全数数概念国立台南大学数学教育系谢坚.ppt

,全數數概念 國立臺南大學數學教育系 謝 堅,數概念 vs 數概念的表徵 何謂數概念？ 何謂數概念的表徵？,何謂數？ 何謂數字？ 何謂數詞？ 何謂數碼？,數字是與他人溝通數概念的文字（符號），不同時代、不同地區的人們發展出不同的數字符號。 巴比倫記數法，羅馬記數法，希臘記數法等，它們都是不同的數字符號，印度阿拉伯數字是現在世界通用的數字。,數詞是與他人溝通數概念的語言（聲音），雖然世界通用的數字是印度阿拉伯數字，但是不同地區的人們使用著不同的數詞（聲音）來讀印度阿拉伯數字， ，是我們經常使用的數詞。,， 這十個數字符號稱之為數碼，這十 個數碼是印度阿拉伯記數系統所使用的基本符號，透過位值概念及逢十進一的約定，這十個數碼經過排列組合，可以最經濟的表徵所有的數量。,數概念是看不見，摸不到的。 數字及數詞都是數概念的表徵。 數詞或數字，只是經常或較正式使用的數概念表徵，伸出根手指頭、拿出個小石頭、點下頭，都是可以溝通的數概念表徵。,會用數概念的表徵，並不一定有數概念。有數概念，也不一定會使用人們習慣的表徵。 學童看到骰子出現 5 點，口中唸出點： 點數有5個黑點。 認圖識字，那個圖像的名字是5點。,何謂位值概念？ 下面這三種記數法，那些記數法有位值概念？ 羅馬記數法： 中國記數法：佰拾壹 印度-阿拉伯記數法：,印度阿拉伯記數系統是十進位制的記數系統，只要使用十個符號（數碼）加上逢十進一的原則與位值概念，就可以將所有大小的個數都表示出來。 使用0，1兩個數碼，加上位值概念，也可以表示所有的數。,為什麼51050？ 為什麼5001050？ 經驗51050： 察覺51050： 瞭解51050：,經驗： 算出51050以後，感到很奇怪，被乘數5後面加一個0就是答案，但是只將其視為一個獨立的事實，並沒有察覺每一個數字乘以10的答案都是在後面加一個0。,察覺： 發現一個數乘以10，被乘數後面加一個0就是積數的現象，但是不理解這個現象發生的理由。 也就是說：只知其然，但不知其所以然。,瞭解： 知其然，也知其所以然。 請說出：被乘數乘以10，只要在積數後面加上一個0的理由。,印度阿拉伯數字左邊位置的位值都是相鄰右邊位置位值的10倍。 十位的5(是50)：乘以10，往左邊移一格，變成500；除以10，往右邊移一格，變成5。,77這個數字中： 左邊的數碼7是右邊數碼7的多少倍？,個數的觀點： 左邊的7是7個10，而右邊的7是7個1，都是7個，所以左邊的7是右邊的7的1倍(個數一樣多)。 7隻豬，7隻螞蟻： 那個7比較大? 那個7比較多?,以相同單位描述的觀點： 左邊的7是7個10，是70， 右邊的7是7個1，是7， 左邊的7是右邊的7的10倍。 左邊的7是0.7個100，是70， 右邊的7是0.07個100，是7， 左邊的7是右邊的7的10倍。,三位數由3個數碼組成（最左邊的數碼不能是0），這3個數碼的位置不可以隨意的對調，每一個數碼所佔的位置都有不同的位名（個位、十位、百位），分別代表不同的數值。 327的3指的是3個百（是300）， 2指的是2個十（是20）， 理由是因為它們長在那裡。,十進表示法： 237210031071。 十進表示法是多項式的先備經驗，最容易溝通印度阿拉伯數字的 位值概念。 237231071 2100371 2371,數字的大小 vs 個數的多少 個西瓜比粒葡萄大很多，為什麼比小？