概率论与数理统计第一章随机事件的概率第三节：条件概率.ppt

第三节 条件概率,条件概率 乘法公式,全概率公式与贝叶斯公式,P(A )=1/6，,例如, 掷一颗均匀骰子, A=掷出2点,B=掷出偶数点,P(A|B)=？,已知事件B发生, 此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素, 它们的出现是等可能的, 其中只有1个在集合A中.,容易看到,P(A|B),于是,P(A )=3/10，,又如, 10件产品中有7件正品, 3件次品; 7件正品中有3件一等品, 4件二等品. 现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),则,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率(Conditional Probability),1. 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B) P(A),若事件B已发生, 则为使 A 也发生, 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点, 即此点必属于AB.,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1),2. 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间,于是 有(1).,3. 条件概率的性质,2) 从加入条件后改变了的情况去算,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数,在缩减样本空 间中A所含样 本点个数,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法2:,解: 设 A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用 定义,在B发生后的缩减样本 空间中计算,由条件概率的定义：,P(AB)=P(B)P(A|B) (2),二、乘法公式(Multiplication Law of Probability),P(AB)=P(A)P(B|A) (3),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,注意P(AB)与P(A | B)的区别！,例2 甲, 乙两厂共同生产1000个零件, 其中 300件是乙厂生产的.,所求为P(AB).,甲、乙共生产 1000 个,189个是 标准件,300个 乙厂生产,设B=零件是乙厂生产,A=零件是标准件,若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?”,求的是 P(A|B) .,解:,而在这300个零件中, 有189个是标准件,现从这1000个零件中任取一个,问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.,例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少?,解: 设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为 P(B|A) .,P(A) 与 P(A|B) 的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,乘法公式应用举例,例如，一个罐子中包含 b 个白球和 r 个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次， 试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,于是 W1W2R3R4 表示事件 “连续取四个球，第一、第二个是白球， 第三、四个是红球. ”,随机取一个球, 观看颜色后放回罐中,并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解: 设 Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4,试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,用乘法公式容易求出,当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),随机取一个球, 观看颜色后放回罐中,并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球.,例，一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下, 每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来， 谁抽到入场券的机会都一样大.”,解: 我们用 Ai 表示“第i个人抽到入场券”, i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,因为若第2个人 抽到了入场券， 第1个人肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券, 必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,计算得：,则 表示“第i个人未抽到入场券”,同理，第3个人要抽到“入场券”， 必须第1、第2个人都没有抽到. 因此:,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,有三个箱子, 分别编号为1,2,3. 1号箱装有1个红球4个白球, 2号箱装有2个红球3个白球, 3号箱装有3个红球. 某人从三箱中任取一箱, 从中任意摸出一球, 求取得红球的概率.,解: 记 Bi=球取自i号箱, i=1,2,3; A =取得红球,A发生总是伴随着B1，B2，B3 之一同时发生，,其中 B1、B2、B3两两互斥,看一个例子:,三、全概率公式 (Law of Total Probability),将此例中所用的方法推广到一般的情形， 就得到在概率计算中常用的全概率公式.,对求和中的每 一项运用乘法 公式得,P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A),代入数据计算得：P(A)=8/15,运用加法公式得到:,即 A= B1A+B2A+B3A， 且 B1A、B2A、B3A 两两互斥,一个事件发生.,1.,B1,B2,Bn,A,2.,某一事件A的发生有各种可能的原因, 如果A是由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，则A发生的概率是:,每一原因都可能导致A发生, 故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和,即全概率公式.,P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi),我们还可以从另一个角度去理解全概率公式.,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果, 每个原因对结果的发生有一定的“作用”, 即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .,诸Bi是原因B是结果,例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的 概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2, 被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,设A=飞机被击落 Bi=飞机被i人击中, i=1,2,3,由全概率公式,则 A=B1A+B2A+B3A,解,P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2),+ P(B3)P(A |B3),可求得,为求P(Bi ), 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3,将数据代入计算得,P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.,P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458.,于是,该球取自哪号箱的可能性最大?,这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中更为常见, 它所求的是条件概率, 是已知某结果发生条件下,探求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球, 发现是红球, 求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,四、贝叶斯公式(Bayes theorem),看一个例子:,贝叶斯公式,有三个箱子, 分别编号为1,2,3, 1号箱装有1个红球4个白球, 2号箱装有2红球3白球, 3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱, 从中任意摸出一球,发现是红球, 求该球是取自1号箱的概率 .,1,1红4白,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球， 求该球是取自1号箱的概率.,记 Bi=球取自i号箱, i=1,2,3; A =取得红球,求 P(B1|A),运用全概率公式 计算P(A),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下， 寻找导致B发生的每个原因的概率.,贝叶斯公式在实际中有很多应用.,它可以帮助人们确定某结果 (事件A) 发生的最可能原因.,例 某一地区患有癌症的人占0.005, 患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95, 正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04, 现抽查了一个人, 试验反应是阳性, 问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,已知 P(C)=0.005, P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04,解:,设 C=抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性，,求 P(C|A).,现在来分析一下结果的意义.,由贝叶斯公式，可得,0.1066,2) 检出阳性是否一定患有癌症?,1) 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率:,若试验后得阳性反应, 则根据试验得来的信息, 此人是患者的概率为:,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.,1) 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.,P(CA)= 0.1066,P(C)=0.005,2) 即使你检出阳性, 尚可不必过早下结论你有癌症, 这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症), 此时医生常要通过再试验来确认.,P(Bi) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息(不知道事件A是否发生)的情况下, 人们对诸事件发生可能性大小的认识.,当有了新的信息(知道A发生), 人们对诸事件发生可能性大小P(Bi |A)有了新的估计.,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化,在贝叶斯公式中, P(Bi)和P(Bi |A)分别称为原因的 先验概率和后验概率.,P(B) is the prior probability or marginal probability of B. It is “prior“ in the sense that it does not take into account any information about A. P(B|A) is the conditional probability of B, given A. It is also called the posterior probab