人教版八年级下册数学第19章《一次函数》讲义第23讲一次函数－复习训练（有答案）

第 1 页 第第 23 讲讲 一次函数复习训练一次函数复习训练 第一部分第一部分 知识梳理知识梳理 1、变量：、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个 确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变 量，y 是 x 的函数。 *判断判断 Y 是否为是否为 X 的函数，只要看的函数，只要看 X 取值确定的时候，取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之是否有唯一确定的值与之 对应。对应。 3、定义域：、定义域： 一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法：、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的图像、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵 坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 6、函数解析式：、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步骤、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） ； 第二步：描点第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐 标，描出表格中数值对应的各点） ； 第三步：连线第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来） 。 8、函数的表示方法、函数的表示方法 （1）列表法：）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量 与函数之间的对应规律。 第 2 页 （2）解析式法：）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依 关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 （3）图象法：）图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 9、正比例函数及性质、正比例函数及性质 一般地，形如 y=kx(k 是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) k 不为零 x 指数为 1 b 取零 当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平 移；当 b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y 随 x 的增大而增大； k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位； 当 b0b0 图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 k0 时，向上平移；当 b0 或 ax+by2 B、y1 =y2 C、y1 1 D、k1 或 k0） ，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？ 考点六、函数与方程、不等式的综合考点六、函数与方程、不等式的综合 1、一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则方程 kx+b=0 的解为（ C ） A、x=2 B、y=2 C、x= D、y=11 2、已知关于 x 的方程 mx+n=0 的解是 x=，求直线 y=mx+n 与 x 轴的交点坐标2 解：解：(，0)2 详解：方程的解为 x=，当 x=时 mx+n=0；22 又直线 y=mx+n 与 x 轴的交点的纵坐标是 0，当 y=0 时，则有 mx+n=0， x=时，y=0，直线 y=mx+n 与 x 轴的交点坐标是(，0)22 3、一次函数 y=ax+b 的图象如图所示，则不等式 ax+b0 的解集是（ B ） A、x2 B、x2 C、x1 D、x1 4、已知一次函数 y=ax+b 的图象过第一、二、四象限，且与 x 轴交于点(2，0)，则关于 x 的不等式 a (x1)b0 的解集为（ A ） A、x1 B、x1 C、x1 D、x1 5、如图，已知函数 y=ax+b 和 y=kx 的图象交于点 P，则根据图象可得，关于 x、y 的二 元一次方程组的解是 yaxb ykx 3 1 x y 6、如图，以两条直线 l1，l2的交点坐标为解的方程组是（ C ） A、 B、 C、 D、 1 21 xy xy 1 21 xy xy 1 21 xy xy 1 21 xy xy 第 14 页 7、(1)、已知关于 x 的方程 mx+n=0 的解是 x= 2，那么，直线 y=mx+n 与 x 轴的交点坐 标是 (2)、如图，在平面直角坐标系中，直线 AB：y=kx+b 与直线 OA：y=mx 相交于点 A(1，2)， 则关于 x 的不等式 kx+bmx 的解是 (3)、如图，直线 l1和 l2的交点坐标为（ ） A、(4，2) B、(2， 4) C、( 4，2) D、(3，1) （2） （3） 解：解：(1)( 2，0)；(2)x1；(3)A 详解：(1)方程的解为 x= 2，当 x= 2 