： 不同年級的學童問這個問題時，你會怎麼回答？,西瓜和葡萄有很多特性可以比較，例如體積的大小、個數的多少、價錢的貴賤、顏色的深淺等，但是，這些都與兩個數字的大小無關。 直觀的看：5和2這兩個數字的面積差不多，5的什麼比2大？,習慣上，我們使用多與少來描述兩堆物件個數多少的關係，例如：5個比2個多。 使用大與小來描述兩個數字次序的大小關係(兩個集合的大小關係)，例如5比2大。,如何比較兩堆物件個數的多少？ (如何解決問題) 如何描述比較二堆物件個數多少的結果？ (如何記錄解題的結果),如何比較兩堆物件個數的多少？ 一定要確定兩堆的個數是多少個以後，才能比較那一堆比較多嗎?,透過一個對應一個的一對一對應方式，也可以比較兩堆物件個數誰多誰少（或一樣多）。 如何比較兩間教室面積的大小？ (提供很多面積相同的報紙),先用報紙舖滿兩間教室，分別點數報紙的張數後，再透過比較數字的大小判斷教室面積的大小。 先用報紙舖滿一間教室，再用這些報紙舖另一間教室，透過剩下報紙或舖不滿來判斷教室面積的大小。 這兩種比較方式的概念相同嗎?,個人、匹馬、摔了跤、大吼聲，寫正字記號,都可以透過一對一對應的比較方式，發現它們的個數相同（一樣多）。 個蘋果，個西瓜，也可以透過一對一對應的比較方式，發現蘋果比西瓜多。,如何描述比較二堆物件個數多少的結果？ 比較兩堆物件的個數有兩種可能：一樣多、不一樣多。 不一樣多又分成兩種可能： 甲堆物件個數比乙多 、 甲堆物件個數比乙少。, 如何描述某一堆物件的個數？ 用手指頭也可以描述鉛筆的個數，為什麼要使用數字或數詞描述鉛筆的個數？,昨天晚上，小明夢見天上只剩下顆星星，早上醒來，已經看不見星星，小明如何與別人溝通昨晚看到星星的個數？, 、 、 上面左、右這兩類表徵，都可以和別人溝通星星的個數是個。 那一種表徵比較容易讓別人知道有多少顆星星？,為什麼左邊這三種表徵比較容易溝通星星有多少顆？ 為什麼右邊這二種表徵不容易溝通星星有多少顆？ 右邊這二種表徵是我們日常生活中經常使用的，為什麼它們也可以溝通星星的個數？,為什麼人們捨棄左邊描述麻煩，但是概念簡單易懂的表徵方式，選擇右邊描述簡單，但是概念上不易理解的表徵方式來溝通個數？ 人類一直在改變記數的方式，當面對的數量愈來愈多時，人們必須選擇方便且能夠有效率運算的表徵。,數概念建立在一對一對應關係上。 左邊三種表徵的圖像與顆星星之間，都滿足一對一的對應關係，因此很容易溝通星星的個數。 數字和數詞， 與顆星星之間，並沒有滿足一對一的對應關係，因此不容易溝通星星的個數。,如果讓學童自己選擇溝通方式， 學童會選擇何種表徵來溝通個數？ 為什麼可以使用數字或數詞來溝通星星的個數？ 應該先學習數字或先學習數詞？ 如何幫助學童學習數字與數詞？,等價關係: 何謂等價關係？何謂等價類？ 在數學上，如果一個關係同時滿足反身性、對稱性與遞移性， 則稱這一個關係滿足等價關係。 一對一對應是否滿足等價關係?,反身性： 甲(5個蘋果)和甲，滿足一對一對應的關係。 對稱性： 如果甲(5個蘋果)和乙(5個橘子) 滿足一對一對應的關係，乙和甲也滿足一對一對應的關係。,遞移性： 如果甲和乙滿足一對一對應關係，乙和丙也滿足一對一對應關係， 甲和丙也會滿足一對一對應關係。 如果甲和乙滿足一對一對應關係，丙和乙也滿足一對一對應關係， 甲和丙也會滿足一對一對應關係。