教材研读之函数(juner).ppt

苍南县教师进修学校 郑俊儿,教材研读之,函数,函数是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。,函数的一些基本的概念和定义,一次函数,反比例函数,二次函数,函数,一、引言,总体上看，这几年函数的知识比例在12%左右，后三年二次函数的比例明显增大。,二、知识的纵线与横线联系,（一）知识的纵向联系,1.第一学段（1-3年级）和第二学段（4-6年级）,第一学段（1-3年级）： 在本学段中，学生将学习万以内的数，简单的分数和小数、常见的量、体会数和运算的意义、掌握数的基本运算，探索并理解简单的数量关系。,第二学段（4-6年级）： 在本学段中，学生将进一步学习整数、分数、小数和百分数及其有关运算，进一步发展数感；初步了解负数和方程；开始借助计算器进行复杂计算和探索数学问题；获得解决现实生活中简单问题的能力。,二、知识的纵线与横线联系,（一）知识的纵向联系,1.第一学段（1-3年级）和第二学段（4-6年级）,一二年级：提出问题、解决问题、感悟体验 三四年级：情境信息与问题结果之间的中间环节 五 年 级：解决问题的程序 六 年 级：数学化、模型化及方法沟通,“第一学段不要过多地学习数学，因为那时的孩子还不能很好地理解数学所表达的意义；第二学段不要过多地涉及逻辑，因为学生还没有建立起足够的可以理解逻辑的概念；” 史宁中,二、知识的纵线与横线联系,（一）知识的纵向联系,2第三学段,第三学段： 在本学段中，学生将学习实数、整式和分式、方程与方程组、不等式和不等式组、函数等知识，探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，发展符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。,二、知识的纵线与横线联系,（一）知识的纵向联系,3.高中学段,必修1：集合（函数的基础），函数概念与基本初等函数 必修4：三角函数，函数的综合应用 必修5：数列（某种意义下函数），不等式（与函数密切联系） 选修2：导数及其应用（用导数进一步研究函数） 选修3：函数的综合应用,在初中阶段学生要学习函数知识的主干部分。,二、知识的纵线与横线联系,（二）知识间的横线联系,1初中数学课程标准内容与原教学指导纲要的比较,函 数,要求加强方面 ： 1举出函数的实例 2理解和运用图象分析实际问题中的函数关系 3强调对数量关系和变化规律的探索 4用适当的函数表示法刻画实际问题中变量之间的关系 5函数的作用结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行预测 6具体问题中的数量关系和变化规律的探索,要求降低方面 ：求自变量取值范围没有根式确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围,二、知识的纵线与横线联系,（二）知识间的横线联系,1初中数学课程标准内容与原教学指导纲要的比较,一次函数,要求加强方面 ： 1一次函数意义的体会结合具体情景体会一次函数的意义 2性质的探索过程根据一次函数的图象和解析表达式探索并理解其性质 3新增根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解 4用一次函数解决实际问题,要求降低方面：正比例函数作为一次函数的特例，要求理解其意义,二、知识的纵线与横线联系,（二）知识间的横线联系,1初中数学课程标准内容与原教学指导纲要的比较,反比例函数,要求加强方面 ： 1性质的探索过程根据图象和解析表达式探索并理解其性质 2在实际问题中的应用,要求降低方面：无,二、知识的纵线与横线联系,（二）知识间的横线联系,1初中数学课程标准内容与原教学指导纲要的比较,二次函数,要求加强方面 ： 1根据实际问题确定函数表达式通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义 2从图象上看性质通过图象认识二次函数的性质 3新增用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 4用二次函数解决简单的实际问题,要求降低方面： 1没有用根的判别式研究函数性质 2图象的顶点和对称轴公式不要求记忆和推导 3用代数法研究函数的要求进一步降低,二、知识的纵线与横线联系,2不同版本教材之间的比较,（二）知识间的横线联系,问题：“在数与代数领域，您认为函数内容是集中安排好还是分散安排好？”,函数这个初中数学教学的传统难点，教材不易过早提前安排，同时也要分散呈现。,特点一：螺旋上升安排函数内容，分散教学难点,二、知识的纵线与横线联系,2不同版本教材之间的比较,（二）知识间的横线联系,二、知识的纵线与横线联系,2不同版本教材之间的比较,（二）知识间的横线联系,特点二：提供丰富的函数例证，帮助学生形成函数概念。,二、知识的纵线与横线联系,2不同版本教材之间的比较,（二）知识间的横线联系,特点三：加强函数与相关内容的联系，用函数观点统领相关内容。,二、知识的纵线与横线联系,（二）知识间的横线联系,3.“一次函数”在浙教旧版及三个版本新课程实验教科书中的呈现比较,1）章节编排方面,正比例函数,2）增加（减少）的主要内容：,强化了数形结合的数学思想。,3）例题和习题方面 之例题素材,更注重与学生实际、社会生活等联系,3）例题和习题方面 之习题类型,计算、证明、简答题,二、知识的纵线与横线联系,（二）知识间的横线联系,3.