抽样，此时，选用适当的滤波器可以完全恢复原始信号。 一般情况下，二维sinc函数序列对函数抽样时，当采用奈奎斯特间隔抽样，由于卷积的展宽作用， 将发生频谱混叠现象。可描述如下： )(sin)(sin)()( yxyx bfcafcabYfcombXfXYcomb )(sinc)(sinc),( yxyx mn bfafabmYfnXfXY= + = + = )(sinc)(sinc Y m fb X n faab yx mn = + = + = ),( yx ffH= ),(),(),( yxyxyxs ffHffGffG=，频谱发生混叠。 光学信息技术原理及应用习题解答 第 13 页 共 61 页 图 1-6 如图 1-6 所示（为简单起见，),( yx ffG与),(sinc yx ff卷积用三角函数表示，三角函数之间的距 离表示抽样间隔） ，即使采用奈奎斯特间隔，),( yxs ffG已不是),( yx ffG，因而不可能精确地恢复。 1.7 若二维线性不变系统的输入是“线脉冲”)(),(xyxf=，系统对线脉冲的输出响应称为线响 应)(xL。如果系统的传递函数为),( yx ffH，试证明：线响应的一维傅立叶变换等于系统传递函数 沿 x f轴的截面分布)0 ,( x fH。 证明：由题意可知，),(),()(yxhyxfxL= ),()(yxhx= 对)(xL进行傅里叶变换可得 yxyfxfjxLxLF yx dd)(2exp)()(+ = + yyfjxxfjxL yx d)2exp(d)2exp()(= + + xxfjxLf xy d)2exp()()(= + 对),()(yxhx进行二维傅里叶变换可得 ),()(),()(yxhFxFyxhxF= yxyfxfjyxhyxyfxfjx yxyx dd)(2exp),(dd)(2exp)(+ + = + + yyfjxxfjxffH yxyx d)2exp(d)2exp()(),(= + + )(1),( yyx fffH= )()0 ,( yx ffH= 因此有 光学信息技术原理及应用习题解答 第 14 页 共 61 页 )()0 ,(d)2exp()()( yxxy ffHxxfjxLf= + 即 )0 ,(d)2exp()( xx fHxxfjxL= + 命题得证。 1.8 如果一个线性空间不变系统的传递函数在频域的区间 x f x B， y f y B之外恒为零，系统输 入为非限带函数),( 0 yxg，输出为),( yxg。试证明：存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函数 ),( 0 yxg，它作为等效输入，可产生相同的输出),( yxg，并请确定),( 0 yxg。 证明：为了便于从频域分析，分别设： 物的空间频谱: ),(),( 00 yxgFffA yx =; 像的空间频谱：),(),( 0 yxgFffA yxi =； 等效物体的空间频谱: ),(),( 0 0 yxgFffA yx =; 等效物体的像的空间频谱：),(),( yxgFffA iyxi =； 由于成像系统是一个线性空间不变低通滤波器，传递函数在 x f x B， y f y B之外恒为零，故 可将其记为： ) 2 (rect) 2 (rect),( y y x x yx B f B f ffH 利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为： ),() 2 (rect) 2 (rect),(),( 0yxi y y x x yxyx ffA B f B f ffHffA= 在频域中构造一个连续的、二维周期分布的频谱函数，预期作为等效物体的谱，办法是把 ) 2 (rect) 2 (rect),( 0 y y x x yx B f B f ffA安置在 yx ff 平面上形成矩形格点分布的每一个)2 ,2( yx nBnB点 周围，选择矩形格点在 x f、 y f方向上的间隔分别为 x B2和 y B2，以避免频谱混叠，于是 )2,2() 2 , 2 (rect),(),( 0 0yyxx mn y y x x yxyx mBfnBf B f B f ffAffA= + = + = 光学信息技术原理及应用习题解答 第 15 页 共 61 页 ) 2 , 2 (comb 4 1 ) 2 , 2 (rect),( 0 y y x x yxy y x x yx B f B f BBB f B f ffA= 1 对于同一系统， 由于传递函数的通频带有限， 只能允许),( 0yx ffA的中央一个周期成分0=mn 通过，所以成像的谱并不发生变化，即 ),(),() 2 , 2 (rect),(),( 0yxiyxi y y x x yxyx ffAffA B f B f ffHffA= 图 1.8(a)和图 1.8(b)表示了系统在频域分别对 0 A和 0 A的作用。 