人教版选修21第二章椭圆椭圆的标准方程讲义

案例（二）精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一 对椭圆定义的理解平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距。根据椭圆的定义可知：椭圆上的点满足集合，且、都为常数。当即时，集合为椭圆。当即时，集合为线段。当即时集合为空集。对于后两种情况我们应该注意，它们可以帮助我们理解椭圆的定义，并在具体问题中做出适当的判断。知识点二 椭圆的标准方程根据椭圆的定义，结合求曲线方程的步骤，寻求它的方程，方程的繁简取决于坐标系的建立。首先，可以结合椭圆的形状，感性地认识到椭圆具有对称性，并利用对称性来建立适当的坐标系。其次，如何将椭圆定义中线段长度关系用坐标的形式表示出来，于是设椭圆上任意一点坐标为，点到两焦点间的距离之和为常数,即，然后化简方程。其中带根式方程的化简较困难，原因可能是方法不当，也可能是运算较繁，在推导过程中，只要抓住“怎样消去方程中的根式”这一关键问题，演算虽较繁，也能迎刃而解。关于、以及为什么要设,这正是定义中括号内内容强调的所在，在学习过程中一定要深刻地认识和体会。特别地，引入的作用是为了使方程的形式简单，到下节研究椭圆的性质，就可以明确的几何意义。至于焦点在轴上的情形，可仿上研究。此外：在椭圆的两种标准方程中，总是；如果椭圆的焦点在轴上，则焦点坐标为；如果焦点在轴上，则焦点坐标为；、有关系式；两种形式的椭圆标准方程都可以写成，这为后面的学习奠定了基础。知识点三 用待定系数法求椭圆的方程确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定，的具体的值，常用待定系数法。用待定系数法求椭圆的标准方程步骤如下：（1）作判断：依据条件判断椭圆的焦点在轴上还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；（2）设方程：依上述判断设方程为或；在不能确定焦点位置的情况下也可设为。（3）找关系：依据已知条件，建立关于，或，的方程组；（4）得方程：解方程组，代入所设方程即为所求。典型例题分析题型1 椭圆定义的应用【例1】 在椭圆上求点,使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍。解折 由到椭圆焦点的距离建立两个关于、的方程，可求出、的值。答案 原方程可化为。其中,则。，。设是椭圆上任一点，由椭圆的定义。又，解得，即解得或故点坐标为或。 规律总结 （1）点在椭圆上这个条件的转化常有两种方法：一是点满足椭圆的定义，如本题；二是点坐标满足椭圆方程，如本题可由求出，的值； （2）若平面内的点满足,其中，可得点的轨迹是椭圆，进而求得这个椭圆方程为。 通过上述（1）、（2）的转化，应认真领会椭圆定义的充要关系。【变式训练1】 如右图，已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，求三角形的面积。答案 由已知，从而，即。在中，由余弦定理得，即，；由椭圆的定义得，即，。代入中，得，所以，即三角形的面积是。题型2 定义法求椭圆的方程【例2】 已知中、成等差数列，且。（1） 求顶点的轨迹方程；（2） 求重心的轨迹方程。解析 结合椭圆的定义来探求轨迹问题，并注意重心与顶点的关系。答案 （1）、成等差数列，故顶点的轨迹是以、为焦点，长轴为8的椭圆。不妨以线段所在的直线为轴，线段的中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，则顶点的轨迹方程为：。（2）设重心，由于由于。规律总结 （1）结合椭圆的定义求解轨迹问题是本题关键；（2） 在已知顶点的轨迹方程的前提下，如何探求的重心的轨迹，本题采用了动点坐标转移代入法处理，把未知转化为已知来处理，这是解析几何中的常规方法。【变式训练2】 已知椭圆的焦点地，是椭圆上的一个动点，如果延长到，使得，那么动点的轨迹是 （ ）A. 圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线解析 ，即，动点到定点的距离等于定长，故动点的轨迹是圆。答案 A题型3 待定系数法求椭圆的标准方程【例3】 求经过，的椭圆的标准方程。解析 由于椭圆的焦点不确定，故焦点可能在轴上，也可能在轴上。答案 因为焦点位置不确定，故可能有两种情况。（1） 焦点在轴上时，设椭圆的方程为，故有解之得，方程组无解，故椭圆的焦点在轴上不成立。（2） 焦点在轴上时，设方程为。由题意可知解之得，所求方程为。规律总结 求椭圆方程时应考虑椭圆方程的两种形式，待定系数即可。【变式训练3】 （1）已知椭圆经过点和点，求它的标准方程；（2） 求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。答案 （1）设所求的椭圆方程为，因为该椭圆过点和点，代入得解得，故所求的椭圆方程为；（2）椭圆的焦点坐标为，依题意则可设所求的椭圆的方程为，把代入得，解得，所以所求的椭圆方程为。【例4】 求经过两点，的椭圆的标准方程。解析 （1）由于椭圆焦点位置不确定，可分焦点在轴、轴两种情况求解；（2） 可设椭圆方程为，利用条件求出、。依题意，知（2） 当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意，知 故所求椭圆的标准方程为。 解法二：设所求椭圆的方程为： 。 依题意，可得 故所求椭圆的方程为。 