“一次函数”在浙教旧版及三个版本新课程实验教科书中的呈现比较,结论一：从多个角度、用多种形式呈现，体现知识联系的多元化,结论二：同中求异，各具特色，达成相同的教学的目标,三、函数概念的发展背景,（一）早期函数概念几何观念下的函数,（二）十八世纪函数概念代数观念下的函数,（三）十九世纪函数概念对应关系下的函数,（四）现代函数概念集合论下的函数,函数的对应说,函数的变量说,函数的关系说,欧拉（Euler）首先给出了函数的变量定义（1755年）：“如果某变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一些变量的函数。”可以看到，我国初中数学教科书中关于函数的定义就采用了这一说法。,黎曼（Riemann）给出了函数的对应定义（1851年）：“我们假定Z是一个变量，如果对它的每一个值，都有未知量W的一个值与之对应，则称W是Z的函数。”这可以被看作我国高中数学教科书中关于函数定义的雏形。,三、函数概念的发展背景,函数的对应说,函数的变量说,（四）知识结构,四、知识的框架,（一）课程目标,（二）教学目标,（三）教学内容,（五）考点分析,四、知识的框架,（五）考点分析,一次函数:,四、知识的框架,（五）考点分析,反比例函数：,（五）考点分析,四、知识的框架,二次函数:,（五）考点分析,四、知识的框架,2010年5分 14若一个反比例函数的图象位于二、四象限，则它的解析式可能是(写出一个即可),五、教材的特色,一次函数 7.3一次函数 7.4一次函数的图像 7.5一次函数的简单应用,反比例函数 1.1反比例函数 1.2反比例函数的图像和性质 1.3反比例函数的应用,二次函数 2.1二次函数 1.2二次函数的图像 2.3二次函数的性质 2.4二次函数的应用,第一步，从学生熟悉问题背景引入相应的函数入手，由具体到一般，建立函数的概念; 第二步，利用变换的观点研究函数的图象，通过函数图象研究函数的性质，体现函数解析式与图象的关系; 第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体会函数的本质。,五、教材的特色,（一）强调背景，展现过程,五、教材的特色,一次函数：节前语中的沙漠问题、个人所得税问题 反比例函数：铁路问题、金属测量质量问题 二次函数：圆的面积问题、存款问题、种植面积问题,“合作学习”、“节前问题思考”、“设计题”及“章前问题”,（二）突出联系，体现应用,五、教材的特色,一次函数：鲸的问题、游览问题、怎样选择较优方案（课题学习） 反比例函数：设置三角形面积问题、压强问题 二次函数函数：储蓄问题、种植面积问题、最佳设计问题、船只运动问题、销售问题,初步体验建立函数模型的过程和方法。,（三）重视数学思想方法,五、教材的特色,数形结合 用函数观点研究问题 数学建模,在研究二次函数性质过程中函数图象、表格与解析式的相互结合使用； 根据实际问题的数据画图、建立拟合函数的解析式、估计事物发展趋势; 用函数观点研究问题、数学建模的思想方法建立实际问题的二次函数模型。,六、几点建议,克莱因（F.Klein）在为中学数学教学起草的米兰大纲（1905年）中明确提出：“应将养成函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础。”,（一）抓住函数概念核心,举三反一,恰当地使用反例,针对这样的概念，我们不要期望一堂课或者几堂课就能让学生很好地理解，应当通过各种具体的例子和习题的分析帮助学生理解函数概念。,反比例函数概念的教学：,从一些具体实例引入（包括匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；）；,反思（与正比例函数、一次函数作比较，纳入概念系统）等。,例题（给出用概念作判断的操作步骤）；,辨析概念（从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用）；,下定义（给出反比例函数的文字和符号描述）；,概括其中的共同本质特征（函数关系，反比例关系）；,概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入）,概念的形成（提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性）,概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延）,概念的表示（用数学符号表示，这是数学概念的特色）,概念的巩固和应用（以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义，应用概念作判断）。,（二）树立建立模型的思想，积累数学活动经验。,六、几点建议,例如在第四节一次函数的图象中，作出了几个函数的图象，给出函数图象的直观形象以后，安排一个“议一议”的活动要求同学们思考： 问题一：满足某种关系式的x、y所对应的点（x、y）是否在函数的图象上； 问题二：函数图象上的点（x、y）是否都满足函数关系式； 问题三：一次函数的图象有什么特点？,（三）处理好函数与图形的关系,一方面，只有借助图形才能使毫无生机的数学符号变得形象，使得学生可以直观地把握函数的特性，把握函数中系数的作用，分析函数的变化规律、函数的定义域、函数取正值或者负值的区间，等等；,六、几点建议,另一方面，借助平面直角坐标系，通过函数可以把代数与几何有机地结合起来，可以让学生感悟：有些几何问题可以利用代数的方法进行研究，有些代数问题则可以利用几何的直观进行分析。,Function,（四）加强研究函数的一般