克罗内克德国LeopoldKroneck1.ppt

克罗内克（德国） Leopold Kronecker（18231891）,God made the natural numbers, all else is the work of man.,第 8 讲,数学危机 The Crisis in Mathematics,第一次数学危机,第二次数学危机,万物皆数！,无理数的发现 万物皆数？ 数与量的分离,无理数的发现,毕达哥拉斯 Pythagoras (ca 560ca 480 BC),万物皆数,Everything is a number,宇宙的和谐: 一切事物都可以归结为整数与整数之比,勾股定理,无理数的发现,无理数的发现,希帕苏斯 Hippasus(公元前470年左右）,第一次 数学危机,不可公度量的发现,自然数是一切的基础 素数: 数的原子 不可公度: 数的原子？,芝诺悖论,芝诺 Zeno 约495 BC 430 BC,第一次 数学危机,原子论: 点是位置的单位元素 芝诺悖论（伽利略的模型）,CD = 2AB,CD = AB ?,数与量的分离,欧多克斯 Eudoxus （409356 BC),几何原本 第5卷,不可公度量的比例理论,穷竭法 Exhaustion,比例的定义（将比例理论由可公度量推广到不可公度量）,若 ma nb，则 mc nd 若 ma nb，则 mc nd 若 ma nb，则 mc nd,则称,设a、b; c、d是两对同类的几何量。如果对于任意的自然数m、n，满足关系:,亚里士多德 Aristotle (384-322 BC),范畴篇,数（有理数） 离散的,量（线段、时间、角度） 连续的,演绎数学的兴起,欧几里得 Euclid (ca. 325-ca. 270BC),几何原本 1482年 威尼斯,数学的基本问题: 什么是量？,无理数不过是一些记号，脱离了几何量这个载体，便不复存在了。,巴罗 Isaac Barrow (1630-1677),万物皆数万物皆量,第二次数学危机,第一次数学危机,万物皆数！,微积分与无穷级数 无穷小是什么？ 分析严格化,微积分的起源,运动,微分: 速度、切线、极值 积分: 距离、面积、体积,芝诺悖论: 飞矢不动,瞬时速度,牛顿 Isaac Newton (1642-1727),贝克莱主教 Bishop George Berkeley(1685-1753),贝克莱: 它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不是无。难道它们是量的幽灵！,无穷级数,微分与积分: 无穷级数的形式 微积分的应用,牛顿求积分: 二项式定理,无穷级数,(x=1),(x=-2),危机的加剧,达朗贝尔（法国） J.-le-R. dAlembert (17171783),证明的严密性 函数概念的模糊 无穷级数的发散,罗尔(法国, Michel Rolle, 16521719) 微积分只是一些精巧的谬误的集合,什么是连续？,雅典学园,拉克鲁瓦（法国, S. F. Lacroix, 17651843) 微积分教程: 希腊人所烦恼的这种琐碎的东西，我们不再需要了！,克莱洛（法国） Alexis-Claide Clairaut(17131765),但是，一切都倒了个个，所有那些涉及到常识且早已熟知的事情的推理，只能掩盖真理，使读者厌倦，在今天人们对它已不屑一顾了。,西尔维斯特（英国） James Sylvester (18141897),雅可比（德国） Jakob Jacobi (18041851),高斯(1812年): 无穷级数的收敛性 严密性使数学家们丧失了兴趣,柯西（法国） Augustin Cauchy (17891857),不足：无限趋近、想要多小就多小等含混描述，函数连续、连续则可导等错误认识,外尔斯特拉斯（德国） Karl Weierstrass (18151897),-语言 一致收敛的必要性 重新定义基本概念,积分: 病态函数的构造 无穷多间断点函数可积,对直觉的不信任,高斯（德国） Karl F. Gauss (1777-1855),分析应建立在算术的基础之上,万物皆数！,第一次数学危机,第二次数学危机,数系的扩张 无理数的逻辑基础 新的危机,当我们想把它们数出来（用十进制小数的形式）时，却发现它们无止境地往远处跑，因而没有一个无理数实质上能被我们准确地掌握住。而本身缺乏准确性的东西，就不能称其为真正的数。因此，正如无穷大不是数一样，无理数也不是真正的数，而是隐藏在一种迷雾后面的东西。 斯蒂费尔（德国,Michael Stifel,14861867),数系的扩张,自然数整 数: 加法、减法,整 数有理数: 乘法、除法,有理数无理数: 乘方、开方,无理数是什么？,整 数（加法、减法）自然数,有理数（乘法、除法）整 数,无理数（乘方、开方）有理数？,无理数是什么？,加、减、乘、除、乘方、开方 无理数有理数？,代数数,代数数 所有有理系数多项式方程的根,勒让德（法国, A.-M. Legendre, 17521833） 可能不是代数数,无理数,超越数,超越数？,欧拉(瑞士，Leonhard Euler, 17071783) 超越数: 超越了代数的能力,有理数 初等无理数 复合无理数,刘维尔（法国） Joseph Liouville (18091882),1844年 超越数的存在,1873年: e是超越数,埃尔米特（法国） Charles Hermite (18221901),康托尔（德国） Georg Cantor (18451918),戴德金 （德国） Julius Dedekind (18311916),康托尔: 实数=有理数+无理数(1883),戴德金: 连续性与无理数(1872),康托尔,实数: 良序、无界、封闭、稠密,有理数: 不完备（充满空隙） 实数: “单调有界数列必收敛”,实数: 有理数的一个（柯西）序列(a1 , a2 , an,),an a,戴德金,有理数=线段长度: