线性代数课件06.二次型.ppt

一、二次型及其矩阵表示,三、正定二次型（重点）,二、化二次型为标准形（重点）,第5，6，7节 二次型及其标准形,四、小结,问题的引入,在平面解析几何中，,我们知道标准方程,中,的图形为圆。,的图形为椭圆。,的图形为双曲线。,对于一般二次曲线,的图形是什么？,引例,取,二次曲线,引入坐标变换,代入方程左边，,消交叉项得,则原方程化为,若取,可见，对于一般二次曲线,只要适当选择,作旋转变换,就可将曲线方程化为标准方程,（二次齐次式，只含平方项）,就可以判别二次曲线（1）的图形。,二次曲面也有类似的问题，,标准形式.,下面作一般讨论。,在数学、物理及力学和工程,也有类似的问题，且其变量的个数往往不止两个的二次,齐次式，也可通过适当的线性变换，化为只含平方项的,一. 二次型及其矩阵表示,1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩,1.二次型、 二次型的矩阵、秩 2. 可逆线性变换 3.矩阵的合同,称为二次型。（1）,（我们仅讨论实二次型）,实二次型： 为实数。,复二次型： 为复数。,例如：,都是二次型。,不是二次型。,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形。,例如：,都为二次型；,为二次型的标准形。,取,则,则（1）式可以表示为,二次型用和号表示,令,则,其中 为对称矩阵。,二次型的矩阵表示（重点）,注,1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。,2、其对角线上的元素,恰好是,的系数。,3、,的系数的一半分给,可保证,例如：二次型,注：二次型 对称矩阵,把对称矩阵 称为二次型 的矩阵,也把二次型 称为对称矩阵 的二次型,对称矩阵 的秩称为二次型 的秩,简记,设,若,2. 非退化线性变换（可逆线性变换）,为可逆线性变换。,当C是可逆矩阵时，称,对于二次型，我们讨论的主要问题是：,寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。,即二次型,经过可逆线性变换,使得,为什么研究可逆 的变换？,即经过可逆线性变换,可化为,对于这种矩阵的关系我们来进行定义,3. 矩阵的合同,矩阵的合同：,证明,定理 设A为对称矩阵，且A与B合同，则,注：合同仍然是一种等价关系,矩阵合同的性质：,(1) 反身性,(2) 对称性,(3) 传递性,以上说明：,注意：,2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.,二. 化二次型为标准形,正交变换法（重点） 配方法,目标：,问题转化为：,回忆：,此结论用于二次型,所以，,1. 正交变换法,对二次型,存在正交变换 ，使,其中,为 的特征值。,其中P 的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交,的单位特征向量。,定理：,例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。,解（1）写出二次型 f 的矩阵,(2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量,而它们所对应的标准正交的特征向量为,(3) 写出正交变换,取正交矩阵,则得所欲求的正交变换,即,（4） 写出,的标准型。,易知经上述正交变换,后所得二次型的标准型,2.,解 二次型的矩阵为,3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：,作正交变换 X=QY，则,注：正交变换化为标准形的优点：,在几何中，可以保持曲线 （曲面）的几何形状不变。,2. 配方法, 同时含有平方项,与交叉项,的情形。,例2 用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。,解：,令,二次型的标准形为,所求的可逆线性变换为,即,为标准形,并求出所作的可逆线性变换.,例3 用配方法化二次型,解 令, 只含交叉项,的情形。,即,令,则二次型的标准形为,所用的可逆线性变换为,思考题：1、,(1) 合同且相似；,(2) 合同但不相似；,(3) 不合同但相似；,(4) 不合同且不相似；,一般地，任何二次型都可用上面的方法找到可逆变换,把二次型化为标准型，而标准型中含有的项数（系数,就是二次型的秩。,二次型的标准型显然不是唯一的，只是标准型中所含项,数是确定的（即是二次型的秩R(A)。,设标准形为：,三、正定二次型,其中,令,则（1）式变成,则称(2)为实二次型,的规范型。, 惯性定理,其平方项系数为 1，1，0。,定理(惯性定理) 任何实二次型总可以经过一个适当的可逆,线性变换化成规范形,规范形是唯一的。,其中 r 为 f 的秩，p为正惯性指数，rp为负惯性指数。,都有, 正定二次型,定义 设,为实二次型( A为实对称,矩阵),如果对于任意非零向量,称 f 为正定(半正定)二次型,称正定(半正定)二次型 f 的矩阵,A为正定(半正定)矩阵。,二次型的对称矩阵A是正定（半正定）矩阵。,二次型,正定（半正定）,任,例4 判别下列二次型的正定性,故正定.,1.,2.,解,1.,代入都有,2.,不定.,定理 实二次型,正定,当,设存在可逆变换,证明,可逆,充分性:,使,第 个列向量)时,时,必要性:,则,取,使,假设存在,(第 个分量是1,其余分量为0的单位向量),与 f 正定矛盾.,(其中 为可逆矩阵 的,正定,推论,的 n 个特征值全为正.,各阶顺序主子式全大于0,即,奇数阶顺序主子式为负,负定,偶数阶顺序主子,式为正,即,是正定二次型？,解 二次型的矩阵为,A的顺序主子式为：,所以当,例5 问t 满足什么条件时，二次型,A的顺序主子式全大于0，此时 f 正定。,正交变换法:,1.,二次型的矩阵表示方法,二次型的秩,矩阵的合同关系.,2.,1),二次型化为标准形,的矩阵 与对角矩阵 合同.,求正交变换,化二次型为标准形,找正交矩阵,使,2),配方法,小