图 1.8(a) 图 1.8(b) 既然成像的频谱相同，从空域来看，所形成的像场分布也是相同的。即),(),( yxgyxg ii =，因此 只要求出),( 0yx ffA的逆傅里叶变换式，就可得到所需的等效物场，即 ),(),( 0 1 0yx ffAFyxg = 代入 1式，并利用卷积定理得到 ) 2 (comb) 2 (comb 4 1 ) 2 (rect) 2 (rect),(),( 1 0 1 0 y y x x yxy y x x yx B f B f BB F B f B f ffAFyxg = )2 ,2(comb) 2 , 2 (rect),( 0 1 yx y y x x yx BB B f B f ffAF= 上式也可用抽样定理来解释。 ) 2 , 2 (rect),( 0 y y x x yx B f B f ffA是一个限带的频谱函数， 它所对应的空间域的函数可通过抽样， 用一 光学信息技术原理及应用习题解答 第 16 页 共 61 页 个点源的方形阵列来表示，若抽样的矩形格点的间隔在x方向是 x B2 1 ，在y方向是 y B2 1 ，就得到等效 物场),( 0 yxg。 ) 2 , 2 (rect),( 0 1 y y x x yx B f B f ffAF )2 ,2(sinc4),( 0 yBxBBByxg yxyx = dd)(2 ,(2sinc),(4 0 = + yBxBgBB yxyx ) 2 , 2 ( 4 1 )2 ,2(comb yx mn yx yx B m y B n x BB BB= + = + = ) 2 , 2 (dd)(2 ,(2sinc),(),( 0 0 yx mn yx B m y B n xyBxBgyxg = + = + = + ) 2 , 2 (dd)2,2(sinc),( 0 yx yx mn B m y B n xBmBng = + + = + = 这一由点源的方形阵列构成的等效物体场可以和真实物体 0 g产生完全一样的像 i g。 本题利用系统的传递函数，从频率域分析物像关系，先找出等效物体的频谱再通过傅里叶逆变换， 求出等效物场的空间分布，这种频域分析方法是傅里叶光学问题的基本分析方法。 光学信息技术原理及应用习题解答 第 17 页 共 61 页 第二章第二章 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 2.1 一列波长为 的单位振幅平面波，波矢量k r 与 x 轴的夹角为 30，与 y 轴夹角为 45，试写出 其空间频率及 1 zz=平面上的复振幅表达式。 解： 由题意可知， o 30=， o 45=， 2 3 cos=， 2 2 cos=， 2 3cos = x f， 2 2 = y f， 又1coscoscos 222 =+，所以 4 1 cos2=，jfz 2 1 =。 对单位振幅的平面波，1=a。复振幅表达式可表示为 )coscoscos(exp1),(zyxjkzyxU+= 在 1 zz=观察面上，复振幅表达式 )coscos(exp2exp),( 11 yxjkzfjzyxU z += ) 2 1 2 3 (2exp 2 2exp 1 yxjz j j += ) 2 1 2 3 (2expexp 1 yxjz += 2.2 尺寸为 ab 的不透明矩形屏被单位振幅平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面上的透射光场的角 谱。 解： 由题意，衍射屏的透射率函数),(rect1),( 00 00 b y a x yxt=，由于使用单位振幅的单色平面波垂直 照明，则有1),( 00 =yxUi，所以紧靠孔径的透射场分布为 ),(),(),(),( 00000000 yxtyxtyxUyxU it = 紧靠孔径透射场的角谱为： ),() cos , cos ( 00 yxtFA= 光学信息技术原理及应用习题解答 第 18 页 共 61 页 ) cos (sinc) cos (sinc) cos , cos ( baab= 2.3 波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上， 在孔径平面上有一个足够大的模板， 其振幅 透过率为)3/(2cos1(5 .0)( 00 xxt+=，求紧靠孔径透射场的角谱。 