概率论与数理统计8.18.2.ppt

第八章 假设检验,未知参数作出估计。在统计推断中还有另一类重要问题,问是否有理由说它是来自均值为 的正态总体，,第一节 基本概念,一、假设检验,在实际工作中，往往能够根据过去的资料， 对总体作出某种假设（记为 ，称为原假设）。,对于一种假设是否成立，需要根据样本提,供的信息，按照一定的规则和程序来进行检验，,决定接受这种假设，还是拒绝这种假设。这一,过程称为假设检验。,二、假设检验的基本原理步骤,下面以例 1 为代表来说明假设检验的基,若把原料改变后生铁的含硅量看作一个,总体，把原来的生铁含硅量看作另一总体，,那么，例1 的问题就化为两个生铁含硅量的,总体均值有无差异的问题。为此，我们先作,本原理及步骤。,出假设，即原假设，记为 即,若 为真，则可认为生铁含硅量,由抽样分布知，,样本均值,即,故有,若 不真（即 为真， ），则,否则就接受原假设,不是来自原来的总体，从而拒绝原假设,对于给定的 ，查正态分布,表的分位数 ，使,因而，U 的观察值 就较集中在零的周围，,的观察值 大到一定程度，就认为样本,使,为 n 的样本 其均值 所构成的,统计量 的观察值,落在（-1.96,1.96）之外的,取100 个容量为 n 的样本，大约只有5 个的,这样表明，当 为真时，由总体中抽出容量,例如，取 ，查得,概率仅为0.05，这是一个较小的概率。如抽,在 （-1.96, 1.96）之外）几乎是不可能发生,例1 中，,由于,实际抽样中，这个小概率事件（即 u 值落,不真，从而拒绝 ，否则就接受 。,落在此区间之外，自然就有理由怀疑,的。也即若对样本的一次观察值，算得的 u,值在这个区间外，因而可以认为在一次,设 成立，根据一定的规则和程序，依照,率原理应用在假设检验上，是指，首先假,样中，认为实际上是不会发生的。把小概,谓小概率原理。即小概率事件，在一次抽,一定的程序进行推断，而推断的依据是所,综上所述，我们是要对做出的假设按,硅量有显著变化。,故拒绝 。认为原料改变后，生铁的含,拒绝 的判断。否则，就接受 。这种先假,反证法。,设成立，后进行反证的方法，成为概率论的,事先给定的概率 （又称为显著性水平，或,检验水平，常取 0.05，0.01，0.1 等值）构造,一个小概率事件。如果一次抽样，小概率事件,发生了，那么就认为原来的假设是不真的，从而,（1）提出原假设 及备择建设 ；,（3）确定 的拒绝域；在给定显著性水平的 条件下，查统计量所服从的分布表，求出临界值，从而确定拒绝域 W ；,（2）构造检验统计量，在 为真的条件下，确定该统计量的分布；,（4）推断：由样本观察值算出统计量的观察值，若落在拒绝域W 中，则拒绝 ，否则接受 。,综上所述，我们可以得出进行假设检验 的步骤：,小概率 事件,三、假设检验中的两类错误,假设检验，就是对做出的假设，按一定的 程序进行检验，最后对所给假设做出接受还是 拒绝的推断。这种推断是在一定的概率意义下 进行的。因此，所做出的推断，就可能产生错 误。那么，会犯什么样的错误呢？,首先我们看到，若 为真，小概率事件 虽然是发生的可能性很小的事件，但并非绝对 不发生。,此外，若 不真，而样本观察值未落入拒绝域 W ，这时就要犯“取伪”错误，称为,这个概率是小概率，也称为检验水平。,犯第一类错误的概率为,P （拒绝 为真）= （1）,免要犯“弃真”错误，称为“第一类错误”。,因此，按上面的原则拒绝 ，就不,第二类错误。犯第二类错误的概率为,两类错误分析列表如下：,增大样本容量 n，才能使 都变小。,我们希望犯这两类错误的概率都很小，,第二节 U 检验法,U 检验法也称为正态检验法，是使用服 从正态分布的 U 统计量来进行检验。,一、对正态总体 中 的检验,设 是从正态总体 中抽取出的一个样本，其中方差 为已知,常数，现检验假设,当假设 为真时，样本均值 ，因此统计量,（1）,服从标准标准正态分布N（0，1）。