,如果一個關係滿足等價關係，代表這個關係的元素間的價值或內涵相同，並且具有可換性，可以任意挑選一個最方便或最具代表性的元素來代表其它所有的元素。,顏色相同是等價關係嗎？ 顏色相同滿足反身性嗎? 滿足對稱性嗎? 滿足遞移性嗎? 如何幫助學童尋找紅色物件？ （如何選擇紅色的代表最方便）,長度相同是等價關係嗎？ 長度相同滿足反身性嗎? 滿足對稱性嗎? 滿足遞移性嗎? 如何選擇相同長度的代表最方便？,測量一定有誤差： 假設測量沒有誤差： 長度相同滿足等價關係。 接受合理或一定範圍的誤差： 長度相同不滿足等價關係。,大於（）是等價關係嗎？ 大於滿足反身性嗎? 滿足對稱性嗎? 滿足遞移性嗎? 不滿足等價關係，無法選擇代表。,一對一對應是等價關嗎? 一對一對應滿足反身性嗎? 滿足對稱性嗎? 滿足遞移性嗎? 一對一對應是等價關係， 因此可以任意地選擇代表。,古時候，祖先們曾經選擇： 綁繩結當做代表來描述個數，個繩結，可以代表所有由個元素所構成集合的個數。 木頭或紙上刻痕當做代表來描述個數，個刻痕，可以代表所有由個元素所構成集合的個數。,畫個圓圈，寫正字符號，拿出個石頭，發出個聲音，點下頭，伸出根手指頭都可以代表所有由個元素所構成集合的個數，因為它們都滿足一對一對應的關係。,畫個圓圈，可以代表抓到隻野豬，摔了跤，吃了碗飯。但是，不知道抓的是大豬、小豬或是死豬，也不知道一碗飯的量有多少？ 為什麼可以使用數字或數詞來描述一堆物件的個數？,可以選擇聲音當做代表來描述個數嗎？ 相同的個聲音（） 不相同的個聲音（） 何者比較容易溝通數量關係？,相同的聲音，在相互傳遞的過程中，很容易發生失誤。 如果透過約定，讓每一個人發出不同聲音的次序都一樣，能夠較方便的溝通個數嗎？,人們選擇不同的聲音（數詞序列）當做代表來描述個數，透過點數活動，以一個聲音對應一個物件的方式建立一對一對應的關係，並利用最後一個聲音(例如)，抽象的代表前面唸過的那幾個(例如個)聲音。, 使用最後一個聲音，代表唸過的個聲音。, 文字符號，代表最後一個聲音，或是代表唸過的個聲音?,有兩種意義： 最右邊的聲音， 是數詞序列中的一個元素。 抽象出來的聲音， 是前面個聲音（數詞序列）抽象的代表。 學童必需透過模仿及不斷的練習，才能掌握抽象出來聲音的意義。,數字符號： 先代表最右邊的聲音， 再代表抽象出來的聲音？ 直接代表抽象出來的？ 學童應該先建立數字序列還是數詞序列？,國小一年級的數學課本，都是站在檢查的角度引入數字及數詞。 如何檢查學童是否建立正確的數字、數詞或數概念?,檢查是那一種意義： 學童指著第個蘋果說：個蘋果在這裡。 學童說合起來有個蘋果。,檢查數的保留概念： 緊密排列的個蘋果，當分散排列時，個數是否會變多。 朝三暮四。,檢查數字所代表的意義？ 很多人透過天鵝的圖像幫助學童書寫數字，你認為應該畫出幾隻天鵝幫助學童認識數字？ 透過天鵝圖像書寫數字合理嗎? 用大、小拇指認識數字合理嗎?,很多幼稚園的課本，都透過下面方式引入數字與數詞，你同意嗎？為什麼？ . . ,學童看到個圓圈的圖象，讀出，寫出數字。 改用等圖像來替代？（與課本圖像不一致）？ 當個圓圈呈不規則排列時，不會點數（聲音和物件的一對一對應）的學童，也能確定圓圈的個數嗎?,沒有一個聲音對應一個物件的點數活動，學童只是在看圖識字，這種教法和畫出椅子的圖像，讓學童能夠唸出 或寫出椅子是一樣的。 