人教版选修21第三章距离讲义

案例（二）精析精练课堂 合作 探究重点难点突破 知识点一 距离与两点间距离 （1）两点之间的距离：连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离。求法：解三角形：利用向量。 （2）点到直线的距离：如右图所示，过直线外一点向直线作垂线，垂足为，则线段的长度就是点到直线的距离。求法：一般用三垂线定理作出垂线段，通过解直角三角形求点到直线的距离；借助面积相等求点到直线的距离。 （3）图形与图形的距离：一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小距离，叫做图形与图形的距离。两点之间的距离是空间各种距离的基础，图形与图形的距离最终转化为两点之间的距离进行求解。 知识点二 点面距、线面距与面面距 1.（1）连结平面外一点与内任意一点的所有线段中，垂直线段最短，如下图所示。（2）点到平面的距离的定义：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离。（3）点到平面的距离的求法：定义法：由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长。等体积转化：当过已知点作已知平面的垂线很困难时，可考虑等体积转化。向量法：向量法可分两种：一是利用向量表示点到平面的垂直线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模；二是利用法向量。 2.（1）定义：一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与平面的距离。 （2）求法：转化为直线上的一个恰当的点到平面的距离来求解。 3.（1）定义：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平面的公垂线。公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段。两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离。（2）求法：求两平行平面间的距离可转化为求点到平面的距离：即面面距线面距点面距线面距点面距。 典型例题分析 题型1 向量法与两点间距离 【例1】 如右图所示，已知一个120的二面角的棱上有两点，分别是在这个二面角的两个面内，且垂直于的线段，又知，求两点间的距离。解析 求两点的距离，可求。答案 将线段两点间的距离转化为向量的模，再用已知条件表示向量，然后求其模。由已知，。又，故两点间的距离为4。规律总结 解决本题的关键有四点：一是将线段的长转化为的计算；二是用已知向量表示向量；三是用公式，将向量模的计算转化为向量的计算；四是注意与互补。另外，本题不用向量法求解，而用几何法求解，则需要作辅助线，解题过程较繁。【变式训练1】 如右图所示，已知为直二面角，在上，分别在，平面内，且与的夹角为45，求的长。答案 如下图，二面角为直二面角，且，。又与的夹角为45，与的夹角为45。，即的长为。题型2 异面直线距离【例2】 已知正方体的棱长为1，求异面直线间的距离。解析 由于所给几何体是正方体，所以可建立恰当的空间直角坐标系，用坐标向量求解。以所在的直线分别为轴、轴、轴建立如右图所示的空间直角坐标系。则有下列各点的坐标，。 答案 令为异面直线的公垂线段，并设点的横、纵坐标分别为，则。，由公垂线段的定义可得，即解之，得。故异面直线间的距离为。规律总结 解决本题的关键是利用异面直线公垂线的定义建立方程组，应用待定系数法求出公垂线段的向量坐标表示式。用空间坐标向量解立体几何问题一般有下列四个步骤：（1）根据几何图形特征（最好出现相交于同一点的三条两两互相垂直的直线），建立恰当的空间右手直角坐标系；（2）写出定点坐标，设出动点坐标，得到相关向量的坐标表示形式；（3）运用向量相关知识进行向量坐标运算，得到相应的结果；（4）将向量计算得到的結果转化为几何问题中的结论。【变式训练2】 已知直线上有两定点、，线段，且与成120角，求与间的距离。答案 以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则所以。设与的公垂线的一个方向向量，由，得令，得，所以。所以，即与间的距离为。题型3 点面距【例3】 已知正方体的棱长为，过作一个梯形截面，而，求顶点到截面的距离。解析 由于本题中的几何体是正方体，所以可以建立恰当的空间直角坐标系来求解。因为載面是梯形，所以线段与平行，且在上底面上；再由的大小确定的位置，从而确定截面；最后用平面的法向量求出顶点到截面的距离。答案 以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系，则，此外，设，则。 因为一方面有，所以。由于，即，于是。现在假设平面的法向量是，则由，及，求得，故点到平面的距离为。规律总结 求点到平面的距离，一般用平面的法向量法，也即先在平面内找一点，使得很容易确定（例如本题选择），然后求出平面的法向量，最后通过解三角形得到点到面的距离。 【变式训练3】 在四面体中，两两垂直，设，点到平面的距离为，求证：。答案 如下图，建立坐标系，则，。设是平面的一个法向量，则，于是取。在上的射影长度就是点到平面的距离，故。 【变式训练4】 如下左图，已知四棱柱，点为的中点，点为的中点。求点到面的距离。 答案 取的中点M，连接。如上右图所示。因为为的中点，所以且。又且，所以四边形是矩形，所以。又因为面，所以面，设点到面的距离为，连接，有。