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文档简介
双曲线教学目标:1、掌握双曲线的定义,标准方程,几何性质,离心率,通径,最值。2、熟练地运用待定系数法求标准方程,学会求最值的方法和焦点三角形的解法。重点:双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及简单的几何性质。难点:双曲线的标准方程,双曲线的渐进线。【教学内容】1、 引入: 太阳神有一牛群,由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。在公牛中,白牛数多于棕牛数,多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3;黑牛数多于棕牛,多出之数相当于花牛数的1/4+1/5;花牛数多于棕牛数,多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。在母牛中,白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4;黑牛数是全体花牛数1/4+1/5;花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6;棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。问这牛群是怎样组成的? (阿基米德分牛问题)2、 双曲线的基本概念1. 双曲线的定义:双曲线的定义在平面内,到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意:1. 双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解;2. 若去掉定义中的“绝对值”,则仅能表示双曲线的一支;3. 若常数满足约束条件:,则动点轨迹是以为端点的两条射线(包括端点);4若常数满足约束条件:,则动点轨迹不存在;5若常数,则动点轨迹为线段的垂直平分线。2.双曲线的标准方程:1当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中;2当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中.注意: 1只有当双曲线的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程; 2在双曲线的两种标准方程中,都有; 3双曲线的焦点总在实轴上,即系数为正的项所对应的坐标轴上.3.双曲线的简单几何性质:(1)对称性:双曲线是以轴、轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的中心。(2)范围:双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧,是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足。(3)顶点:双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点,坐标分别为,顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴;设为轴上的两个点,则线段叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为。叫做双曲线的实半轴长,叫做双曲线的虚半轴长。注意:实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。(4)离心率:双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用表示,记作。因为,所以双曲线的离心率。由,可得,所以决定双曲线的开口大小,越大,也越大,双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线,所以离心率。(5)渐近线:经过点作轴的平行线,经过点作轴的平行线,四条直线围成一个矩形(如图),矩形的两条对角线所在直线的方程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。(双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交)特别注意:双曲线的焦点三角形,弦长公式,中点弦问题与椭类似。【例题讲解】例1 已知双曲线,求双曲线的实(虚)轴顶点坐标,焦点坐标,准线方程,渐近线方程.练习:求双曲线的实(虚)半轴长,焦点坐标,准线方程,渐近线方程.例2 已知O1:,O2:(1)若动圆与1,2均内切,求动圆圆心点的轨迹;(2)若动圆与1,2均外切,求动圆圆心点的轨迹。练习:在方程中,若,则方程的曲线是( )A. 焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的双曲线C.焦点在轴上的椭圆 D.焦点在轴上的双曲线例3 设双曲线经过点,且与双曲线具有相同渐近线,求双曲线标准方程.练习:1.双曲线与一定有相同的( )A.焦点 B.准线 C.渐近线 D.离心率2.与双曲线有共同的渐近线,并且过点的双曲线的标准方程 例4 设分别为双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点使得,求双曲线的离心率.练习:(1)双曲线的离心率 (2)已知双曲线的一条渐近线与曲线相切,则该双曲线的离心率为 例5 已知双曲线的离心率为2,焦点为,点A在上,若,求的值.例6 双曲线与椭圆有公共焦点,且离心率为.(1)求双曲线的方程;(2)若斜率为1的直线交双曲线于两点,且,求的方程.例7已知双曲线以及点,过点的直线与双曲线相交于两点,为线段的中点,求直线的方程.【过手练习】1.已知方程的图象是双曲线,那么的取值范围是( )A. B. C.或 D.2.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点,满足,直线与圆相切,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.3.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点,若,则这样的直线有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条4.过原点的直线,如果它与双曲线相交,则直线的斜率的取值范围是 .5.设为双曲线上一动点,为坐标原点,为线段的中点,则点的轨迹方程是 【拓展训练】例8已知双曲线的一条渐近线方程为,两条准线的距离为l. (1)求双曲线的方程; (2)直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N,点P为双曲线上异于M、N的一点,且直线PM,PN的斜率均存在,求kPMkPN的值.【链接高考】已知双曲线的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为 ()【课后作业】1.等轴双曲线与抛物线的准线交于两点,则双曲线的实轴长等于( )A. B. C.4 D.82.已知双曲线的一条渐近线的方程为,则双曲线的焦点到直线的距离为( )A B. C. D.3.若直线过点与双曲线只有一个公共点,则这样的直线有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条4.方程表示双曲线的充要条件是()A.或 B. C. D.5.过双曲线的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点,以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于 .6
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