规律总结（1）确定曲线的方程时，若能明确方程的形式，则可设出曲线方程，建立含参数的等式，求出参数的值，再代入所设方程； (2)由于椭圆包含焦点在轴上或焦点在轴上两类情况。因此，解法二的处理避免了分类讨论，达到了简化算的目的。 【变式训练4】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点坐标分别是，椭圆经过点；（2）两个焦点坐标分别为，椭圆上一点到两焦点的距离和为26。 答案 （1）椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，所求椭圆的方程为。(2)椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为。，所求椭圆的方程为。规律总结 待定系数法求曲线方程，关键是从题目条件中挖掘出与待定字母个数相同的独立条件，列方程组求解，特别注意这一隐含条件的应用。题型4 求与椭圆有关的轨迹方程【例5】线段的两个端点、分别在轴、轴上滑动，,点是上一点，且,点随线段的运动而变化，求动点的轨迹方程。解析 点的变化是由点、的变化引起的，因此，首先建立点和、两点的坐标关系，以及动点、的运动规律（方程），然后将点的坐标转移动、的运动规律中去，即可得到的轨迹方程。答案 设点坐标为，设点坐标为，点坐标为。因为,所以,又因为，,点为线段的定比分点，且 所以即代人得，即。规律总结 转代法实质上是利用中间变量求轨迹方程的一种方法，这是解析几何中的一种常见的方法。【变式训练5】 已知轴上一定点,为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程。答案 设中点的坐标为，点的坐标为,利用中点公式，得在椭圆上，。将代入上式得。故所求的中点的轨迹方程是。规律 方法 总结 （1）理解椭圆的定义时，对式子（其中为平面内的动点，、为两定点，为常数)，只有时，动点的轨迹才表示椭圆。（2）理解椭圆的标准方程时，要注意：参数、的意义：椭圆方程中，表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，、(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，是斜边，如图，所以,且，其中是焦距的一半，叫做半焦距；椭圆与的统一形式为当椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上时，对应的方程才是标准方程，同一椭圆在不同坐标系下其方程是不同的。（3）用待定系数法求椭圆的标准方程：第一步：依据条件设出椭圆的标准方程。若焦点在轴上可设成；若焦点在轴上可设成；若焦点的位置在哪个坐标轴上不确定时可设。第二步：依据条件建立参数、或、的等式。第三步：求解待定的参数，明确椭圆的标准方程。（4） 求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法： 定义法：依据条件确定动点满足的几何等式，联想椭圆定义来确定方程。代入法：若问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，可选用代入法求轨迹方程。第一步：设所求轨迹上的动点是，再设具有某种运动规律上的动点。第二步：找出、之间坐标的关系，并表示为第三步，将代入，即得所求轨迹方程。定时 巩固 检测第1课时 椭圆的定义与标准方程基础训练1.的椭圆的标准方程是 （ ）A. B.C. D.以上都不对【答案】D（点拨：焦点位置不确定。）2.已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则的取值范围是 （ ）A. B.C.或 D.【答案】 B（点拨：由可得）3.若的两个顶点坐标为，的周长为18,则顶点的轨迹方程为 （ ）A. B.C. D.【答案】 D（点拨：顶点满足）4.已知动圆和定圆内切而和定圆；外切，设，则 。【答案】225（点拨：利用圆与圆的位置关系求解）5.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为 。【答案】能力提升6.过点且与有相同焦点的椭圆方程是 。【答案】（点拨：焦点坐标为，设方程为，将代入确定，故可求得方程为。）7.已知为常数且,求证：不论为怎样的正实数，椭圆的焦点不变。【答案】 ，焦点在轴上，由，得椭圆的焦点坐标为，由为常数，得椭圆的焦点不变。8.已知、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，满足，的平分线交于，求椭圆的标准方程。第2课时 椭圆的定义与标准方程的应用1.若圆上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（ ）A. B.C. D.【答案】C（点拨：利用坐标变换公式求解即可。）2.已知椭圆的方程为，它的两个焦点分别为，弦过，则的周长为 （ ）A.10 B.20C. D.【答案】D（点拨：利用椭圆定义求解即可。)3.已知椭圆的左、右焦点分别为、,点在椭圆上，若,、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为 （ ）A. B.3C. D.【答案】D（点拨：利用椭圆定义与面积相等综合求解。）4.已知的两顶点、，两边、所在直线的斜率之积为，则顶点的轨迹方程为 。【答案】（点拨：直接法。）5.椭圆的焦点为,点为其上动点，当为钝角时，点的横坐标的变化范围是 。【答案】（点拨：用定义和余弦定理。）能力提升6