人教版选修21第二章抛物线抛物线的标准方程讲义

案例（二）精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 抛物线定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线。(1)定义可归结为”一动三定”：一个动点设为；一定点(即焦点)；一定直线(即准线)；一定值1（即动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为1）。(2) 定义中的隐含条件：焦点不在准线上。若在上，抛物线退化为过且垂直于的一条直线。 (3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(也称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。 知识点二 抛物线的标准方程 抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。如下图所示，分别建立直角坐标系，设出，则抛物线的标准方程如下： （1） （2） （3） （4）（1），焦点：，准线；（2），焦集点：，准线； （3），焦点：，准线； （4），焦点：，准线。 相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称。它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即。不同点：（1）图形关于轴对称时，为一次项，为二次项，方程右端为，左端为；图形关于轴对称时，为二次项，为一次项，方程右端为，左端为；（2）开口方向在轴（或轴）正向时，焦点在轴（或轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在轴（或轴）负向时，焦点在轴（或轴）负半轴时，方程右端取负号。 总之，参数的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，所以恒为正值；值越大，张口越大；等于焦点到抛物线顶点的距离。方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向。 典型例题分析 题型1 抛物线的定义及应用 【例1】 已知抛物线，点是抛物线上的动点，点的坐标为（12，6）。求点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值。 解析由定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，求与点到轴的距离之和的最小值，转化成求的最小值。 答案 如右图易判断知点在抛物线外侧， 设，焦点，则到轴的距离即值。 设到准线的距离为，则。 故，由抛物线定义知。于是，由图可知，当、三点共线时，取最小值，为13。故所求距离之和的最小值为。规律总结 定义是解决问题的基础和灵魂，要善于思考定义和应用定义，本题如果设点坐标为，利用两点间距离公式求解，无法得到答案。由抛物线定义可知，等于点到准线的距离，当、三点共线时，的距离最小，这体现了数学中的转化思想。 【变式训练1】 定长为5的线段的两个端点在抛物线上移动，试求线段的中点到轴的最短距离。 答案如右图，分别过、作抛物线准线的垂线，垂足为、，在直角梯形中， 。 又， ， ,由几何性质，有，当且仅当过焦点时取等号，当为焦点弦时，有最小值，此时，到轴有最短距离为。 题型2 求抛物线的标准方程 【例2】 若动圆与圆（外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程是 （ ） A. B. C. D. 解析 利用抛物线定义的条件。 答案 设动圆的半径为，圆心为到点（2，0）的距离为，到直线的距离为，所以到（2，0）的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知。故选A。 规律总结 处理求轨迹方程的选择、填空类问题，可首先考虑画维由线的定义，或者经转化后联系圆锥曲线的定义来处理。 【变式训练2】 已知圆与定直线，且动圆和圆外切并与直线相切，求动圆的圆心的轨迹方程。答案 依题意，可知到圆心距离和到定直线的距离相等，点轨迹为抛物线，且。点轨迹方程为。 【例3】 根据下列条件，求抛物线的标准方程： （1)焦点为（一2，0）； （2）准线为； （3）焦点到准线的距离是4； （4）过点（1，2）。 解析 求抛物线方程的主要方法是待定系数法，但要依据所给条件选择适当的方程形式。 答案（1)焦点在轴负半轴上，即，抛物线方程。（2）焦点在轴正半轴上，即，抛物线方程为；（3），抛物线方程有四种形式：；（4）点（1，2）在第一象限，要分两种情形：当抛物线的焦点在轴上时，设其方程为，则，解得，抛物线方程为；当抛物线的焦点在轴上时，设其方程为，则，解得，抛物线方程为。 规律总结 （1）抛物线标准方程中的系数叫做焦参数，它的几何意义是：焦点到准线的距离，且焦点到顶点及顶点到准线的距离均为。（2）抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是解题的关键。在方程的类型已确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，所以只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。（3）焦点在轴上的抛物线方程可统一写出；焦点在轴上的抛物线方程可统一写成。【变式训练3】 设抛物线的准线与直线的距离为3，求抛物线的方程。答案 当时。由，得，这时抛物线的准线方程是。抛物线的准线与直线的距离为3。，解得。这时抛物线的方程是。同理，当时，抛物线的方程是。题型3 求抛物线的焦点坐标和标准方程【例4】 已知抛物线的方程，求它的焦点坐标和准线方程。解析 要根据的正负分类讨论。答案 （1）当时，因为，所以，所以焦点，准线方程。（2）当时，。因为，所以。所以焦点，即，准线方程。综上所述，抛物线的焦点，准线方程。规律总结 可能是正的，也可能是负的，因此一定要分，两种情况讨论，此类题易忽略。【变式训练4】 求抛物线的焦点坐标及的值。答案 抛物线方程可化为。.时，点，焦点坐标为；时，焦点坐标为。题型4 实际应用问题 【例5】 一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱宽为m，求能使卡车通过的的最小整数值。 解析 要求拱宽的最小值，需建立适当的坐标系，写出抛物线方程，然后利用方程求解。 答案 以拱顶为原点，拱宽所在直线为轴，建立直角坐标系，如图，设抛物线方程为，则点的坐标为，由于点在抛物线上， 所以 所以，抛物线方程为。 将点代入抛物线方程，得。 所以，点到拱底的距离为。 解得，取整数，的最小值为13。规律总结 实际问题中可由实际情况确立坐标系，要求坐标系要简单，建好坐标系后要由实际情况写出各点坐标及曲线方程，然后依题意解之即可。 【变式训练5】 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜的顶点（即截得抛物线顶点）距离是多少？ 答案 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标 原点，建立直角坐标系,如右图所示。 因灯口直径，灯深，所以点的坐标是（10，12）。 设抛物线的方程为。 由点在抛物线上，得。 抛物线的焦点的坐标为（3.6，0）。 因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm规律 方法 总结（1）批物线的焦点坐标、准线方程，不论还是,总有：焦点，准线方程。（2）正确理解抛物线的定义：抛物线定义中的定点不在定直线上，这一点不可忽视。当时，则动点到定点与到定直线的距离相等的轨迹是过且与垂直的一条直线。（3）已知方程求抛物线的焦点、准线方程时，应先将方程化为标准形式。（4） 根据给定条件，求抛物线的标准方程时，由于标准方程有四种形式，故应先根据焦点位置或准线确定方程的形式，再用待定系数法求之。当对称轴已知，焦点不确定时，可分类讨论，也可统一设方程。如对称轴为轴的抛物线，标准方程可设为。 （5）在解决有关抛物线上的点到焦点的距离问题时，常利用抛物线的定义转化为到到准线的距离。定时 巩固 检测基础训练顶点在原点，准线方程为的抛物线方程为 （ ）A. B.C. D.答案D(点拨:的准线方程是。)2.抛物线的准线方程是 （ ）A. B.C. D.答案C(点拨:原方程可化为:。)3.若抛物线上横坐标为6的点的焦半径为10,则顶点到准线的距离为 （ ）A.1 B.2 C.4 D.8答案C(点拨:依抛物线的定义得，而顶点到准线的距离为。)4.焦点在直线上的抛物线的标准方程是 。答案或(点拨:有两种情形,分别讨论。)5.根据下列条件写出抛物线的标准方程。(1)准线方程；(2)焦点到准线的距离为2；(3)经过点(-3,-5)。答案(1)由，得，所求抛物线的方程是；(2),有四种形式的标准方程，分别是；(3)当抛物线的方程为时，将点(-3,-5)代入得，即抛物线的方程为；当抛物线的方程为时，将点(-3，5)代入得，即 。能力提升6.过抛物线产的焦点作直线交抛物线于、两点,如果,那么 （ ）A.10 B.8 C.6 D.4答案B(点拨:根据抛物线的定义知。)7.已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点,定点,则的最小值为 （ ）A.3 B.4 C.5 D.6答案B(点拨:利用抛物线定义进行长度转化。)8.动点到直线的距离比它到点的距离大2，则点的轨迹方程是 。答案(点拨:动点到直线的距离与到点的距离相等。)9.有一抛