人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.2 垂直于弦的直径 研究课 教案

教案 年级：初三 科目：数学 课题（章节）24.1.2垂直于弦的直径目标知识与技能1、使学生探索并了解圆的对称性，垂径定理.2、理解垂径定理及其推论，运用知识解决一些有关证明、计算和作图的问题.数学思考在探究垂径定理的过程中，学生进一步体验“实验、观察、归纳、猜想、推理从而理解垂径定理的方法。从中培养学生分析问题解决问题的能力。问题解决在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决问题。情感态度价值观培养学生对数学美感的体会，使学生不断具有严谨的学习态度和钻研探索的学习精神。教学重点理解垂径定理并进行应用。教学难点探究垂径定理及其推论教学方法启发探究法教具黑板、三角板 教具板书设计 24.1.2垂直于弦的直径（1）复习： 探究（1） 垂径定理：圆的对称性：性质： 探究（2） 推论多媒体辅助教学课后分析教学过程在上节课中，我们学习了与圆有关的概念，今天我们来继续研究圆具有什么性质.一、 创设情境、引入新知问题1：如图，在O上，有任意的两个点A，B.想在此圆上再找到一点C，使得弧AC=弧BC， 请借助你手中的圆形动手试试，看看你可以用什么样的办法找到它。并验证你的结论预设1、 通过对折，让点A、B相互重合，对折的折痕两个端点就是要找到的位置.2、 利用学习垂直平分线知识的迁移，通过做AB线段的垂直平分线找到位置.问题2：通过动手我们发现，有两个位置都可以，一个是在优弧，一个是在劣弧上，那么这两个位置C1，C2连接的线段就是直径，把一张圆形的纸片沿着它的任意一条直径对折，直径两侧的两个半圆能够互相重合发现1： 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。我们将弦AB和直径C1C2各自连接起来，你发现它们在位置上是什么关系？发现2：弦AB和直径C1C2互相垂直，为什么？今天我们就来探究垂直于弦的直径会有哪些结论？二、学习新知，剖析定理课题：24.1.2垂直于弦的直径分析课题：垂直于弦的直径 ，AB是直径（过圆心的线段） 根据对称性，在不添加其他线段的基础上，你又能得到哪些等量关系呢？ 学生通过观察可以发现：（1）CE = ED (2) 弧AC =弧AD (3) 弧CB =弧BD后两个结论我们在前面的动手实践中利用圆的对称性已经验证过了，下面我们来证明（1）学生口述就可以，也是利用对称性就可以说明猜想：这一条直径把弦CD平分，并且平分弦CD所对的弧。下面，我们来进行证明：已知：在O中，AB是直径，CD是弦，CDAB，垂足为E求证：CE =DE , 弧AC=弧AD，弧CB =弧BD分析：通过圆的对称性，可以得出结论，在这里不要求学生进行证明。由此得出：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧。符号语言：在O中，AB是直径，CD是弦， CDAB CE =DE , 弧AC=弧AD，弧CB =弧BD （垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧。） 垂径定理又是判定线段等，弧等的又一个判定方法。三、应用新知，探索推论例1：已知：在O中，CD为直径交弦AB于点E，AE = BE 求证：CDAB，弧AD =弧BD，弧AC=弧BC证明：联结AO ,BO AO =BO AOB为等腰三角形 AE =BE CDAB CD为直径 弧AD =弧BD，弧AC=弧BC(垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧。)由此可以得到一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。分析：为什么要特别强调弦不是直径，因为平分直径的直径不一定垂直。所以，要特别强调弦不是直径。分析：对于一个圆和一条直线来说，只要具备下列五个条件中的任意两个，也就具有其他三个条件。（1） 垂直于弦（2） 过圆心（说明是直径或是半径，或是只是过圆心的线段）（3） 平分弦（4） 平分弦所对的优弧（5） 平分弦所对的劣弧这样，可以得到垂径定理的9个推论，这些不作要求。议一议：下面两个命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请说明理由，如果是假命题，请举出反例。1、 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。2、 平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。四、分析例题，巩固新知例2：如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。解：连结OA，作OEAB，垂足为E， OEAB AE = EB(垂直于弦的直径平分弦) AB = 8cm，AE = 4cm又OE = 3cm，在RtAOE中， OA = = 5cmO的半径为5cm。变式1：在O中，直径长为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，求弦AB的长。变式2：在O中，OC平分AB，圆心O到AB的距离为3cm，AB为8cm，求EC的长。说明：1、OE这条线叫做弦心距，它是一条常见的重要的辅助线，求圆的半径的问题，要和弦心距、弦的一半和半径构造出一个直角三角形，利用勾股定理来解决。2、另外，我们在垂径定理中说到的是直径垂直弦，半径也可以，只要是经过圆心的都是可以的。练习：1 垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧（ ）2 弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 ( ) 圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( )(4)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ( )圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） 如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.