例如學童能讀出骰子擲出點，但是他不是經過點數活動確定有個黑點，而是看到個黑點的圖像認識點。,如何幫助幼童學習數詞與數字？ 讓學童有很多一對一對應的解題經驗，能判斷並描述那一堆物件比較多（少），或兩堆物件一樣多（具體物對應具體物）。 能唱出（標準）數詞序列。 （透過模仿）, 能透過一個聲音對應一個物件的方式（情境應該多樣化），進行點數活動。（聲音對具體物） 能抽象地使用最後一個聲音，描述一堆物件個數是多少個（注意檢查數詞的意義）。, 能書寫數字來代表數詞。 （注意檢查數詞的意義） 能使用數字或數詞，進行說、 讀、聽、寫、做活動。 對國小學童而言，因為點數的數量變大，學習的重點是如何掌握數字與數詞的規律。,如何幫助學童建立數字與數詞的意義: 命名活動： 說、讀、聽、寫、做（表現）活動：,命名活動：建立標準數詞序列 、 數詞序列是描述集合個數的代表，相同地區的人，唱出相同的數詞序列。 中、低年級教師應該幫助學童掌握數詞序列的規則。,說、讀、聽、寫、做（表現）活動 說、聽：使用數詞（聲音）來描述一堆物件的個數是多少個。 讀、寫：使用數字（符號）來描述一堆物件的個數是多少個。 做（表現）：聽到數詞或看到數字，能拿出相對應個數的物件。,做（表現）：聽到數詞或看到數字，能拿出相對應個數的物件。 拿出個蘋果。 使用花片代表蘋果，拿出個花片代表個蘋果。 畫圈圈代表蘋果，畫出個圈圈表示個蘋果。, 數概念 聲音符號(數詞) 一堆蘋果 文字符號(數字) 幫助學童將上面四個概念合而為一 （也可以使用手指頭等其它表徵）,； ；， 先進行什麼範圍的命名及說、讀、聽、寫、做（表現）活動(數概念) 最恰當？為什麼？, 或 只是一個比較複雜的符號？ 由二個簡單符號合成的新符號？ 個和個 合成的符號？,英語的與，只是一個特殊的聲音，並沒有位值概念。 成人能掌握印阿記數系統位值概念，認為學童應該先學習構成數字的基本元素數碼，先學習數碼，對學童數概念的建立有幫助嗎？ ，對一年級學童而言，只是數字，而不是數碼。,的命名活動： 直接宣告的讀法及記法，再舉例說明的意義。 桌上不放蘋果，直接問桌上有多少個蘋果？如果學童回答沒有蘋果，再宣告沒有蘋果就是個蘋果。 透過由有到無，由無到有連續的情境，引入的命名。,為何要進行做數（表現數）活動？ 不會做數，對學童學習數概念有何妨礙？ 不會做數，對學童學習加減運算有何妨礙？,問題： 甲有個蘋果，乙有個蘋果，二人合起來共有幾個蘋果？ 問題： 甲的蘋果； 乙的蘋果； 甲乙二人共有多少個蘋果？ 那一個問題比較簡單？為什麼？,問題： 甲有375個蘋果，乙有438個蘋果，二人共有多少個蘋果？ 問題： 甲的蘋果； 乙的蘋果； 甲乙二人共有多少個蘋果？ 那一個問題比較簡單？為什麼？,使用加法當做工具解問題很簡單，但是，只會使用點數當做工具解題的學童無法解決問題，因為沒有東西可以點數。 不會加法的學童，必須經過次做數活動及次點數活動，才能夠解決問題。,面對問題，可以直接使用點數當做工具解題（不必做數）。 加法和點數，那一種工具比較簡單？ 如何幫助學童使用加法替代點數解決問題?,國小階段，教師應注意： 概念上的難易程度? 運算上的難易程度？,為什麼多數成人認為大數字加法問題比大數量點數問題簡單很多? 成人心中的簡單，指的是概念上比較簡單?還是運算上比較簡單？,基數（集合數）vs序數（順序數） 何謂基數（集合數）？ 何謂序數（順序數）？ 基數：個人，公尺。 