人教版讲义九年级第二十四章圆24.3 正多边和圆

合作探究探究点1 正多边形的概念知识讲解（1）正多边形各边相等.各角也相等的多边形是正多边形。（2）注意:边数n3的多边形必须同时满足“各边相等”和“各角相等”两个条件，才能判定它是正多边形，缺不可，只有边数n一3的多边形，即正三角形特殊，它满足任何一个条件都可以判定其是正三角形，除三角形外，一般在多边形中，“各边相等”与“各角相等”这两个条件是各自独立的，并不能互相推出。典例剖析例1 下列命题中正确的有(1)各边相等的三角形是正三角形:(2)各角相等的三角形是正三角形:(3)各边相等的多边形是正多边形:(4)各角相等的多边形是正多边形，A.1个B.2个C.3个D.4个解析判断一个圈形是否是正多边形，要结合定义中的“各边相等“各角相等”。注意正三角形的特殊性，“各边相等”=“各角相等”.(1)(2)是正确的。(3)与正多边形的定义不符，如菱形的各边相等，但各角不一定相等。(4)各角相等的多边形也不一定是正多边形，如短形的各角相等，但长、宽不一定相等，所以(1)(2)正确，(3)(4)错误.选择B答案 B 类题突破1 如右图，ABC是正三角形，将各边三等分，设分点分别为E,F,G,H,K,L,求证：六边形EFGHKL为正六边形。答案 ABC为正三角形，A=60，AB=AC。又E,L分别为AB,AC的三等分点。AE=AL. AEL为等边三角形，AEL=ALE=60,EL=AE,1=2=120.同理可证3=4=5=6=120，FG=BF,HK=CH.六边形EFGHKL为正边形。点拨由条件可证明AF2.ABGF.OHKC均为正三角形，可得到六边形EFGHK2的六个边都相等。再利于等边三角形的角都为60，可证明六边形EFGHKL的六个内角也都相等，可得结论。探究点2正多边形与圆的关系知识讲解正多边形与圈的关系非常密切，把图分成m(n是大于2的自然数)等份.依次连接各分点所得的多边形是这个圈的内按正边形，这个圈就是这个正多边形的外接圆。另外，正多边形与圆的关系可以这样表述:把圈分成n(n3)等份依次连接各分点，所得的多边形是这个圆的内接正n边形，利用这个结论可以判定一个多边形是否是正多边形或作出一个正多边形，但注意要“依次连接”，不能乱连，内、外是指两个图形的位置关系，如正多边形的外接圈，是以正多边形为准，国在正多边形外，圈的内接正多边形，则是以因为准.正多边形在圈内。正多边形的边长，半径、边心距、中心角可以在右图中表示出来，图中AB是正多边形的边,OA是正移边形的半径,OM是正名边形的边心距，ZAOB是正多边形的中心角.由图知正多边形的半径边心距边长的半构成直角三角形的三边，即,利用这个关系可以进行相关量的计算。典例剖析例2如右图所示，六边形ABCDEF内接于O,且AB=BC=CD=DE=EF=EA 求证:六边形ABCDEF为正六边形，解析 本题只需证其六个顶点等分O即可，另外，说明一个多边形是正多边形必须同时满足各边相等，各角也相等。答案因为六边形ABCDEF内接于O,又AB=BC=CD=DE=EF=FA所以所以A.B.C,D.E,F六等分O.所以六边形ABCDEF是正六边形。 类题突破2如图所示，正六边形ABCDEF内接于O,则ADB的度数是( ) A.60 B.45 C.30 D.22.5答案C点拨连接OB，由多边形是正六边形可求出AOB的度教，再根据国周角定理即可求出ADB的度数.探究点3与正多边形有关的概念知识详解(1)概念(如图)中心:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边开的中心。正多边形的半径:外接圆的半径叫做正多边形的半径。中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.边心距:中心到正多边形的一条边的距离叫做正多边形的边心距(2)性质正多边形的一个内角等于。正多边形的中心角等于。正多边形的中心角与外角相等，注意正多边形的求解问题常利用半径，边心距及边的一年所组成的直角三角形求解.典例剖析例3已知正六边形的半径为R,求正六边形的边长，边心距和面积。解析正六边形的中心角为60”，作边心ROM(如图)，在RIAOM中，利用30角的性质及勾股定理求解。答案如图，正六边形边长=AB,半径0A=R,作OMAB于M，设边心距OM=r,在RtAOM中， 正六边形的中心角为60，AOM=30，OA=2AM,而AB=2AM,AB=OA=R.正六边形的面积类题突破3有一个边长为4的正n边形，它的一个内角为120，则其半径为 （ ） A.4 B.4 C.2D.2答案B点拨根据正几边形的特，点，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 探究点4画正多边形知识详解(1)用最角器面正多边形方法一:由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圈心角可以等分圆。