因为面，所以。因为，所以，所以，所以，所以。即点到平面的距离为。题型4 点线距、线面距和面面距【例4】 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，（1）求证：平面；（2）求直线与平面的距离。解析 将这些距离转化为点面距。答案 （1）证明：如下图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。 因为。所以，而平面，平面，所以平。 （2）由上图得，所以。设y，2）是平面的法向量， 则所以 取得，所以在上的射影长为。所以直线到平面的距离。 方法指导 在正方体中，垂直关系较多，因此求距离时方法也较多，同学们可以选择自己熟悉的方法求解。 【变式训练5】 正方形的边长为4，、分别是、的中点，面，求点到平面的距离。 答案 分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，如右图所示。根据已知，则有、所以，。设平面的法向量为。则由可得，。所以。又，所以点到平面的距离。 【例5】 如图，正四棱柱中，侧棱，底面边长为，、分别为棱、的中点。 （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面间的距离。 解析 首先用面面平行的判定定理证明（1），然后两平行平面间的距离就是平面内任一点到平面的距高，转化为点面距来求解。 答案 （1）如图分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，则，又，平面平面。（2）由（1）可知平面与平面间的距离等于到平面的距离，设平面的法向量，由得，得，令，得，到平面的距离。平面与平面间的距离为。 方法指导 平面平面，则、间的距离就是内任一点到的距离，这是立体几何、空间向量中转化思想方法的典型实例。 【变式训练6】 右图，为矩形所在平面外一点，平面，若已知，求点到的距离。 答案 方法一：作，垂足为， PA平面，为在平面上的射影， 由三垂线定理得，即为到的距离， 在中，可得， 在中，由勾股定理可求得， 到的距离为。 方法二:如上图，分别以、所在直线为、轴建系，则，到的距离。到的距离为。 规律 方法 总结1.空间中两点的距离公式若，则。2.向量的模长公式若，则。3.点到直线的距离（1）点到直线垂线段的作法在立体几何中，点到直线的垂线段是由三垂线定理确定的。（2）点到直线距离的求法几何法由三垂线定理将立体几何问题转化为平面几何中的解直角三角形问题，进行求解。向量法设是过点平行于向量的直线，是直线以外一定点，向量在上的射影的大小为，则点到直线的距离。4.点到平面的距离的求法（1）几何法由点到平面的距离的定义转化为平面几何中的解直角三角形问题，进行求解。由已知点和平面内不共线的三点构成三棱锥，转化为体积问题，进而用等积法求解。（2）向量法如右图，平面，垂足为，则点到平面的距离就是线段的长度。若是平面的任一条斜线段，则在中，。如果令平面的单位法向量为，则点到平面的距离为。求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：求出该平面的一个单位法向量；找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；求出单位法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，即是点到平面的距离。 定时 巩固 检测基础训练1.中，平面，则点到的距离是（ ）A. B. C. D.【答案】 D（点拨:在平面内过作于，连即为所求。）2.中，点在所在平面外，点到的距离，则点到平面的距离等于（ ）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】 A（点拨:解决本题的关键在于找点在平面内的射影。易知点在平面内的射影在的角平分线上。）3.已知夹在两平行平面、内的两条斜线段，cm，cm，和在内的射影的比为3:5，则、间的距离为（ ）Acm B.cm C.cm D.cm【答案】 C（点拨:设、间距离为，在内的射影长分别为，由得。）4.如右图，二面角为120，、是棱上两点，、分别在、内，且，则的长为（ ）A. B.C.2 D.【答案】 C（点拨:利用求解。）5.正方体中，棱长为，设点到平面的距离为到平面的距离为到平面的距离为，则有（ ）A. B.C. D.【答案】 D（点拨:易得，故选D。）能力提升6.如下图，四面体中，为等腰三角形，且平面，求点到平面距离。 【答案】 作交的延长线于，连接。平面，根据三垂线定理有。又，平面。又平面，平面平面且平面平面。过点作于，由平面与平面垂直的性质定理可知，平面。的长就是点到平面的距离。在中，即点到平面的距离为。7.正方体的棱长2，、分别是、的中点，求点到平面的距离。【答案】 解法一:如右图，设点到平面的距离为，在四面体中，由可得。所以到平面的距离为。解法二:如图，建立空间直角坐标系，则，所以。设是平面的法向量，则由，得，从而有，所以可取。在上射影的长度为。即点到平面的距离为。8.如下图，空间四边形的四条边及两对角线长为，试求点到平面的距离。【答案】 设点是在平面上的射影，分别连接，由于，所以它们在平面上的射影、也均相等，所以是等边三角形的中点，正的高m，。在中，即中点到平面的离为。9.如右图所示，已知四边形是正方形，平面，若，求。(1)点到正方形各顶点的距离；(2)点到正方形各边的距离；(3)点到正方形两条对角线的距离。【答案】 (1)以为原点，以、所在直线为轴、轴、轴建立空间