序數：第個，第名。 識別數：電話號碼，運動員背上的號數(007)。,國小階段： 基數要學到京以內的數， 序數也要學到第京個嗎？ 為什麼多數教材，序數只安排到 二百以內？ 學童先發展出基數或是序數概念？,基數和序數是兩種不同的概念，基數概念是確定一個集合的個數，而序數概念是坐標概念的前置經驗，是標示某一物件在群體中的位置。 群體必須按照某種特性加以排列，以顯示其先後的次序，才能夠討論序數的意義。,英語、日語及中文，它們基數的數詞序列與序數的數詞序列的命名有何不同？ 1、 2、 3 第1、第2、第3 One、two 、three first、secand、third,數詞序列中存在唱數先後的順序，因此可以利用數詞序列唱數先後的次序，來標示某一物件在群體中的位置。 序數是否和基數一樣，也要進行命名活動及說、讀、聽、寫、做的活動？,國小階段必須建立一京以內的數概念。 教材應該區分成那些階段完成？ 每一個階段的教學重點為何？,較詳細地區分成下列幾個階段建立一京以內的數概念，你同意這樣的分法嗎？ 110(唱數) 1120(唱數) 2130(溝通找規則的意義 ) 3150(幫助學童自行命名) 51100(自行命名),101200(檢查無法類比的數詞) 2011000(類比) 10012000 (檢查無法類比的數詞) 200110000 (類比) 當學童能掌握101200的命名規則時，比較容易自行類比2011000的命名。,1萬10萬(強調1萬是一個計數單位) 10萬1億(強調四位一撇的意義) 億京(強調四位一撇的意義), 命名活動： 利用唱數（透過模仿，將數詞序列背起來）進行命名活動。 也可以透過點數具體物的方式，檢查學童是否熟記110的數詞序列。,說、讀、聽、寫活動： 布置不同實物的情境，幫助學童察覺這一套數詞或數字，可以描述不同種類物件的個數（個數不多，點數的對象應該多樣化）。 透過點數活動，使用數詞描述物件的個數，再使用數字來記錄數詞。 數字與數詞的轉換。,做數活動： 做數活動指的是看到數字或聽到數詞，能夠拿出對應的物件。,要求學童拿出個蘋果，是最基本的做數活動。 如果沒有蘋果，可以要求用花片代表蘋果，拿出個蘋果（實際拿出個花片），也可以要求畫圈圈代表蘋果，拿出個蘋果（實際畫出個圈圈）。 做數是加減問題的先備知識。,幫助學童將物件本身、聲音符號（數詞）、文字符號（數字）、數概念四者合而為一。, 命名活動： 如果無法看到數詞或數字命名的規律，學童一輩子也無法學完或記憶所有的數詞序列，幫助學童察覺數詞或數字命名的規律，是國小階段命名活動的重點。,只知道110命名的規律，可以透過類比直接進行1120的命名活動嗎？ 利用唱數（透過模仿，將數詞序列背起來）進行命名活動。,說、讀、聽、寫、做活動： 數量不大，宜布置不同的實物情境。 幫助學童將物件本身、聲音符號（數詞）、文字符號（數字）、數概念四者合而為一。, 命名活動： 當熟悉120的數詞與數字時，是否有機會利用120命名的規律，透過類比的方式，進行較大數量的命名活動?,本階段教學重點是幫助學童形成尋找命名規律的共識，利用120命名的規律，幫助學童嘗試透過類比進行2130的命名活動。 活動的重點是溝通如何類比120命名的規律，建立2130的數詞序列。,120是透過唱數（透過模仿，將數詞序列背起來）進行命名活動，本階段是透過找命名規律的方式進行命名活動。 如何布置情境進行命名活動？ 