解： 由题意，衍射屏的透射率函数) 3 2cos1(5.0),( 0 00 x yxt+=，由于使用单位振幅的单色平 面 波 垂 直 照 明 ， 则 有1),( 00 =yxUi， 所 以 紧 靠 孔 径 的 透 射 场 分 布 为 ),(),(),(),( 00000000 yxtyxtyxUyxU it =。 紧靠孔径透射场的角谱为： ),() cos , cos ( 00 yxtFA= 3 2cos5 . 05 . 0 0 x FF+= ) cos () 3 1cos () 3 1cos ( 4 1 ) cos , cos ( 2 1 += 图 2.1 图 2.2 2.4 参看图 2.1，边长为 2a 的正方形孔径内再放置一个边长为 a 的正方形掩模，其中心落在),(点。 采用单位振幅的单色平面波垂直照明， 求出与它相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的光场强度分 布。画出0=时，孔径频谱在x方向上的截面图。 解：由题意，衍射屏的透射率函数),(rect) 2 , 2 (rect),( 0000 00 a y a x a y a x yxt =， 代入夫琅和费公式，且 z x fx =， z y fy =也代入 光学信息技术原理及应用习题解答 第 19 页 共 61 页 ),(),( 00 )( 2 22 yxtFe zj e zyxU yx z k j jkz + = )(2exp()(sinc)(sinc)2(sinc)2(sinc4 22 )( 2 22 z y z x j z y a z x aa z y a z x aae zj e yx z k j jkz += + 由),(),(),(zyxUzyxUzyxI =可得 )2 ,2(sinc8)2 ,2(sinc16 1 ),( 424 22 z y a z x aa z y a z x aa z zyxI = + + z y a z x aa z y z x z y a z x a ,sinc2cos,sinc 24 令0=，孔径频谱在x方向的表示式为 = z x aa z x aafA x sinc2sinc4)( 22 频谱截面灰度图为 图 2.3 2.5 图 2.2 所示的孔径由两个相同的矩型组成，它们的宽度为a，长度为b，中心相距为d。采用单位 振幅的单色平面波垂直照明， 求与它相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。 假定ab4= 及ad5 . 1=，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入相位差，上述结果 有何变化？ 解：由题意，衍射屏的透射率函数), 2 (), 2 (),( 0 0 0 0 00 b y a d x rect b y a d x rectyxt + + =， 光学信息技术原理及应用习题解答 第 20 页 共 61 页 代入夫琅和费公式，且 z x fx =， z y fy =也代入 ),(),( 00 )( 2 22 yxtFe zj e zyxU yx z k j jkz + = ), 2 (), 2 ( 0 0 0 0 )( 2 22 b y a d x rect b y a d x rectFe zj e yx z k j jkz+ + = + ) 2 2exp()(sin)(sin) 2 2exp()(sin)(sin )( 2 22 z xd j z y bc z x ac z xd j z y bc z x acabe zj e yx z k j jkz += + ),(),(),(zyxUzyxUzyxI = 2 22 22 22 2 )exp()exp( )(sin)(sin 4 + = z dx j z dx j z y bc z x ac z ba )(cos),(sin 4 22 22 22 z dx z y b z x ac z ba = 若ab4=，ad5 . 1=，则 沿 x 方向的强度分布为 ) 2 3 (cos)4(sin 64 ),0 ,( 22 22 4 z xa z x ac z a zxI = 沿 y 方向的强度分布为 )4(sin 64 ),0( 2 22 4 z y ac z a zyI = 沿 x 方向和 y 方向的截面图如图 2.4 所示 图 2.4 光学信息技术原理及应用习题解答 第 21 页 共 61 页 如果对其中一个矩形引入相位差 ，则可设透射率函数 j e b y a d x rect b y a d x rectyxt + + =), 2 (), 2 (),( 0 0 0 0 00 ), 2 (), 2 ( 0 0 0 0 b y a d x rect b y a d x rect + = 采用同样的方法，代入夫琅和费公式，可得 2 22 22 22 2 )exp()exp( )(sin)(sin 4 ),( = z dx j z dx j z y bc z x ac z ba zyxI )(sin),(sin 4 22 22 22 z dx z y b z x ac z ba = )(cos1),(sin 4 22 22 22 z dx z y b z x ac z ba = 结论：如果对其中一个矩形引入相位差 ，光强表示式中余弦函数变为正弦函数。 