高中数学第二章平面向量第2节平面向量的线性运算（第1课时）向量加法运算及其几何意义教案.docx

第1课时向量加法运算及其几何意义核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P80P83的内容，回答下列问题(1)观察教材P80图2.21，思考：某对象从A点经B点到C点，两次位移、的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？提示：从A点经B点到C点，两次位移、的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等(2)观察教材P80“探究”的内容，思考：力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？提示：产生的效果相同力F与力F1、F2有怎样的关系？提示：力F是F1与F2的合力力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法2归纳总结，核心必记(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法(2)向量加法的运算法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量 叫做a与b的和，记作ab，即ab . 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则对于零向量与任一向量a的和有a00aa平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线 就是a与b的和我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则(3)向量加法的运算律交换律：abba；结合律：abc(ab)ca(bc)问题思考(1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则(2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用(3)式子0正确吗？提示：的和为零向量，即0，0不能写成0，故式子0不正确课前反思(1)向量加法的定义： ；(2)求向量和的三角形法则： ；(3)求向量和的平行四边形法则： ；(4)向量加法的交换律： ；(5)向量加法的结合律： .知识点1求作向量的和思考1求作两个向量和的方法有哪些？提示：三角形法则和平行四边形法则思考2三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的如图所示， (平行四边形法则)，又， (三角形法则)(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同. 讲一讲1(1)如图，利用向量加法的三角形法则作出ab；(2)如图，利用向量加法的平行四边形法则作出ab.尝试解答(1)如图所示，设a，a与b有公共点A，故过A点作b，连接即为ab.(2)如图，设a，过O点作b，则以OA、OB为邻边作OACB，连接OC，则ab. 类题通法应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单练一练1如图，已知a、b、c，求作向量abc.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示作a，b，c，则abc.知识点2向量加法运算思考向量加法有哪些运算律？名师指津：向量加法的交换律：abba；向量加法的结合律：(ab)ca(bc)讲一讲2化简下列各式：(1) ；(2)( ).尝试解答(1) ()0.(2)( )()()0.类题通法解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.练一练2如图，在ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式：(1) ；(2) ；(3) .解：(1) .(2) ().(3) .知识点3向量加法的应用讲一讲3在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和尝试解答如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35方向飞行800 km，从B地按南偏东55的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是| |；两次飞行的位移的和指的是.依题意，有| |8008001 600 (km)又35，55，ABC355590.所以|800(km)其中BAC45，所以方向为北偏东354580.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80.类题通法利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤练一练3轮船从A港沿东偏北30方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置解：如图所示，设、分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且.在RtABD中，|20 km，|20 km，在RtACD中，|40 km，CAD60，即此时轮船位于A港东偏北60，且距离A港40 km处课堂归纳感悟提升1本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用2要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和，见讲1；(2)向量加法运算，见讲2；(3)向量加法的应用，见讲3.3求作向量时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”课下能力提升(十四)学业水平达标练题组1求作向量的和1如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作ab.解：在平面内任取一点O，作a，b.则ab.2已知两非零向量a，b(如图所示)求作ab.解：如图所示：在平面内任取一点O，作a，b，则ab.题组2向量加法运算3.如图，D，E，F分别为ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A0 B0C0 D0解析：选A因为D，E，F分别为ABC的边AB，BC，CA的中点，所以，.又因为0，所以0，故选A.4化简下列各式：；()；.其中结果为0的个数是()A1 B2 C3 D4解析：选B由向量加法的运算法则知的结果为0.的结果分别为，.故选B.5在矩形ABCD中，| |4，|2，则向量的长度等于()A2 B4C12 D6解析：选B因为，所以的长度为的模的2倍，故答案是4.6根据图示填空(1) _；(2) _；(3) 2_.解析：由三角形法则知(1) ；(2) ；(3) 2.答案：(1) (2) (3) 7在平行四边形ABCD中，_.解析：因为0，0，所以0.答案：08如图，O为正六边形ABCDEF的中心，根据图示计算：(1) ；(2) ；(3) .解：(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以.(2)因为与方向相同且长度相等，所以与是相等向量，故与方向相同，长度为长度的2倍，因此可用表示所以.(3)因为与长度相等且方向相反，所以0.题组3向量加法的应用9若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”则|ab|_，ab的方向是_解析：如图所示，设a，b，则ab，且ABC为等腰直角三角形，则|8 km，BAC45.答案：8 km北偏东4510雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度以，为邻边作平行四边形OACB，就是雨滴下落的实际速度在RtOAC中，|4，|，|，tanAOC，AOC30.故雨滴着地时的速度大小是 m/s，方向与垂直方向成30角向东. 能力提升综合练1设a()()，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为()ab；aba；abb；|ab|a|b|；|ab|a|b|.A BC D解析：选Ca()()()0，是正确的2下列命题中正确的个数为()如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么ab的方向必与a或b的方向相同；ABC中，必有0；若0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；若a，b均为非零向量，则|ab|a|b|.A0 B1 C2 D3解析：选B错，若ab0，则ab的方向是任意的；正确；错，当A，B，C三点共线时，也满足0；错，|ab|a|b|.3.如图，四边形ABCD是梯形，ADBC，则()A BC D解析：选B.4已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则下列结论中正确的是()AP在ABC的内部BP在ABC的边AB上CP在AB边所在的直线上DP在ABC的外部解析：选D，根据平行四边形法则，如图，则点P在ABC外5已知|a|3，|b|3，AOB90，则|ab|_.解析：|且AOB90，|ab|为以OA，OB为邻边的正方形的对角线的长，|ab|3.答案：36若P为ABC的外心，且，则ACB_.解析：，则四边形APBC是平行四边形又P为ABC的外心，|.因此ACB120.答案：1207在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且| |1，0，cosDAB.求|与|.解：0，.四边形ABCD是平行四边形又| |1，知四边形ABCD为菱形又cosDAB，DAB(0，)，DAB60，ABD为正三角