,对于给定的显著性水平 ，查正态分布 表得 ，使,（2）,如图71所示，由（2）式得检验的拒绝域为,（3）,（4）,或,将样本观察值 代入（1）式， 算出 U 的观察值 u 。若 ，则拒绝 ，,即认为总体的均值 与 之间的显著差异； 若 ，则接受 ，即认为观察结果与 假设 给定的 无显著差异。,例1 假定某厂生产的一种钢索的断裂 强度 ，单位： 。 从一 批该产品中任选一个容量为 9 的样本，经计 算得 ，能否据此样本，认为这 批钢索的断裂强度为 ？,解 由题中所给条件，可知这是一个正态 总体，且方差已知 ，对均值 是否 等于 800 进行检验的问题。即检验假设,对于显著性水平 ，查正态分布表得,为真时，统计量,，因此检验的拒绝域为,计算统计量 U 的观察值,因为 ，故接受原假设 。,即认为这批钢索的平均断裂强度为,是可以接受的。,实际应用中，有时只关心总体均值是否增大（或减小）。比如，经过工艺改革后，材料的强度是否比以前提高，这时，考虑的问题,是在新工艺下，总体均值 是否比原来总体,在同一显著性水平 下的检验法是一样的。,可以证明，它和假设检验问题,均值大，即要检验假设,量 U ，对于检验水平 ，查正态分布表得,（5）,（6）,该检验称之为右方单侧检验。,如图72所示，由（5）式得检验的拒绝域为,使,类似于前面的讨论，用（1）式中的统计,类似地，检验假设,如图73所示，由（7）式得检验的拒绝域为,（8）,（7）,U 满足,该检验称之为左方单侧检验。,例2 某种电子元件，要求使用寿命不 得低于1000 h 。现从一批这种元件中随机 抽取25 件，测其寿命，算得其平均寿命 950 h ，设该元件的寿命 在 的检验水平下，确定这批元件是 否合格？,本例是单侧检验问题。即在,下，检验假设,解,计算统计量 U 的观察值,对于 ，查正态分布表得,从而该检验的拒绝域,由于,故拒绝原假设,认为此批元件的平均寿命偏低，即不合格。,二、对方差已知的两正态总体均值的检验,设有两正态总体 及 ， 和 时分别从总体 X 总体 Y 中抽取的两个独立样本， 分别 为两样本的均值，并且两总体方差 已 知。要检验假设,由于,并且,故,（9）,当 为真时，统计量,对于给定的显著性水平 ，查正态分布表得,因此，检验的拒绝域为,（11）,例3 某公司从甲、乙两灯泡厂购买灯泡， 已知甲厂灯泡寿命 ，乙厂灯泡 寿命 现从甲厂中抽取 40 个灯泡 测得平均寿命 ；从乙厂中抽取 50,个灯泡测得平均寿命 。能否判断甲、乙两厂的灯泡平均寿命存在差异？,解 本例是对两正态总体，方差已知时，两总体均值有无差异的检验。即检验假设,对于 ，查正态分布表得,当 为真时，（9）式中统计量,代入（9）式求得 U 的观察值 u,又,而检验的拒绝域,即认为甲、乙两厂的灯泡平均寿命存在显著差异。从灯泡质量上看，甲厂优于乙厂。,由于,因此，拒绝原假设,三、对一般总体均值的检验,1. 一般总体 X ，当方差 已知时，,对数学期望 是否等于已知值,设 是从总体 X 中抽取的,一个样本，总体 X 的方差 已知，,要检验假设,进行检验。,由中心极限定理可知，不论总体 X 服,从什么样的分布，在大样本 下，当,对于显著性水平 ，由正态分布表查 ，,为真时，近似地有,从而该检验的拒绝域为,使得,例4 某县早稻收割面积为100 万亩，随 机抽取一个容量为169 亩的样本，统计其亩产 量，计算得平均亩产量 。问亩产 是否成立 ？,解 这是一个一般总体，大样本，方差,类似地可进行左、右单侧检验。,已知，对总体均值是否等于310kg 的假设问,题。即检验假设,由于近似地有，,故该检验的拒绝域为,对于显著性水平 ，,查正态分布表得,计算 U 的观察值得,由于 ，表明小概率事件在一次抽,样中