时 mx+n=0； 又直线 y=mx+n 与 x 轴的交点的纵坐标是 0， 当 y=0 时，则有 mx+n=0，x= 2 时，y=0 直线 y=mx+n 与 x 轴的交点坐标是( 2，0)； (2)观察函数图象得到在点 A 的右边，直线 y=kx+b 都在直线 y=mx 的下方， 即当 x1 时，kx+bmx，不等式 kx+bmx 的解为 x1； (3)由图象可知 l1过(0，2)和(2，0)两点l2过原点和(2，1) 根据待定系数法可得出 l1的解析式为 y= x+2，l2的解析式为 y=x， 1 2 两直线的交点满足方程组，解得，即交点的坐标是(4，2) 2 1 2 yx yx 4 2 x y 8、(1)、已知方程 2x+1= x+ 的解是 x=1，那么，直线 y=2x+1 与直线 y= x+ 的交点坐44 标是 (2)、在平面直角坐标系中，直线 y=kx+1 关于直线 x=1 对称的直线 l 刚好经过点(3，2)， 则不等式 3xkx+1 的解集是 (3)、如图，直线 l1、l2交于点 A，试求点 A 的坐标 解：解：(1)(1，3)；(2)x；(3)(，) 1 4 5 3 5 3 详解：(1)x=1 是方程 2x+1= x+ 的解，y=21+1=3，交点坐标为(1，3)；4 第 15 页 (2)点(3，2)关于直线 x=1 的对称点的坐标为( 1，2)， 点( 1，2)在直线 y=kx+1 上， k+1=2，解得 k= 1， 直线 y=kx+1 的解析式为 y= x+1，不等式 3xkx+1，即 3x x+1，解得 x； 1 4 (3)设 l2的方程为 y=kx+b，因为 l2经过点(0，5)和(1，3)， 所以，解得即 l2的方程为 y= 2x+5，同理：l1的方程为 y=x， 5 3 b kb 2 5 k b 两直线的交点满足方程组得，解得，点 A 的坐标为(，) 25yx yx 5 3 5 3 x y 5 3 5 3 9、已知一次函数 y1=kx+b 和正比例函数 y2x 的图象交于点 A(2，m)，又一次函数 1 2 y1=kx+b 的图象过点 B(1，4) (1)、求一次函数的解析式； (2)、根据图象写出 y1y2的取值范围 解：解：(1)y1=x+3；(2)x2 详解：(1)把点 A(2，m)代入 y2x 得 m=(2)=1， 1 2 1 2 则 A 点坐标为(2，1)，把 A(2，1)、B(1，4)代入 y1=kx+b 得： ，解得，所以 y1=x+3； 21 4 kb kb 1 3 k b (2)如图，当 x2 时，y1y2 10、已知函数 y1=kx+3，y2=+b 的图象相交于点(1，1)4x (1)、求 k、b 的值，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象 (2)、利用图象求出当 x 取何值时：y1y2；y10 且 y20 解：解：(1)k=2，b= 3；(2)x1，x 3 4 详解：(1)根据题意，得k+3=1，(1)+b=1，解得 k=2，b= 3，4 故两函数解析式为 y1=2x+3，y2=3函数图象如下图： 4x 第 16 页 (2)由图可知，当 x1 时，y1y2， y2=0 时，3=0，解得 x=，所以，当 x时，y10 且 y204x 3 4 3 4 11、如图，已知一次函数的图象经过点 A(1，0)、B(0，2) (1)、求一次函数的关系式； (2)、设线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 C，求点 C 的坐标 解：解：(1)y=2x+2；(2)(，0) 3 2 详解：(1)设一次函数的关系式为 y=kx+b， 依题意，得，解得，一次函数的关系式为 y=2x+2； 02 0 kb kb 2 2 k b (2)设点 C 的坐标为(a，0)，连接 BC，则 CA=a+1，CB2=OB2+OC2=a2+4， CA=CBCA2=CB2即(a+1)2=a2+4，a=，即 C(，0) 3 2 3 2 12、如图，已知直线 y=kx+b 经过点 A(1，4)，B(0，2)，与 x 轴交于点 C，经过点 D(1，0)的直线 DE 平行于 OA，并与直线 AB 交于点 E (1)、求直线 AB 的解析式； (2)、求直线 DE 的解析式； (3)、求EDC 的面积 解：解：(1)y=2x+2；(2)y= x 4；(3)84 详解：(1)直线 y=kx+b 经过点 A(1，4)，B(0，2)， ，解得，故直线 AB 的解析式为 y=2x+2； 4 2 kb b 2 2 k b (2)设 AO 的解析式为 y=ax(a0)， 第 17 页 A(1，4)，a= ，AO 的解析式为 y= x，44 直线 DE 平行于 OA，设直线 DE 的解析式为 y= x+n，4 D(1，0)， +n=0，解得 n= 4，直线 DE 的解析式为 y= x 4；44 (3)直线 y=2x+2 与 x 轴交于 C 点， 当 y=0 时，有 2x+2=0，解得 x= 1，C( 1，0)， 直线 y=2x+2 与直线 y= x 4 交于点 E，解得，4 22 44 yx yx 3 8 x y 点 E 的坐标为(3，8)，S ECD=28=8 1 2 13、每年的 3 月 12 日是我国植树节，某村计划在一山坡地上种 A、B 两种树，并购买 这两种树 2019 棵，种植两种树苗的相关信息如表： 项目/品种单价(元/棵)成活率劳务费(元/棵) A2590%5 B3095%7 设购买 A 种树苗 x 棵，造这片林的总费用为 y 元，解答下列问题： (1)、写出 y(元)与 x(棵)之间的函数关系式； (2)、预计这批树苗种植后成活 1860 棵，则造这片林的总费用需多少元？ 