人教版选修21第二章双曲线双曲线的几何性质讲义

案例（二）精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一双曲线的几何性质(1)范围、对称性由标准方程可得，当时，才有实数值；对于的任何值，都有实数值。这说明从横的方向来看，直线之间没有图象，从纵的方向来看，随着的增大，的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 (2)顶点 顶点：，特殊点：。 实轴：长为，叫做半实轴长；虚轴：长为，叫做虚半轴长。 如右图所示，在双曲线方程中，令得，故它与轴有两个交点，且轴为双曲线的对称轴，所以与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是。 在方程中，令，得，这个方程没有实数根，说明双曲线和轴没有交点。但轴上的两个特殊点，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是，要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆。 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。 (3)渐近线 如上图所示，过双曲线的两顶点，作轴的平行线，经过作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程是，这两条直线就是双曲线的渐近线。要证明直线是双曲线的渐近线，即要证明随着的增大，直线和曲线越来越靠拢接近，也即要证曲线上的点到直线的距离越来越短，因此把问题转化为计算，但因不好直接求得，因此又把问题转化为求。显然，当无限大时，。 对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质。特别地，等轴双曲线的两条渐近线方程为，它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。 知识点二 有共同渐近线的双曲线方程 具有相同渐近线的双曲线方程为。当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上。 (1)求双曲线的渐近线方程，一般采用两种方法，即： 代入得渐近线方程。 令得，即。此法简明有效。 (2)反之，若双曲线一条渐近线方程为，即=0，则设双曲线方程为。典型例题分析题型1 由双曲线的方程研究其性质【例1】求双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率，渐近线方程。解析 由方程研究曲线的性质，应首先化为标准方程。答案 双曲线方程可化为。实半轴长，虚半轴长，焦点坐标为(0，-5)，(0，5)，顶点坐标为(0，-4)，(0，4），离心率为，渐近线方程为，即。规律总结 由双曲线方程求渐近线方程时应正确应用公式，也可将双曲线左侧因式分解，使因式分别得零也可。【变式训练1】 求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程。答案 将变形可，顶点，焦点，实轴长，虚轴长，离心率，渐近线方程为。【例2】 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 （ ）A. B.C. D. 解析 先确定焦点，确定、的比值。由双曲线方程判断出公共焦点在轴上，椭圆的焦点，双曲线焦点，。又双曲线渐近线为，代入，得，故选D。答案 D规律总结 求渐近线时应注意对渐近线的两种不同公式的应用。【变式训练2】 若点在双曲线上，则到双曲线渐近线的距离的取值范围是 。答案 双曲线的一条渐近线方程是，由渐近线的性质知，当点是双曲线的一个顶点时，到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是，到渐近线的距离最大值为。故到双曲线渐近线的距离的取值范围是。题型2 由双曲线的几何性质确定其方程【例3】 求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程。解析 双曲线的渐近线方程是，可设出双曲线的方程，将点的坐标代入，即可求出方程。答案 设所求双曲线方程为，由于双曲线过点，有。故双曲线方程为，即。方法指导（1）与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为的形式。(2)本题中的值为正时焦点在轴上，为负时焦点在轴上。【变式训练3】 一椭圆的方程为，焦距为，若一双曲线与此椭圆共焦点，且它的实轴比椭圆的长轴短8，双曲线的离心率与椭圆离心率之比是5：1，求椭圆和双曲线方程。答案 设各为双曲线的实半轴、虚半轴长，依题意有：，解这个方程组，得于是，椭圆短半轴长，双曲线的虚半轴长，故椭圆、双曲线方程分别是。【例4】如果双曲线的渐近线方程是，求离心率。解析 欲求离心率，只需求得关系即可，注意渐近线的位置。答案 方法一：若双曲线焦点在轴上，设方程为。由题意知，又，。若双曲线焦点在轴上，设方程为。由题意知：，综上知：或方法二：设具有渐近线的双曲线方程为，即。若，焦点在轴上，。 若，焦点在轴上，。或。