2.6 图 2.15 所示半无穷不透明的复振幅透过率可用阶跃函数表示为)()( 00 xstepxt=。采用单位振幅 的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的复振幅分布。画出在x方向上的 复振幅分布曲线。 图 2.15 解：由题意知，)(),( 000 xstepyxt=，因为),( 00 yxt只与 0 x有关，所以),( 00 yxt时刻分离变量的， 即在 0 y方向上其透射率为 1，1)( 0 =yt，故),( 00 yxt=)()( 00 ytxt=1)( 0 xt，对透射率函数进行二维傅 里叶变换，可得 1 )(),( 000 FxstepFyxtF= )()( 2 1 y x x f f j f = 光学信息技术原理及应用习题解答 第 22 页 共 61 页 带入夫琅和费公式， ),(),( 00 )( 2 22 yxtFe zj e zyxU yx z k j jkz + = )()( 2 )( 2 22 y x x yx z k j jkz f f j fe zj e = + )( 2 ),( 2 )( 2 )( 2 2222 y x yx z k j jkz yx yx z k j jkz f f j e zj e ffe zj e = + )( 2 ),( 2 22 22 y y z k jx z k j x jkz yx jkz fee zf e ff zj e = )( 2 ),( 2 2 2 y x z k j x jkz yx jkz fe zf e ff zj e = )( 2 1 )( 2 2 2 y x z k j jkz x x jkz fee zf f zj e = 将 z x fx =， z y fy =带入上式， )( 2 1 )( 2 ),( ) 2 1 ( 2 y x z zjk jkz fe xz x zj e zyxU + = 说明：在该题中，利用了函数的性质：)()()()( 000 xxxfxxxf=。 在x方向的函数表达式为 2 1 )( 2 ),( ) 2 1 ( 2 x z zjk jkz e xz x zj e zxU + = 复振幅分布曲线（取复振幅的模）为 ？ 2.7 在夫琅禾费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化，试证明： （1）不论孔径的形状如何，夫琅禾 费衍射图样都有一个对称中心； （2）若孔径对于某一条直线是对称的，则衍射图样将对于通过原点与该 直线平行和垂直的两条直线对称。 证明： （1）由于孔径上的场没有相位变化，则孔径的透过率函数为实函数),(yxt，于是 dxdyeyxtT yxj)(2 ),(),( + + = + + = dxdyeyxt yxj)(2 ),( 光学信息技术原理及应用习题解答 第 23 页 共 61 页 ),(= T 所以 ),(),(),(),(),(),(= ITTTTI （2） 设开孔的对称轴为 AB， 直线 CD 是衍射图面上过对称中心 O 并与开孔对称轴 AB 平行的直线， P、 Q 是衍射图面上对称于 CD 的两点，由于对称性，P 和 Q 具有相同的强度，由（1）可知，将它们以 O 点为中心旋转 ，分别到达 P、Q，因为它们与 P、Q 强度相同，所以 P、Q 和 P、Q四点的强 度相同，最终强度分布对于过 O 点，与 CD 垂直的 C、D也是对称的。因此，若开孔相对于 m 条直 线是对称的，那么衍射图样就对于通过对称中心的 2m 条直线是对称的。I 2.8 试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有 N 个形状和方位都相同的全等形开孔，在每一个开孔内 取一个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置， 那么该衍射屏生成的夫琅禾费衍射场是下列两个因子 的乘积： （1）置于原点的一个孔径的夫琅禾费衍射（该衍射屏的原点处不一定有开孔） ； （2）N 个处于 代表孔位置的点上的点光源在观察平面上的干涉。 