解：解：(1)y= 7x+74000(0x2019)；(2)68400 元 详解：(1)购买 A 种树苗 x 棵，则购买 B 种树苗(2019 x)棵， 则 y=25x+30(2019 x)+5x+7(2019 x)，即 y= 7x+74000(0x2019)； (2)根据题意得 90%x+95%(2019 x)=1860，解得 x=800， 即 y= 7800+74000=68400(元)，答：造这片林的总费用需 68400 元 14、随着人们节能环保意识的增强，绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动摩托 成为人们首选的交通工具，某商场计划用不超过 140000 元购进 A、B 两种不同品牌的 电动摩托 40 辆，预计这批电动摩托全部销售后可获得不少于 29000 元的利润，A、B 两种品牌电动摩托的进价和售价如下表所示： 品牌 价格 A 品牌电动摩托B 品牌电动摩托 第 18 页 进价(元/辆)40003000 售价(元/辆)50003500 设该商场计划进 A 品牌电动摩托 x 辆，两种品牌电动摩托全部销售后可获利润 y 元 (1)、写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)、该商场购进 A 品牌电动摩托多少辆时？获利最大，最大利润是多少？ 解：解：(1)y=20190+500x(0x40)；(2)30000 详解：(1)设该商场计划进 A 品牌电动摩托 x 辆，则进 B 品牌电动摩托(40x)辆，由题意 可知每辆 A 品牌电动摩托的利润为 1000 元，每辆 B 品牌电动摩托的利润为 500 元，则 y=1000x+500(40x)=20190+500x(0x40)； (2)由题意可知，解得 18x20；当 x=20 时，y=30000， 40003000(40)140000 2000050029000 xx x 该商场购进 A 品牌电动摩托 20 辆时，获利最大，最大利润是 30000 15、甲、乙两车从 A 地将一批物品匀速运往 B 地，甲出发 0. 5 小时后乙开始出发，结 果比甲早 1 小时到达 B 地如图，线段 OP、MN 分别表示甲、乙两车离 A 地的距离 s(千米)与时间 t（小时）的关系，a 表示 A、B 两地间的距离请结合图象中的信息解 决如下问题： (1)、分别计算甲、乙两车的速度及 a 的值； (2)、乙车到达 B 地后以原速立即返回，请问甲车到达 B 地后以多大的速度立即匀速返 回，才能与乙车同时回到 A 地？并在图中画出甲、乙在返回过程中离 A 地的距离 s（千 米）与时间 t（小时）的函数图象 解：解：（1）由题意知，甲的速度为km/h，乙的速度为km/h. 40 5 . 1 60 60 5 . 05 . 1 60 设甲到达 B 地的时间为 t，则解得 t=4.5，a=180. ,3060 ,40 at at （2）如图，线段 PE、NE 分别表示甲、乙两车返回时离 A 地的距离 s（千米）与时间 （小时）的关系，点 E 的横坐标为：，若甲、乙两车同时返回 A 地， 180 20.56.5 60 则甲返回时需用的时间为：（小时） ，甲返回的速度为 90km/h. 180 6.52 40 第 19 页 图象如图所示 16、小华观察钟面（图 1） ，了解到钟面上的分针每小时旋转 360 度，时针每小时旋转 30 度.他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午 2:00 开始对钟面进行 了一个小时的观察.为了研究方便，他将分针与原始位置 OP（图 2）的夹角记为 y1度， 时针与原始位置 OP 的夹角记为 y2度（夹角是指不大于平角的角） ，旋转时间记为 t 分 钟，观察结束后，他利用所得的数据绘制成图象（图 3） ，并求出了 y1与 t 的函数关系 式：. 1 6 (030) 6360(3060) tt y tt 请你完成： （1）求出图 3 中 y2与 t 的函数关系式； （2）直接写出 A、B 两点的坐标，并解释这两点的实际意义； （3）若小华继续观察一小时，请你在图 3 中补全图象. 解：解：（1）由图 3 可知：y2的图象经过点（0,60）和（60,90） ，设 y2=at+b，则 ， 解得. 060 6090 ab ab 1 2 60 a b 图 3 中 y2与 t 的函数关系式为：y2=t+60. 1 2 （2）A 点的坐标是 A（,） ，点 A 是和 y2=t+60 的交点；B 120 11 720 11 6 (030)ytt 1 2 点的坐标是 B（,） ，点 B 是和 y2=t+60 的交点. 600 13 1080 13 6360(3060)ytt 1 2 （3）补全图象如下： 第 20 页 考点七、一次函数与方案设计问题考点七、一次函数与方案设计问题 一次函数是最基本的函数，它与一次方程、一次不等式有密切联系，在实际生活中一次函数是最基本的函数，它与一次方程、一次不等式有密切联系，在实际生活中 有广泛的应用。例如，利用一次函数等有关知识可以在某些经济活动中作出具体的方有广泛的应用。例如，利用一次函数等有关知识可以在某些经济活动中作出具体的方 案决策。近几年来一些省市的中考或竞赛试题中出现了这方面的应用题，这些试题新案决策。近几年来一些省市的中考或竞赛试题中出现了这方面的应用题，这些试题新 颖灵活，具有较强的时代气息和很强的选拔功能。颖灵活，具有较强的时代气息和很强的选拔功能。 1生产方案的设计生产方案的设计 例例 1、某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产 A、B 两种产品，共 50 件。