要進行又一（從任意數開始往上數）的命名活動嗎？ 要進行10，20，30十個一唱的命名活動嗎？,說、讀、聽、寫、做活動： 布置單一情境（例如布置23個花片、布置27個彈珠），或透過合成、分解方式布置連續情境（例如先拿出23個花片，再放入3個花片，再拿走2個花片）進行說、讀、聽、寫的活動？,數量變大，需要布置多種不同的實物情境嗎？ 每個量都要進行說、讀、聽、寫、做的活動（需要窮盡）嗎？, 命名活動： 2130活動的重點是在教師的協助下，溝通如何類比120命名的規律，建立2130的數詞序列。 3150活動的重點是學童透過類比130數詞序列命名的規律，自行建立3150的數詞序列。,教師應檢查學童是否察覺到數詞序列命名的規律。 要進行又一（從任意數開始往上數）的點數活動嗎？ 要進行又十（從任意數開始往上十個一數）的點數活動嗎？ 要進行又一或又十的倒數活動嗎？,數量變大，每一個數詞都要命名（需要窮盡）嗎？ 要引入溝通又十數詞序列的教具嗎？ 例如：1綑吸管代表10根吸管、1條橘色積木代表10個白色積木，1個拾元代表10個壹元等？,說、讀、聽、寫、做活動： 數量變大，需要布置多種不同的實物情境嗎？要進行很多做數活動嗎？ 每個量都要進行說、讀、聽、寫、做的活動（需要窮盡）嗎？, 命名活動： 幫助學童察覺到數詞或數字命名的規則。 要進行又一、又十正數或倒數的活動嗎？ 先命名又一？還是先命名又十（骨架）比較恰當？,要引入溝通又十數詞序列的教具嗎？ 又十的數詞序列： 10、20、80、90、100。 7、17、77、87、97。 2、12、72、82、92。 每一個數詞都要命名（需要窮盡）嗎？,說、讀、聽、寫、做活動： 活動以吸管、積木或錢幣情境為主，還需要進行其它不同實物情境的活動嗎？ 除了吸管、積木、錢幣外，可以要求使用圖像來做數嗎？,溝通又十、又百數詞序列的教具： 成比例的教具： 吸管、積木（10個白色積木接起來的長度、合起來的面積、體積都和條橘色積木一樣） 不成比例的教具： 錢幣、圖像（10元硬幣的面積、體積都不是元的10倍）,吸管：根，綑（十根），把（十綑）。 積木：白色積木、橘色積木（長度、面積、體積都是白色積木的10倍），百格板（面積是白色積木的100倍），千格板（體積是白色積木的1000倍）。,錢幣：元，10元，100元，1000元鈔票等。 圖像： ，等圖像。 這四類教具，那一類教具比較容易溝通又十數詞序列的意義？,1綑吸管與10根吸管 之間，滿足一對一對應的關係。 1綑吸管拆開後，就是10根吸管，10根吸管合起來就是1綑吸管。,1條橘色積木與10個白色積木之間，不滿足一對一對應的關係（1條對10個）。 透過長度相等、面積相等、體積相等的等價關係，才能使用條橘色積木來代表10個白色積木，也就是說，10個白色積木合起來，永遠不會變成條橘色積木。,、間不滿足一對一的對應關係，也不成比例，10個等於個是建立在彼此相互的約定上。 元硬幣和10元硬幣不滿足一對一的對應關係，也不成比例，1個10元硬幣和10個元硬幣等值，是經濟上的約定。 很多人認為錢幣最容易溝通，其實是經常使用的錢幣的緣故。,此時可以考慮透過同時呈現吸管等具體物的情境下，引入個位、十位的位名。 何謂定位板？引入定位板的目的是什麼？對學童有那些幫助？ 定位板上書寫 較恰當？ 還是書寫個位十位較恰當？, 命名活動： 為什麼將1001000的命名活動區分