2020版高考数学第3章三角函数解三角形第6节正弦定理与余弦定理三角形中的几何计算教学案文含解析.docx

第六节正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算考纲传真掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式2R.(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C公式变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ccos A；cos B；cos C2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)1三角形内角和定理在ABC中，ABC；变形：.2三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(2)sincos ；(4)cossin .3在ABC中，sin Asin BABab，cosAcos BABab.4三角形射影定理abcos Cccos B；bacos Cccos A；cacos Bbcos A基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，若AB，则必有sin Asin B()(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，若A60，a4，b4，则B45或135()(4)在ABC中，()解析(1)正确ABabsin Asin B(2)错误由cos A0知，A为锐角，但ABC不一定是锐角三角形(3)错误由ba知，BA(4)正确利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知结论正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定C由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，代入得到a2b2c2，由余弦定理得cos C0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A，则b()AB C2D3D由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故选D4在ABC中，A45，C30，c6，则a等于()A3 B6 C2D3B由正弦定理得，所以a6.5(教材改编)在非钝角ABC中，2bsin Aa，则角B为()AB CDC由2bsin Aa得2sin Bsin Asin Asin B，又B是锐角或直角B.利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()A4BCD2(2)(2019青岛模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A等于()A B C D(1)A(2)C(1)因为cos ，所以cos C2cos2 1221.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，所以AB4.故选A(2)在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A又a22b2(1sin A)，所以sin Acos A，即tan A1，又A是三角形内角，则A，故选C规律方法应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a，b，c或其他相应变形公式求解(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A，sin B，sin C或其他相应变形公式求解(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2b2c2ab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理 (1)(2019郑州模拟)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，则角B的大小为()A30 B45 C60 D120(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sin B_，c_.(1)A(2)3(1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，a2c2b2ac.又cos B，cos B，B30.(2)因为a，b2，A60，所以由正弦定理得sin B.由余弦定理a2b2c22bccos A可得c22c30，所以c3.与三角形面积有关的问题【例2】(1)(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_由bsin Ccsin B4asin Bsin C得sinBsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C0，所以sin A.因为b2c2a28，cos A，所以bc，所以SABCbcsin A.(2)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.求cos B；若ac6，ABC的面积为2，求b.解由题设及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，或cos B.故cos B.)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.规律方法三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 (1)(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C()A B C DC因为SABCabsin C，所以absin C由余弦定理a2b2c22abcos C，得2abcos C2absin C，即cos Csin C，所以在ABC中，C.故选C(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc2acos B证明：A2B；若ABC的面积S，求角A的大小解证明：由bc2acos B得sin Bsin C2sin Acos B即2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B；所以sin(AB)sin B又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或ABB，所以A(舍去)或A2B，所以A2B由S得absin C，则sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B由sin B0得sin Ccos B又B，C(0，)，所以CB当BC时，A，当CB时，A，综上知A或A.正余弦定理的简单应用考法1判断三角形的形状【例3】(1)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos Abcos B，则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(2019广州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2c2a2bc，若sin Bsin Csin2A，则ABC的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形(1)D(2)C(1)因为acos Abcos B，由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D(2)由b2c2a2bc得cos A.A(0，)，A.由sin Bsin Csin2A得bca2，代入b2c2a2bc得(bc)20，即bc，从而ABC是等边三角形，故选C考法2求解几何计算问题【例4】(2019哈尔滨模拟)如图，在ABC中，B，AB8，点D在边BC上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长解(1)在ADC中，cosADC ，sinADC，则sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2CB22ABBCcos B825228549，即AC7.考法3正、余弦定理与三角函数的交汇问题【例5】(2018天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin Aacos(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B，又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因为ac，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.规律方法平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果易错警示：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题 如图，在ABC中，D是BC边上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC故AB22AC23AD2BD22DC26，又由(1)知AB2AC，所以解得AC1.1(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()ABCDB因为a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C为ABC的内角，故sin C0，则sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.从而sin Csin A.由A知C为锐角，故C，故选B2(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_.由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A2sin Bcos Bsin(AC)又ABC，ACB2sin Bcos Bsin(B)sin B又sin B0，cos B.B.3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.4(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A_.75如图，由正弦定理，得，sin B.又cb，B45，A18060