人教高二数学 选修21 第二章 2.3 经典双曲线教案

双曲线教学目标:1、掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。2、熟练地运用待定系数法求标准方程，学会求最值的方法和焦点三角形的解法。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质。难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线。【教学内容】1、 引入： 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。问这牛群是怎样组成的？ （阿基米德分牛问题）2、 双曲线的基本概念1. 双曲线的定义：双曲线的定义在平面内，到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，则仅能表示双曲线的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以为端点的两条射线（包括端点）；4若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5若常数，则动点轨迹为线段的垂直平分线。2.双曲线的标准方程：1当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意： 1只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2在双曲线的两种标准方程中，都有； 3双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.3.双曲线的简单几何性质:（1）对称性：双曲线是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足。（3）顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设为轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为。叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长。注意：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用表示，记作。因为，所以双曲线的离心率。由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线，所以离心率。（5）渐近线：经过点作轴的平行线，经过点作轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。（双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交）特别注意：双曲线的焦点三角形，弦长公式，中点弦问题与椭类似。【例题讲解】例1 已知双曲线，求双曲线的实（虚）轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程.练习：求双曲线的实（虚）半轴长，焦点坐标，准线方程，渐近线方程.例2 已知O1：，O2：（1）若动圆与1，2均内切，求动圆圆心点的轨迹；（2）若动圆与1，2均外切，求动圆圆心点的轨迹。练习：在方程中，若，则方程的曲线是（ ）A. 焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的双曲线C.焦点在轴上的椭圆 D.焦点在轴上的双曲线例3 设双曲线经过点，且与双曲线具有相同渐近线，求双曲线标准方程.练习：1.双曲线与一定有相同的（ ）A.焦点 B.准线 C.渐近线 D.离心率2.与双曲线有共同的渐近线，并且过点的双曲线的标准方程 例4 设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，求双曲线的离心率.练习：（1）双曲线的离心率 （2）已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，则该双曲线的离心率为 例5 已知双曲线的离心率为2，焦点为,点A在上，若,求的值.例6 双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率为.（1）求双曲线的方程；（2）若斜率为1的直线交双曲线于两点，且，求的方程.例7已知双曲线以及点，过点的直线与双曲线相交于两点，为线段的中点，求直线的方程.【过手练习】1.已知方程的图象是双曲线，那么的取值范围是（ ）A. B. C.或 D.2.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.3.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条4.过原点的直线，如果它与双曲线相交，则直线的斜率的取值范围是 .5.设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是 【拓展训练】例8已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l. （1）求双曲线的方程； （2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPMkPN的值.【链接高考】已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为 （）【课后作业】1.等轴双曲线与抛物线的准线交于两点，则双曲线的实轴长等于（ ）A. B. C.4 D.82.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的焦点到直线的距离为( )A B. C. D.3.若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条4.方程表示双曲线的充要条件是（）A.或 B. C. D.5.过双曲线的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .6