阶动态电路分析-2.ppt

第三 一阶动态电路分析,3.1 电容元件和电感元件,3.2 换路定律及初始值的确定,3.3 零 输 入 响 应,3.4 零 状 态 响 应,3.5 全 响 应,3.6 求解一阶电路三要素法,返回,学 习 目 标,理解动态元件L、C的特性，并能熟练应用于 电路分析。 深刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响 应、稳态响应的含义，并掌握它们的分析计算 方法 。 弄懂动态电路方程的建立及解法。 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素分析法。,3.1 电容元件和电感元件,3.1.1 电容元件 电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是电容器的理想化模型。,斜率为R,图3-1 电容的符号、线性非时变电容的特性曲线,当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电荷q与u关系为：q(t)=Cu(t) C是电容的电容量，亦即特性曲线的斜率。当u、i为关联方向时,据电流强度定义有： i=C dq/dt 非关联时： i= -C dq/dt,电容的伏安还可写成：,式中，u(0)是在 t=0 时刻电容已积累的电压，称为初始电压；而后一项是在 t=0 以后电容上形成的电压，它体现了在0t的时间内电流对电压的贡献。 由此可知：在某一时刻 t，电容电压u不仅与该时刻的电流 i有关，而且与t以前电流的全部历史状况有关。因此，我们说电容是一种记忆元件，有“记忆”电流的作用。,当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为：,瞬时功率可正可负，当 p(t)0时，说明电容是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) 0时，说明电容是在供出能量，处于放电状态。 对上式从到 t 进行积分，即得t 时刻电容上的储能为：,式中 u(-) 表示电容未充电时刻的电压值，应有u(-) =0。于是，电容在时刻 t 的储能可简化为：,由上式可知：电容在某一时刻 t 的储能仅取决于此时刻的电压，而与电流无关，且储能 0。 电容在充电时吸收的能量全部转换为电场能量，放电时又将储存的电场能量释放回电路，它本身不消耗能量，也不会释放出 多于它吸收的能量，所以称电容为储能元件。,3.1.2 电感元件,电感器（线圈）是存储磁能的器件，而电感元件是它的理想化模型。当电流通过感器时，就有磁链与线圈交链，当磁通与电流 i参考方向之间符合右手螺旋关系时，磁力链与电流的关系为：,图3-2 电感元件模型符号及特性曲线,当u、i为关联方向时，有: 这是电感伏安关系的微分形式。,(t)=L i(t),电感的伏安还可写成：,式中，i(0)是在 t=0 时刻电感已积累的电流，称为初始电流；而后一项是在t=0以后电感上形成的电流，它体现了在0-t 的时间内电压对电流的贡献。 上式说明：任一时刻的电感电流，不仅取决于该时刻的电压值，还取决于-t 所有时间的电压值，即与电压过去的全部历史有关。可见电感有“记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件。,当电感电压和电流为关联方向时，电感吸收的瞬时功率为：,与电容一样，电感的瞬时功率也可正可负，当 p(t) 0时，表示电感从电路吸收功率，储存磁场能量；当 p(t) 0时，表示供出能量，释放磁场能量。 对上式从到 t 进行积分，即得t 时刻电感上的储能为：,因为,所以,由上式可知：电感在某一时刻 t 的储能仅取决于此时刻的电流值，而与电压无关，只要有电流存在，就有储能，且储能0。,3.2 换路定律及初始值的确定,3.2.1 换路定律 通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。 该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则uC 、 iL不能跃变，即换路前后一瞬间的uC 、iL是相等的，可表达为： uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-) 必须注意：只有uC 、 iL受换路定律的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。,3.2.2 初 始 值 的确 定,换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用 uC(0+)和 iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间 t=0-电路确定uC(0-)和iL(0- )，再由换路定律得到 uC(0+)和 iL(0+)的值。,电路中其他变量如 iR、uR、uL、iC 的初始值不遵循换路定律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。具体求法是： 画出t=0+电路，在该电路中若uC (0+)= uC (0-)=US，电容用一个电压源US代替，若uC (0+)= 0则电容用短路线代替。若iL(0+)= iL(0-)=IS，电感一个电流源IS 代替，若iL(0+)= 0则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。,例1：在图3-3(a)电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭合 前电路已处于稳定状态。试求初始值 uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+) 和uL(0+)。,图 3-3 例 1 图,解(1) 电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应先求uC(0+)和iL(0+)。通过换路前稳定状态下t=0- 电路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流稳态电路中，uC不再变化，duC/dt=0，故iC=0，即电容C相当于开路。同理 iL也不再变化，diL/dt=0，故uL=0，即电感L相当于短路。所以t=0- 时刻的等效电路如图3-3(b)）所示，由该图可知：,（2）由换路定理得,因此，在t=0+ 瞬间，电容元件相当于一个4V的电压源，电感元件相当于一个2A的电流源。据此画出t=0+ 时刻的等效电路，如图3-3 (C) 所示。 （3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析 方法，可求出电路中其他电流、电压的初始 值，即,iC(0+)=2-2-1=-1A uL(0+)=10-32-4=0,例2: 电路如图3-4 (a)所示，开关S闭合前电路无储能，开 关S在 t=0时闭合，试求 i1 、i2 、i3、 uc、uL的初始值。