规律总结 渐近线不能确定双曲线的位置，因此不论是方法一，还是方法二，都要考虑到其位置的两种形式。【变式训练4】 设双曲线的半焦距为，直线过、两点，已知原点到直线的距离为，双曲线的离心率为 。答案 直线的方程为，即。于是有，即。两边平方得，解得或，故，。 题型3已知渐近线求方程 【例5】 已知双曲线渐近线的方程为：。 (1)若双曲线经过，求双曲线方程； (2)若双曲线的焦距是，求双曲线方程； (3)若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程。 解析 可设出双曲线方程的统一形式，依据题设建立待定参数方程或方程组求解。 答案 解法一：（1）由双曲线渐近线的方程，可设双曲线方程为：，双曲线过点P，。又渐近线斜率，解得故所求双曲线方程为：。(2)设双曲线方程为：或。 。 由渐近线斜率得或， 故由或 解得或所求双曲线方程为：，或。（3）由（2）所设方程可得：或解得或故所求双曲线方程为：或。解法二：由双曲线的渐近线方程。可设双曲线方程为，(1)双曲线过点，。故所求双曲线方程为：。(2)若，则，由题设。所求双曲线方程为：。若，则，由，。所求双曲线方程为：。故所求双曲线方程为：或(3)若，则。由题设。所求双曲线方程为：。若A0，则由题设所求双曲线方程为：。故所求双曲线方程为：，或。规律总结 (1)解法一是设出双曲线的标准方程，利用条件列出独立的关于的等式，解方程组求出待定系数；(2)解法二利用了共渐近线的双曲线系，由题设条件建立参数的关系确定，但应特别注意值的符号与双曲线焦点的对应。两种解法都很重要，应认真领会。【变式训练5】 是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由。渐近线方程为及；点到双曲线上动点的距离的最小值为。答案 假设存在同时满足题中的两个条件的双曲线。(1)若双曲线的焦点在轴上，因为渐近线方程为，所以由条件，设双曲线方程为，设动点的坐标为，则，由条件，若2b4，即b2，则当时，这不可能，无解；若2b4，即b2，则当时，解得（，应舍去)，此时存在双曲线方程为。 (2)若双曲线的焦点在轴上，则可设双曲线方程为，所以，因为，所以当时，。所以，此时存在双曲线方程为。规律 方法 总结1.理解双曲线的几何性质应注意离心率的范围：e1，应区别于椭圆的离心率的范围。2. 求双曲线的渐近线方程的方法：双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，一般情况下，先求，再写出方程，两者容易混淆。可将双曲线方程中右边的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程，这样就不至于记错了。 3.已知双曲线。、为左、右焦点，为双曲线上的一点，设，则有：。 4.已知双曲线，直线过焦点，且垂直于实轴交双曲线于、两点，弦AB叫通径，其长为。定时 巩固 检测第1课时双曲线的几何性质基础训练1.双曲线的顶点坐标是 （ ）A. B.或C. D.或【答案】 A(点拨：利用双曲线特点求解。)2.双曲线的离心率是 （ ）A. B. C. D.【答案】 C(点拨：利用双曲线标准方程求得即可。)3.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为（ ）A. B. C.2 D.3【答案】B(点拨：由等差数列可得三者方程，再由三者关系消元即可。)4.双曲线的渐近线方程为 。【答案】(点拨：利用公式。）5.与椭圆共焦点，离心率为的双曲线的标准方程为 。【答案】(点拨：可先求焦点坐标再利用离心率求之即可。)能力提升6.双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是 。【答案】90(点拨：离心率为的双曲线渐近线方程为。) 7.设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 。【答案】(点拨：画出图形即可。)8.根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程。(1)过点，离心率。(2)是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且，且离心率为2。【答案】(1)若双曲线的实轴在轴上，设为所求，由，得。 由点在双曲线上，得。 又，由、得。若双曲线的实轴在轴上，设为所求。同理有，解之，得(不符，舍去)。故所求双曲线方程为。(2)设双曲线方程为，因，而，由双曲线的定义，得。由余弦定理，得又，得。故所求双曲线的方程为。第2课时 双曲线的几何性质的应用基础训练1.过点(2，-2)且与有公共渐近线的双曲线方程是 （ ）A. B.C. D.【答】A（点拨：设所求双曲线方程为）2.双曲线的两条渐近线夹角是 （ ）A. B.C. D.【答案】B（点拨：因为渐近线的斜率的地对值为。）3.已知双曲线的离心率，则的取值范围（ ）A. B C. D.【答案】A（点拨：显然有，其次有。）4.下列各对双曲线中，既有相同离心率又有相同渐近线的是 （ ）A.和B.和C.和D.和【答案】D(点拨：依据双曲线的离心率定义和渐近线的求法。)能力提升5.双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线为，则双曲线