证明：假设某个小孔的透射率为),( 0oo yxt，它的频谱是),( 0 T，若在每个孔径内取一个位置相同的 点),( nnn O来代表该孔的位置，则整个衍射屏的透过率),( oo yxt可以表示成 N 个小孔透过率的组 合，即 = = N n nonooo N n nonooo yxyxtyxtyxt 1 0 1 0 ),(),(),(),( 其衍射场分布为 = += N n nnoo jTyxtFT 1 0 )(2exp),(),(),( 衍射图样的强度分布为 2 1 2 0 )(2exp),(),( = += N n nn jTI ),(),( 2 0 AT= 这就是阵列定理，第一个因子相当于把一个小孔的相应点移到原点)0(= nn 时的单孔夫琅和费衍 射图样，第二个因子相当于 N 个点源分别位于),( nn 时在观察面上形成的干涉图样，第一个因子称 为形状因子，它取决于单个小孔的衍射，第二个因子称为阵列因子，只取决于小孔的相互排列情况，而 与小孔本身的形状无关。 如果各衍射小孔的位置 nn ,是随机分布的，则可用概率论中的随机行走问题来计算),(A，其 I 电科 2000 级同学对习题 2.7、2.8 有贡献。 光学信息技术原理及应用习题解答 第 24 页 共 61 页 主要特征是： 0, 0=时， 2 )0 , 0(NA= 0且0时， 2 1 )(2exp),( = += N n nn jA += n nmnm m j)()(2exp nmnm= += 其中 N nm = = ，而 nm 取+1 和-1 之间的随机值，其和为 0，所以 2 0 ),(),(,),(TNINA=。 2.9 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数 )()cos 2 1 2 1 ()( 2 a r circrrt+= （1） 这个屏的作用在什么方面像一个透镜？ （2） 给出此屏的焦距表达式。 （3） 什么特性会严重地限制这种屏用作成像装置（特别是对于彩色物体）？ 解：衍射屏的复振幅透过率如图 )()(cos 2 1 2 1 ),( 22 22 a yx circyxyxt + += )()(exp( 4 1 )(exp( 4 1 2 1 22 2222 a yx circyxjyxj + += （1）上式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其它两项指数项与透镜位相变换因子 )( 2 exp 22 yx f k j+比较，可见形式相同。当平面波垂直照明时，这两项的作用分别产生会聚球面 波和发散球面波。因此，在成像性质和福利叶变换性质上，该衍射屏都有些类似于透镜，因子 )( 22 a yx circ + 表明该屏具有半径为l的圆形孔径。 （2）把衍射屏复振幅透过率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到相应的焦距。对于 )(exp 22 yxj+ 项，令 1 2f k =，则 = 2 1 k f，焦距为正，其作用相当于会聚透镜；对于 )(exp 22 yxj+ 项，令 1 2f k =，则 = 2 2 k f，焦距为负，其作用相当于发散透镜；对 光学信息技术原理及应用习题解答 第 25 页 共 61 页 于 2 1 这一项来说，平行光波直接透过，仅振幅衰减可看作是= 3 f。 （3）由于该屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可形成三个像，如对于无穷远的点光源， 分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另一个像在无穷远（直接透射光） 。当观察者观察其中一个像 时，同时会看到另外的离焦像无法分开。如用接收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成 的背景干扰。除此以外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要限制。因为焦距都与波长 成 反比。例如取 oo AA4000,6900= 蓝红 则有 蓝蓝红 fff57. 0 6900 4000 =。这样大的色差是无法用作成 像装置的，若采用白光作光源，在像面上可看到严重的色散现象。这种衍射屏实际就是同轴形成的点源 全息图即盖伯全息图。 2.10 用波长为nm8 .632=的平面光波垂直照明直径为mm2的衍射孔，若观察范围是与衍射孔共 轴，直径为mm30的圆域，试求菲涅尔衍射和夫朗禾费衍射的范围。 解 ： 由 题 意 可 知nm8 .632=，mD 3 102 =，mD 3 1030 =， 故mL 3 0 101 =， mL 3 1 1015 =。 根据菲涅尔近似条件： 2 2 1 2 0 max 22 0 2 0 3 )( 4 )()( 4 LLyyxxz+ 将有关参数带入得：mmz7 .398。 根据夫琅和费近似条件： 2 0max 2 0 2 0 )( 2 1 Lyxkz =+ 将有关参数带入得：mmz6 .4964。 说明：请将原题中“半径为请将原题中“半径为mm30的圆域”改为“直径为的圆域”改为“直径为mm30的圆域” 。的圆域” 。 2.11 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试求菲涅尔衍射图样在轴上的强度 分布。 解：由题意，使用单位振幅的单色平面波垂直入射，则有1),(=yxUi，半径为 a 的圆形孔径可表示为 )( 22 a yx circ + ，根据菲涅尔衍射公式，有 00 )(2 )( 2 22 )( 2 2 0 2 0 22 )(),(dydxee a yx circe zj e zyxU yfxfj yx z k jyx z k j jkz yx + + + + + = 将直角坐标系下的积分转化为继坐标系下的积分，则 rdreede zj e yfxfj r z k j a yx z k j jkz yx )(2 2 0 2 0 )( 2 222 + + = 光学信息技术原理及应用习题解答 第 26 页 共 61 页 令上式中0=x，0=y，得 z 轴上的光场分布 rdred zj e zU r z k j ajkz2 2 0 2 0 ), 0 , 0(= ) 2 exp(1)exp( 2 a z k jkz= ) 4 exp() 4 )exp( 4 exp()exp( 222 a z k ja z k ja z k jjkz= )2/() 4 exp() 4 )exp( 4 exp()exp(2 222 ja z k ja z k ja z k jjkzj= 利用欧拉公式， ) 4 sin() 4 exp()exp(2 22 a z k a z k jjkzj= 于是，z 轴上的光强为 ) 4 (sin4), 0 , 0( 22 a z k zI= 在 z 轴方向光强分布如下图所示： （具体参数为小孔半径 5 毫米，光波长为 600nm，观察范围为 0 到 30 米。 ） 2.12 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为 d x baxt 0 0 2cos)(+=。式中d为光栅周期，0 ba。 观察平面与光栅相距z。当z分别取下列各数值： （1） 2 2d zz T =； （2） 2 2 dz z T =； （3） 24 2 dz z T =（式中 T z称作泰伯距离）时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度 分布。 解：已知 d x baxt 0 0 2cos)(+=，用单位振幅的单色平面波垂直入射，则有1),( 00 =yxUi，所以刚 刚透过光栅的光场分布为)()(),(),( 000000 xtxtyxUyxU it =。 使用菲涅尔衍射公式， 00 2 0 2 000 )()( 2 exp),(),(dydxyyxx z k jyxU zj e zyxU t jkz += + 光学信息技术原理及应用习题解答 第 27 页 共 61 页 )( 2 exp),( 22 00 yx z k jyxU zj e t jkz += 上式两边取二维傅里叶变换， )( 2 exp),(),( 22 00 yx z k jFyxUF zj e zyxUF t jkz += )( 2 exp 1 ),( 22 00 yx z k j zj FyxUFe t jkz += )( 2 exp 1 )( 22 0 yx z k j zj FxtFe jkz += 而), 1 ( 2 ), 1 ( 2 ),(2cos)( 0 0yxyxyx f d f b f d f b ffa d x baFxtF+=+= )(exp()( 2 exp 1 22 22 yx ffzjyx z k j zj F+=+ 所以， )(exp(), 1 ( 2 ), 1 ( 2 ),(),( 22 yxyxyxyx ffzjf d f b f d f b ffazyxUF+= )( 1 exp), 1 ( 2 ) 1 exp(), 1 ( 2 ),( 22 d zjf d f b