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利用期望与方差的性质求期望或方差,2,E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ),E (X Y ) = E (X )E (Y ) .,3,性质 4 的逆命题不成立，即,若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.,反例,注,4,但,5,若X 0，且EX 存在，则EX 0。,推论: 若 X Y，则 EX EY。,证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则 由X 0 得：,所以,证明：由已知 Y - X0，则 E(Y - X) 0。 而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) E(Y)。,6,性质2和3,性质4,例1.设 XN(10,4)，YU1,5，且X与Y相互独立，求 E(3X2XYY5)。,解：,由已知， 有 E(X)10, E(Y)3.,7,例2.(二项分布 B(n,p) 设单次实验成功的概率是 p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？,解: 引入,则 X X1+ X2 + Xn 是n次试验中的成功次数。,因此，,这里， XB(n,p)。,8,例3.将4 个可区分的球随机地放入4个盒子中,每盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数学期望.,解一:设 X 为空着的盒子数, 则 X 的概率分布为,9,解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4.,10,若X的取值比较分散，则方差较大.,刻划了随机变量的取值相对于其数学期望 的离散程度。,若X的取值比较集中，则方差较小；,Var(X)=EX-E(X)2,方差,11,注意：,1) Var(X)0，即方差是一个非负实数。 2）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X)。 方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征。,12,方差的计算公式,常用的公式：,证明:,13,例1. 已知 X 的密度函数为,其中 A，B 是常数，且 E( X) = 0.5.,求 A，B. (2)设 Y=X2, 求 E(Y), D(Y)
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