,图 3-4 例 2 图,解（1）由题意知：,（2）由换路定理得,因此，在t=0+ 电路中，电容应该用短路线代替，电感以开路代之。得到 t=0+ 电路，如图3-4 (b)所示。 （3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方法求得,通过以上例题，可以归纳出求初始值的一般步骤如下： (1) 根据t=0- 时的等效电路，求出uC(0-) 及iL(0-)。 (2) 作出t=0+ 时的等效电路，并在图上标出各待 求量。 (3) 由t=0+ 等效电路，求出各待求量的初始值。,i3(0+)=0,uL(0+)=20i2(0+)=200.3=6V,当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应.,图3- 5 RC电路的零输入,uR,3.3 零 输 入 响 应,图3-5 (a) 所示的电路中，在t0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。,3.3.1 RC电路的零输入响应,-uR+uc=0,而uR=i R,，代入上式可得,上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 uc=Aept t0 式 式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为式对应的特征方程的根。将式代入式可得特征方程为 RCP+1=0,式,换路后由图（b）可知，根据KVL有,从而解出特征根为,则通解,式,将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式，求出积分常数A为,将 代入式，得到满足初始值的微分方程的通解为,式,放电电流为,t0,t0,式,令=RC，它具有时间的量纲，即,故称为时间常数, 这样、两式可分别写为,t0,t0,由于,为负，故uc和 i 均按指数规律衰减，,它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及,当t时，uc和 i 衰减到零。,图3-6 RC 电路零输入响应 电压电流波形图,画出uc及i的波形如图3-所示。,3.3.2 RL电路的零输入响应,一阶RL电路如图3-7(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即 iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以在t0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中产生电流和电压，如图3-7 (b)所示。由于t0后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。,图3-7 RL电路的零输入响应,由图 (b)，根据KVL有 uL+uR=0,将,代入上式得,1式,iL=Ae pt t0,上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为,2式,将2式代入1式，得特征方程为 LP+R=0,故特征根为,则通解为,若令 ，是RL电路的时间常数，仍具有时间量纲，上式可写为,t0,t0,3式,将初始条件i L(0+)= iL (0-)=I 0 代入3式，求出积分常数A为 iL (0+)=A=I0 这样得到满足初始条件的微分方程的通解为,t0,4式,电阻及电感的电压分别是,t0,t0,分别作出 iL 、uR 和、uL的波形如图3-8(a)、(b)所示。 由图3-8可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分别为iL(0+)=I0、 uR(0+)=RI0、uL(0+)= -RI0，它们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数，这与一阶RC零输入电路情况相同。,图3-8 RL 电路零输入响应iL、uR和 uL 的波形,从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应，用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通式表示为,t0,应该注意的是: RC电路与RL电路的时间常数是不同的，前者=RC，后者=L/R。,例 3：如图3-9 (a)所示电路，t=0- 时电路已处于稳态，t=0时开关S打开。求t0时的电压uc、uR和电流ic。 解 由于在t=0- 时电路已处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路。,图 3-9 例 3 图,所以,由换路定律，得,作出t=0+等效电路如图(b)所示，,电容用4V电压源代替，由图(b)可知,换路后从电容两端看进去的等效电阻如图 (C)所示，为：,时间常数为,A,V,t0,t0,也可以由,求出 i C = -0.8e -t A t0,V,t0,计算零输入响应，得,3.4 零 状 态 响 应,在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应。 3.4.1 RC电路的零状态响应 图3-10所示一阶RC电路，电容先未充电，t=0时开关闭合，电路与激励US 接通，试确定k闭合后电路中的响应。,图3-10 (a) R C电路的零状态响应,在k闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律uc(0+)= uc(0-)= 0，t=0+ 时电容相当于短路，uR(0+)=US，故 电容开始充电。随着时间的推移，uC将逐渐升高，,uR则逐渐降低，iR（等于ic） 逐渐减小。当t时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流 ic()=0，uR ()=0，uc=()=Us。 由kVL uR+uc=US,而uR=RiR=RiC= ，代入上式可得到以uc为变量的微分方程 t0 初始条件为 uC(0+)=0,1式,1式为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解uCP，即 uc=uch + ucp,将初始条件uc(0+)=0代入上式，得出积分常数A=-US，故,由于1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式完全相同, 因此其通解应为,式中A为积分常数。特解ucp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设ucp=k，代入1式得,1式的解（完全解）为,ucp =k=US,由于稳态值 uc ()=US，故上式可写成 t0 2式 由2式可知，当t=0时，uc(0)=0，当 t=时， uc() =US（1-e1）=63.2%US，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值uc=()=US的63.2%所需的时间是。