概率论与数理统计04.ppt

第二章 随机变量及其分布,1 随机变量的概念,随机事件可以采取数量的标识。如：,抽样检查产品时废品的个数。,掷骰子出现的点数。,对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。如,产品为优质品记为1，次品记为2，废品记为3。,天气下雨记为1，不下雨记为0。,例如：,(1)射击击中目标记为1分，未中目标记0分。用表示 射击的得分，它是随机变量，可取0和1两个值。,(2)抛一枚硬币， 表示正面出现的次数，它是随机变 量，可取0和1两个值。,(3)某段时间内候车室旅客数目记为 ，它可取0及一切 不大于最大容量M的自然数。,(4)一块土地上农作物的产量是随机变量，它可以取区 间0，T的一切值。,(5)沿数轴运动的质点，它的位置是随机变量，可以取 任何实数，即 (-,+),随机变量按取值情况分为两类：,(1)离散型随机变量,只可能取有限个或无限可列个值。,(2)非离散型随机变量,可以在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实 数区间的全部值。,非离散型随机变量中最常用的是连续型随机变量。,即取值于一个连续区间全部数值的随机变量。,以后，只研究离散型与连续型随机变量。,定义2 若是一个随机变量，对任何实数x，令 F(x)=P( x) 称为F(x)是随机变量的分布函数。,对任意实数ab,有,P(a b)=P( b)-P( a),=F(b)-F(a),分布函数完整地描述了随机变量的变化情况。,注意 P(a b)=P( =a)+P(a b),=P( =a)+F(b)-F(a),P(a b)=P(a b)-P( =b),=F(b)-F(a)-P( =b),分布函数具有如下的性质：,F(x)是概率，取值在0与1之间,(2)F(x)是x的不减函数。, x所含基本事件个数不会随x增大而减少,(4)F(x)至多有可列个间断点，,在其间断点上右连续。,2 随机变量的分布,(一)离散型随机变量的分布,定义1 如果随机变量只取有限个或可列个可能值， 而且以确定的概率取这些不同的值，则称为离散 型随机变量。,一般列成概率分布表：,也可写成 P( =xk)=Pk (k=1,2,),称之为概率函数。, x1, =x2, =xk,构成完备事件组。,离散型随机变量的分布是指概率分布表或概率函数。,性质： Pk0,k=1,2,例1 一批产品的废品率为5，从中任意抽取一个进行 检验，用随机变量描述废品出现的情况。,解：用表示废品的个数。, 1表示产品的废品， 0表示产品的合格品。,或P( =k)=(0.05)k(0.95)1-k, (k=0,1),分布函数的图形：,称为两点分布,称为0-1分布,例2 产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二、三 等品率和废品率分别为60，10，20，10，任 取一个产品检验其质量，用随机变量描述检验结果。,解：用 k表示产品为k等品，k1，2，3, 4表示产品为废品,概率分布表为,例3 用随机变量描述掷骰子的试验情况。,解：令表示掷一颗骰子出现的点数。,其分布函数为,其图形为,离散型随机变量的分布函数图形是阶梯曲线。,在的取正概率的点xk处有跳跃，跃度为概率pk,在任一连续点x上， 取值x的概率都是零。,解：在跳跃点的跃度就是概率。,故概率分布表为,解：概率之和应为1,12a+3a+a+2a+a+a,=10a,故 a=0.1,概率表应为,=0.8,=0.6,这种随机变量称为几何分布。,例7 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡，其中 10个螺口，5个卡口，灯口向下放着。现在需要1个 螺口灯泡，从盒中任取一个，如果取到卡口灯泡就 不再放回去。求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口 灯泡数的分布。,解： 0表示第一个就取到了螺口灯泡。, 1表示第一个取到卡口，第二个才取到螺口灯泡。,故的分布为,若本题改为取到卡口再放回去。则每次取灯泡时 的情况完全相同。, k表示前k次取到卡口灯泡，第k1次取到螺口 灯泡。,k0，1，2，,例8 一袋中装有编号为1，2，3，4，5的五个小球，任取 3个，用表示球上的最大号码，求的分布。,解： 至少为3,故的概率分布为,(二)连续型随机变量的分布,例9 在区间4，10上任意抛掷一个质点，用表示这个 质点与原点的距离，则是一个随机变量。若这个质点 落在4,10上任一子区内的概率与这个区间长度成正比， 求的分布函数。,图形为,F(x),1,x,4,10,取任何一个具体值的概率都是零。,概率密度的基本性质：,由于P( =a)=P(=b)=0,故对连续型随机变量。,P(a b)=P(ab)=P(a b),=F(b)-F(a),=0,=1,x0时,0,0x2时,x2时,1,