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文档简介

第四节 一阶线性微分方程,称为一阶线性微分方程,因为它对未知函数,y及其导数都是一次的. 当q(x)=0时是线性齐次的;,这就是对应的线性齐次方程(2)的通解.,方程(2)是可分离变量的,分离变量得,否则称为线性非齐次的. 线性齐次微分方程方程(1)的解和方程(2)的解有密切关系.,常数变易法求解非齐次线性方程(1)的通解, 是把(2)的通解中的C换成x的待定函数u(x),第一项是对应齐次线性方程(2)的通解,第二项是非齐次线性方 程的一个特解.由此可知,一阶非齐次线性方程的通解等于对应 齐次线性方程的通解与非齐次线性方程自身的一个特解之和.,例1 求解方程,分析先求出对应的齐次线性方程,的通解,其中C1是任意常数,例2 求解方程,注意:严格说,上式只有在x0时才成立,当x0时,由于C是任意常数,(7)式和(6)式是相同的.,例3 求解,解,例4 求解方程,二. 伯努利方程,称为伯努利方程.,当n=0或n=1时,是线性微分方程.当n0,n1时,不是线性, 但可通过变量代换,化为线性.把yn除方程(10)两端,得到,令 z=y1-n,则,用(1-n)乘方程(11)的两端,把上式代入,我们得到,求出这方程的通解后,以y1-n代入z就得到伯努利方程的通解.,方程,例5 求方程的通解,以y2除方程的两端,我们得到,有些一阶非线性微分方程不是伯努里方程,也不是其他已知 类型的方程,但通过某种因变量代换也可化为线性方程.,可通过变量代换 yn=u (yn)=nyn-1y 可化为线性微 分方程 u+p(x)u=Q(x),(1)形如,三. 其他可化为线性微分方程的方程,例6 求微分方程通解,令 y2=u 2yy=u 于是原方程化为线性微分方程 u+2xu=xe-x2,(2
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