而当t=45时，u c上升到其稳态值US的98.17%99.3%，一般认为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为,t0,t0,t0,根据uc、ic、iR及uR的表达式，画出它们的波形如3-10 (b)、(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过程一致。,图3-10 (b)、(C) R C 电路零状态响应 uc、ic、iR及uR波形图,3.4.2 RL电路的零状态响应,图3-11 (a) 一阶RL电路的零状态响应,对于图3-11(a)所示的一阶RL电路，US为直流电压源，t0时，电感L中的电流为零。t=0时开关s闭合，电路与激励US接通，在s闭合瞬间，电感电流不会跃变，即有iL(0+)= iL(0-)=0, 选择iL为首先求解的变量，由KVL有：,uL+uR=US,将 , uR=RiL , 代入上式，可得 初始条件为 iL (0+)=0,1式,1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解iLh 和非齐次方程的特解iLP两部分组成，即 iL=iLh+iLp 其齐次方程的通解也应为,式中时间常数=L/R，与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故特解 iLP为常量，令iLP =K，代入1式得,因此完全解为,代入t=0时的初始条件 iL(0+)=0得,于是 由于iL的稳态值 ，故上式可写成： t0 电路中的其他响应分别为 t0,它们的波形如图3-11 (b)、(c)所示。,t0,t0,图3-11 (b) (C) 一阶RL电路的零状态响应波形图,其物理过程是，S闭合后，iL(即 iR)从初始值零逐渐上升，uL从初始值 uL(0+)=US 逐渐下降，而uR从 uR(0+)=0逐渐上升，当 t=，电路达到稳态，这时L相当于短路，iL()=USR，uL()= 0，uR()= US。从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。,3.4.3 单位阶跃响应 单位阶跃函数用(t)表示，其定义如下：,(t) =,0 t 0-,1 t 0+,(t)的波形如图3-12(a)所示，它在（0-，0+）时域内发生了单位阶跃。,图 3-12 单位阶跃函数,单位阶跃函数可以用来描述图3-12 (b)所示的开关动作，它表示在t=0时把电路接入1V直流源时 u(t)的值，即： u (t)= (t) V 如果在 t=t0时发生跳变，这相当于单位直流源接入电路的时间推迟到 t=t0，其波形如图3-13所示，它是延迟的单位阶跃函数，可表示为,(t-t0) =,0 tt 0-,1 tt 0+,图 3-13 延迟的单位阶跃函数,当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。对于图3-10所示电路的单位阶跃响应，只要令US=(t)就能得到，例如电容电压为,若图3-10的激励uS=K(t)（K为任意常数），则根据线性电路的性质，电路中的零状态响应均应,如单位阶跃不是在t=0而是在某一时刻 t0时加上的，则只要把上述表达式中的t改为t-t0，即延迟时间t0就行了。例如这种情况下的uC为,扩大K倍，对于电容有,例4： 求图3-14 (a)电路的阶跃响应 uC。,解 先将电路ab左端的部分用戴维南定理化简， 得图3-14(b)所示电路。由图 (a)可得,图 3-14 例 4 图, 3u1+u1=0 u1=0,则,于是,式中 =R0C=210-6S,将ab端短路，设短路电流为ISC（从a流向b）,3.5 全 响 应 由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。 如图3-15所示，设 uC =uC(0-)=U0，S在t=0时闭合，显然电路中的响应属于全响应。,图3-15 RC电路的全响应,对t0的电路，以uC为求解变量可列出描述电路的微分方程为,1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的形式，即,代入初始条件 uC (0+)=U0 得 K= U0 - US,1式,从而得到,通过对1式分析可知，当US=0时，即为RC零输入电路的微分方程。而当U0=0时，即为RC零状态电路的微分方程。这一结果表明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。 上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。 1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。2式中第二项US = uC()受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量。这样有 全响应=暂态响应+稳态响应,2式,2、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。将2式改写后可得：,3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。 因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加，即 全响应=零输入响应+零状态响应,3式,3.6 求解一阶电路三要素法,如用 f (t) 表示电路的响应，f (0+)表示该电压或电流的初始值，f () 表示响应的稳定值， 表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为：,上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。 式中f (0+)、 f () 和 称为三要素，把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。 由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。,用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下：,一、 确定初始值 f (0+) 初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。 先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或iL(0-), 这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。 作t=0+ 电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此电路中C用电压源U0代替，,图3-16 电容、电感元件在t=0时的电路模型,L用电流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0 或 iL(0+)=iL(0-)=0