方法二:先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的孤就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，顺次连接各等分点即得此圆的内接正n边形 (2)用尺规等分圆正四边形的作法; 如右图所示，在OO中,用尺规作两条互相垂直的直径,把00四等分，从而作出正四边形ABCD.再逐次平分各边所对的弧，则可作出正A八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形。正六边形的作法:如下图所示，任意作一直径AB,再分别以A,B为圆心，以O的半径为半径作弧，与O交于C,D和E.F,则A,C,E,B,F,D为O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD. 典例剖析 例4用量角器画一个半径为1.1cm的正五边形，再作这个正五边形的各条对角线，画一个五角星. 解析 用量角器把圆周五等分.答案 如右图所示(1)画一个以任意点O为圆心，以1.1cm长为半径的圆;(2)用量角器画一个等于的圆心角，得此角所对的弧;(3)在圆上依次截取这条弧的等弧，得圆的五等分点;(4)顺次连接各等分点得此圆的内接正五边形;(5)作这个正五边形的各条对角线得五角星方法归纳本题用的是方法二，依次作一个圆心角所对的弧的等弧来等分圆。也可以用第一种方法。类题突破4如图，已知半径为R的O,用多种工具多种方法作出圆内接正三角形。答案方法一:1.用量角器画圆心角A0B=120，BOC=120 2.连接AB,BC,CA,则ABC为圆内接正三角形，(如图(1)所示)方法二:L用量角器画圆心角BOC=120.2. 在O上用圆规截取3.连接AC,BC,AB,则ABC为圆内接正三角形，(如图(2)所示）方法三:1.作直径AD.2.以D为圆心，以OA为半径画弧，交O于点B.C.3.连接AB,BC,CA，则ABC为圆内接正三角形。(如图(3)所示)点拨选择工具有直尺、圆规、量角器，依据正多边形与国的关系，可平分弧或作中心角，先作正六边形，再作正三角形，重点难点重难点 正多边形的证明和有关计算（1)正边形的内角和是(n-2)180,它有n个相等的内角.因此，正n边形每个内角的度数是.正n边形有n个相等的中心角，面这些中心角的和是360，因此，正n形每个中心角的度数是正边形有n个相等的外角，而这些外角的和是360.因此，正n边形每个外角的度数是,很容易看出：正n边形的中心角与它的外角大小相等，正n边形的其他计算，都归结到直角三角形中进行(2) 正n边形的半轻和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.这样就把正n边形问题转化成了直角三角形问题了。例 如下图.M.N分别是0的内接正三角形ABC、正方形ABCD.正五边形ABCDE.正n边形ABCDEF.的边AB.BC上的点，且BM=CN,连接OM.ON.(1)求图(1)中MON的度数:(2)图(2)中MON的度数是_,图(3)中MON的度数是_.(3)试探究MON的度数与正边形边数n的关系(直接写出答案).解析从圆的旋转不变性考虑，连接OB.OC.则OMB旋特120后一定会与CONC重合的，它的旋转角应该等于中心角，答案 (1)解法一:连接OB.0C。正ABC内接于O,OBA=OCN+30,BOC=120又BM=CN,OB=OC,OBMOCN.BOM=CON.MON=BOC=120解法二：连接OA,OB.正ABC内接于O，AB=BC,OBN=30,AOB=120又BM=CN,AM=BN又OA=OB,AOMBON.AOM=BON.MON=AOB=120.(2)90 72(3)MON=.类题突破 正大边形的两条平行边之间的距离为1.则它的边长为A.B.C. D.答案D易错指导易错点1 正多边形的面积计算错误例1 一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，求此正方形与正六边形的面积之比，错解 正方形和正六边形的外接圆半径相等，设两正多边形的外接圆半径为R,则正方形被对角线分成两直角边都为R的四个直角三角形，所以正方形的面积为四个三角形的面积的和，即为;同理，正六边形也被分成两直角边都为R的六个直角三角形，其面积为，故它们的面积比为2：3. 错因分析误认为正六边形的分割图与正方形的分割图都是等腰直角三角形。 正解正方形的外接圆半径为R.则共面积为四个直角边为R的等腰三角形的面积和，即；正六边形的面积为六个边长为R的等边三角形的面积和，即,所以正方形与正六边形的面积之比为;纠错心得 正方形的外接