高中数学课时提升作业十一2.1.2.2椭圆方程及性质的应用（含解析）新人教A版选修.docx

课时提升作业 十一椭圆方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016聊城高二检测)过椭圆x2+2y2=4的左焦点F作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为()A.67B.167C.716D.76【解析】选B.椭圆的方程可化为+=1,所以F(-,0).又因为直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=x+.由得7x2+12x+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=.2.AB为过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则AFB面积的最大值为()A.b2B.abC.acD.bc【解析】选D.由AB过椭圆中心,则yA+yB=0,故SAFB=(yA-yB)c=|2yA|c=|yA|cbc,即当AB为y轴时面积最大.3.(2016济宁高二检测)如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y-12=0D.x+2y-8=0【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则两式相减再变形得+k=0.又弦中点为(4,2),故k=-,故这条弦所在的直线方程为y-2=-(x-4),整理得x+2y-8=0.4.(2016衡水高二检测)如果AB是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,则kABkOM的值为()A.e-1B.1-eC.e2-1D.1-e2【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点差法,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,作差得=,所以kABkOM=-=e2-1.【补偿训练】椭圆x216+y29=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()A.916B.932C.964D.-932【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则-得+=0,又因为弦中点为M(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以+=0,所以k=.5.(2016郑州高二检测)在区间1,5和2,4上分别取一个数,记为a,b,则方程x2a2+y2b2=1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆的概率为()A.12B.1532C.1732D.3132【解析】选B.因为+=1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆,所以ab0,ab0).因为e=22,所以=22.根据ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.答案:+=17.(2016沈阳高二检测)椭圆x24+y23=1上有n个不同的点P1,P2,P3,Pn,椭圆的右焦点为F,数列|PnF|是公差大于1100的等差数列,则n的最大值为.【解题指南】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d,再由数列|PnF|是公差大于的等差数列,可求出n的最大值.【解析】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d.若d=,n=201,d,nb0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=45,则C的离心率为.【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点A(或B)到右焦点的距离,进而求得a,c.【解析】在ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|BF|cosABF,又|AB|=10,|BF|=8,cosABF=,解得|AF|=6.在ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故ABF为直角三角形.设椭圆的右焦点为F,连接AF,BF,根据椭圆的对称性,四边形AFBF为矩形,则其对角线|FF|=|AB|=10,且|BF|=|AF|=8,即焦距2c=10,又据椭圆的定义,得|AF|+|AF|=2a,所以2a=|AF|+|AF|=6+8=14.故离心率e=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-3),(0,3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.(1)求C的方程.(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时?此时|AB|的值是多少.【解析】(1)设P(x,y),由椭圆的定义知,点P的轨迹C是以(0,-),(0,)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b=1.故曲线C的方程为+x2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足消去y,并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0.由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=-.若,则x1x2+y1y2=0.因为y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,所以x1x2+y1y2=-+1=-=0,所以k=.当k=时,x1+x2=,x1x2=-.所以|AB|=.而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+4=,所以|AB|=.10.(2016烟台高二检测)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,离心率为33,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程.(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若+=8,求k的值.【解析】(1)设F(-c,0),由=33,知a=c.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有+=1,解得y=6b3,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆方程为+=1.(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.所以x1+x2=-,x1x2=.因为A(-,0),B(,0),所以+=(x1+,y1)(-x2,-y2)+(x2+,y2)(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.由已知得6+=8,解得k=.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016济南高二检测)若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆x29+y24=1的公共点个数为()A.0B.1C.2D.需根据a,b的取值来确定【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=2,所以a2+b2b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使asin鈭燩F1F2=csin鈭燩F2F1成立,则该椭圆的离心率的取值范围为.【解析】由正弦定理及=,得=.在PF1F2中,设|PF2|=x,则|PF1|=2a-x.则上式为=,即cx+ax=2a2,x=.又a-cxa+c,所以a-ca+c.由a-c-c2,显然恒成立.由a+c,得a20,即e2+2e-10,解得e-1+或e-1-(舍).又0e1时,设切线l的方程为y=k(x-m).由得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.由l与圆x2+y2=1相切,得=1,即m2k2=k2+1.所以|AB|=.当m=1时,|AB|=,所以|AB|=,m(-,-11,+).因为|AB|=2,且当m=时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.6.(2016四川高考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P3,12在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程.(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|MB|=|MC|MD|.【解题指南】(1)利用点在椭圆上,列出方程,解出b的值,从而得到椭圆的标准方程.(2)利用椭圆的几何性质,数形结合,利用根与系数的关系,进行计算.【解析】(1)由已知,a