高中数学第一章1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法（第2课时）学案（含解析）新人教A版.docx

第2课时分段函数学习目标1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.知识点分段函数思考集合AR，B，A中的有理数都对应B中的元素0，无理数都对应B中的元素1，这一对应是函数吗？答案是，因为符合函数定义梳理(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象1分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.()2分段函数各段上的函数值集合的交集为.()3分段函数的图象一定是不连续的()类型一建立分段函数模型例1如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7，腰长为2，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象考点分段函数题点求分段函数解析式解过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45，AB2，所以BGAGDHHC2，又BC7，所以ADGH3.(1)当点F在BG上，即x0,2时，yx2；(2)当点F在GH上，即x(2,5时，y22x2；(3)当点F在HC上，即x(5,7时，yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF(73)2(7x)2(x7)210.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y图象如图所示：反思与感悟当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画跟踪训练1某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象考点分段函数题点分段函数应用问题解设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20由题意得函数的解析式为y函数图象如图所示：类型二研究分段函数的性质命题角度1给x求y例2已知函数f(x)试求f(5)，f()，f的值考点分段函数题点分段函数求值解5(，2，f(5)514.(2,2)，f()()22()32.(，2，f1(2,2)，ff22.引申探究本例中f(x)的解析式不变，若x5，求f(x)的取值范围解当5x2时，f(x)x14，1；当2x4，所以f(5)523.因为30，所以f(f(5)f(3)341.因为08.考点分段函数题点分段函数与不等式结合解(1)当x02时，由2x08，得x04，不符合题意；当x02时，由x28，得x0或x0(舍去)，故x0.(2)f(x)8等价于或解得x，解得x，综合知f(x)8的解集为x|x反思与感悟已知函数值求变量x取值的步骤(1)先对x的取值范围分类讨论；(2)然后代入到不同的解析式中；(3)通过解方程求出x的解；(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来跟踪训练3已知f(x)(1)画出f(x)的图象；(2)若f(x)，求x的值；(3)若f(x)，求x的取值范围考点分段函数题点分段函数与不等式结合解(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示(2)f(x)等价于或解得x，解集为.当f(x)时，x.(3)由于f，结合此函数图象可知，使f(x)的x的取值范围是.1设f(x)则f(f(0)等于()A1B0C2D1考点分段函数题点分段函数求值答案C2已知函数y则使函数值为5的x的值是()A2或2B2或C2D2或2或考点分段函数题点分段函数求值答案C3已知函数f(n)则f(5)的值是()A4B48C240D1440考点分段函数题点分段函数求值答案C解析因为f(n)所以f(5)5f(4)54f(3)543f(2)5432f(1)54321f(0)543212240.故选C.4设f(x)g(x)则f(g()的值为_考点分段函数题点分段函数求值答案05已知函数f(x)则f(f(4)_.答案2对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况一、选择题1已知f(x)则f(f(f(2)等于()AB0C2D1考点分段函数题点分段函数求值答案D解析f(2)0，f(0)，f()12设函数f(x)若f()4，则实数等于()A4或2B4或2C2或4D2或2考点分段函数题点分段函数求值答案B解析当0时，f()4，得4；当0时，f()24，得2或2(舍)4或2.3设函数f(x)若f(a)f(1)2，则a等于()A3B3C1D1考点分段函数题点分段函数求值答案D解析f(1)1.f(a)f(1)f(a)12.f(a)1，即或解得a1，解得a1.a1.4函数f(x)的值域是()ARB0，)C0,3Dx|0x2或x3考点分段函数题点分段函数的定义域、值域答案D解析值域为0,23,2x|0x2或x35已知函数f(x)若f(f(x)2，则x的取值范围是()AB1,1C(，1)(1，) D21,1考点分段函数题点分段函数求值答案D解析若x1,1，则f(x)2，f(f(x)f(2)2，符合题意；若x1，则f(x)x，f(f(x)f(x)x2，此时只有x2符合题意；若x1，则f(x)x，f(f(x)f(x)x2，但因为x10.令2mx10m16m，解得x13(立方米)7著名的Dirichlet函数D(x)则D等于()A0B1C.D.考点分段函数题点分段函数求值答案B解析D(x)0,1，D(x)为有理数，D1.8设函数f(x)若f(f(a)3，则实数a的取值范围是()A(， B，)C， D(，答案D解析令f(a)t，则f(t)3等价于或解得t3，则f(a)3等价于或解得a，则实数a的取值范围是(，故选D.二、填空题9函数f(x)的定义域是_考点分段函数题点分段函数的定义域、值域答案0，)解析定义域为0,1(1,2)2，)0，)10分段函数f(x)可以表示为f(x)|x|，分段函数f(x)可表示为f(x)(x3|x3|)，仿照上述式子，分段函数f(x)可表示为f(x)_.考点题点答案(x6|x6|)解析因为f(x)可表示为f(x)(x3|x3|)，其分界点为3，从而式子中含有x3与x3，并通过|x3|前面的“”构造出需要的结果的形式所以，对于分段函数f(x)其分界点为6，故式子中应含有x6与x6.又x6时f(x)6，故|x6|的前面应取“”因此f(x)(x6|x6|)11已知f(x)则不等式xf(x)x2的解集是_考点分段函数题点分段函数与不等式结合答案x|x1解析当x0时，f(x)1，代入xf(x)x2，解得x1，0x1；当x0时，f(x)0，代入xf(x)x2，解得x2，x0.综上可知x1.三、解答题12已知函数f(x)(1)求f，f，f，f；(2)若f(a)6，求a的值考点分段函数题点分段函数求值解(1)(，1)，f23.1,1，f2.又2(1，)，ff(2)224.(1，)，f29.(2)经观察可知a1,1，否则f(a)2.若a(，1)，令2a6，得a3，符合题意；若a(1，)，令2a6，得a3，符合题意a的值为3或3.13如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕边界运动，用x表示点P的行程，y表示APB的面积，求函数yf(x)的解析式考点分段函数题点分段函数应用问题解当点P在BC上运动，即0x4时，y4x2x；当点P在CD上运动，即4x8时，y448；当点P在DA上运动，即80；(3)若直线ya与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围考点分段函数题点分段函