已知生产一件 A 种产品需用甲种原料 9 千克、乙种原料 3 千克，可获利润 700 元；生产一件 B 种产品，需用甲种原料 4 千克、乙种原料 10 千克， 可获利润 1200 元。 (1)、要求安排 A、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来； (2)、生产 A、B 两种产品获总利润是 y(元)，其中一种的生产件数是 x，试写出 y 与 x 之 间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润 是多少? 解解 (1)设安排生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品是(50-x)件。由题意得 解不等式组得 30x32。 因为 x 是整数，所以 x 只取 30、31、32，相应的(50-x)的值是 20、19、18。 所以，生产的方案有三种，即第一种生产方案：生产 A 种产品 30 件，B 种产品 20 件；第二种生产方案：生产 A 种产品 31 件，B 种产品 19 件；第三种生产方案：生产 A 种产品 32 件，B 种产品 18 件。 (2)设生产 A 种产品的件数是 x，则生产 B 种产品的件数是 50-x。由题意得 y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中 x 只能取 30，31，32。) 第 21 页 因为 -500y 乙，120x+240144x+144， 解得 x4。 答：当学生人数少于 4 人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于 4 人时，甲旅行社 更优惠；本题运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了优惠方案的设计问题。 综上所述，利用一次函数的图象、性质及不等式的整数解与方程的有关知识解决了 实际生活中许多的方案设计问题，如果学生能切实理解和掌握这方面的知识与应用， 对解决方案问题的数学题是很有效的。 举一反三：举一反三： 1某童装厂现有甲种布料 38 米，乙种布料 26 米，现计划用这两种布料生产 L、M 两 种型号的童装共 50 套，已知做一套 L 型号的童装需用甲种布料 0.5 米，乙种布料 1 米， 可获利 45 元；做一套 M 型号的童装需用甲种布料 0.9 米，乙种布料 0.2 米，可获利润 30 元。设生产 L 型号的童装套数为 x，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为 y(元)。 (1)、写出 y(元)关于 x(套)的函数解析式；并求出自变量 x 的取值范围； (2)、该厂在生产这批童装中，当 L 型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大? 最大利润为多少? 解：(1) y=15x+1500；自变量 x 的取值范围是 18、19、20。 (2) 当 x=20 时，y 的最大值是 1800 元。 2A 城有化肥 200 吨，B 城有化肥 300 吨，现要把化肥运往 C、D 两农村，如果从 A 城运往 C、D 两地运费分别是 20 元/吨与 25 元/吨，从 B 城运往 C、D 两地运费分别是 15 元/吨与 22 元/吨，现已知 C 地需要 220 吨，D 地需要 280 吨，如果个体户承包了这 项运输任务，请帮他算一算，怎样调运花钱最小? 解析：设 A 城化肥运往 C 地 x 吨，总运费为 y 元，则 y=2x+10060 (0x200)， 当 x=0 时，y 的最小值为 10060 元。 3下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润。某汽车运输公司计划装运甲、 乙、丙三种蔬菜到外地销售 (每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只装一种蔬菜) 第 24 页 甲乙丙 每辆汽车能装的吨数2115 每吨蔬菜可获利润（百元）574 (1)、若用 8 辆汽车装运乙、丙两种蔬菜 11 吨到 A 地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽 车各多少辆？ (2)、公司计划用 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜 36 吨到 B 地销售(每种蔬菜不少于 一车)，如何安排装运，可使公司获得最大利润?最大利润是多少？ 解：(1) 应安排 2 辆汽车装运乙种蔬菜，6 辆汽车装运丙种蔬菜。 (2) 设安排 y 辆汽车装运甲种蔬菜，z 辆汽车装运乙种蔬菜，则用20-(y+z)辆汽 车装运丙种蔬菜。 得 2y+z+1.520-(y+z)=36，化简，得 z=y-12，所以 y-12=32-2y。 因为 y1， z1， 20-(y+z)1，所以 y1， y-121， 32-2y1， 所以 13y15.5。 设获利润 S 百元，则 S=5y+108， 当 y=15 时，S 的最大值是 183，z=y-12=3， 20-(y+z)=2。 4有批货物，若年初出售可获利 2019 元，然后将本利一起存入银行。银行利息为 10%， 若年末出售，可获利 2620 元，但要支付 120 元仓库保管费，问这批货物是年初还是年 末出售为好? 解：解：(1) 当成本大于 3000 元时，年初出售好； (2) 当成本等于 3000 元时，年初、年末出售都一样； (3) 当成本小于 3000 元时，年末出售好。 5、某种子商店销售”黄金一号”玉米种子,为惠民促销,推出两种销售方案供采购者选择. 方案一:每千克种子价格为 4 元，无论购买多少均不打折；