2009年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1)试题及点评

1 【本文作者】 姓 名：金良 工作单位：山西长治学院附属太行中学 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 理科数学（必修理科数学（必修+选修选修） 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷（非选择题）两部分第卷共卷共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 AB， ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互独立，那么其中表示球的半径 AB，R 球的体积公式 ()( )( )P A BP A P BAA 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 AP 3 4 3 VR 次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径nkR 第第卷卷 一、选择题一、选择题 (1)设集合，全集，则集合9754,A 98743,B BAU 中的元素共有（ ）() U AB （A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个 （2）已知,则复数（ ） 2i 1i z z （A） (B) (C) (D) 13i 13i3i3i (3) 不等式的解集为（ ）1 1 1 x x （A） (B) |01|1xxx x|01xx 2 （C） (D) | 10xx |0x x (4)设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该 22 22 10,0 xy ab ab 1 2 xy 双曲线的离心率等于( ) （A） （B）2 （C） （D） 356 (5) 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学若从甲、乙 两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 ( ) （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D) 345 种 （6）设，是单位向量，且，则的最小值为 ( )abc0a b acbc （A） （B） （C） (D) 222 121 （7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射 111 ABCABC 1 AABC 影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）BCAB 1 CC （A） （B） （C） (D) 3 4 5 4 7 4 3 4 （8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小3cos(2)yx 4 , 0 3 | 值为（ ） （A） （B） （C） (D) 6 4 3 2 (9) 已知直线与曲线相切，则的值为( ) 1 xyln()yxaa (A) 1 (B) 2 (C) (D)12 （10）已知二面角为 ，动点分别在面、内，到的距l 60Q,PP 离为，到的距离为，则两点之间距离的最小值为（ ）3Q32Q,P (A) (B) 2 (C) (D) 4232 （11）函数的定义域为，若与都是奇函数，则( ) ( )f xR1fx 1fx 3 (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 fx fx (C) (D) 是奇函数 2fxfx3fx 12.已知椭圆的右焦点为,右准线为 ，点，线段交1 2 2 2 y x :CFllAAF 于点，若,则 ( )CBFBFA3 |AF| (A) (B) 2 (C) (D) 3 23 第第卷卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 13.的展开式中，的系数与的系数之和等于 10 xy 37 yx 73y x 14. 设等差数列的前项和为，若,则 n an n S72 9 S 942 aaa 15. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若 111 CBAABC ，则此球的表面积等于 1 2,120ABACAABAC 16. 若，则函数的最大值为 24 x 3 tan 2 tanyxx 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤骤 17（本小题满分 10 分） （注意：在试题卷上作答无效注意：在试题卷上作答无效） 在中，内角 A、B、C 的对边长分别为、，已知，ABCabcbca2 22 且，求.sin cos 3cos sin ACACb 4 18 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ABCDS ABCDSDABCD ，在侧棱上，2AD2 SDDCMSC 60ABM ()证明：是侧棱的中点；MSC （）求二面角的大小BAMS (19)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束， 假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独 立已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局 ()求甲获得这次比赛胜利的概率； （）设表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学 期望 5 （20） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 在数列中， . n a 111 11 1,1 2 n n n aaa n ()设，求数列的通项公式； n a b n n n b （）求数列的前项和 n an n S 21 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 如图,已知抛物线与圆相交于xy:E 2 （rry)x(:M04 222 四个点ABCD、 （I）求的取值范围： r （）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点的坐标ABCDACBDp 6 22 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 设函数有两个极值点且，cxbxx)x(f33 23 21 x,x 1 1, 0x 2 1, 2x （）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件c, b 的点的区域；, b c ()证明： 2 1 10 2 fx 7 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 理科数学（必修选修理科数学（必修选修）试题答案及解读）试题答案及解读 一、选择题 （1）A解： ，也可用摩根律：3,4,5,7,8,9AB 4,7,9()3,5,8 U ABAB ()()() UUU ABAB 【解读与点评】考查集合、并集的概念，以及集合的交、并运算知识. 涉及集合内容的高考题的难度都不大，求解此类题关键是要清晰集合的概念， 以及集合的交、并、补运算的概念.有时这类题还与不等式等内容进行综合，此时应 把注意力集中在对约束条件进行化简，也就是解一元二次或绝对值等不等式，在此 基础上再进行集合的交、并、补运算. (2) B解：，所以 i)i)(i(z3121iz31 【解读与点评】本题考察复数的四则运算，以及运算能力. 复数是文理区分的一把标尺，在理科高考题中出现的概率较大.主要涉及两类题 型：一是复数的概念；二是复数的四则运算，这两类题都没有多少技术含量，属于 命题者赠与考生的见面礼. (3) D 解：验即可 1x 【解读与点评】本题考察绝对值不等式及分式不等式的解法另外也可采用特值 法 (4) C解：设切点，则切线的斜率为.由题意有)y,x(P 000 2 0 x|y xx / 又,解得: 所以. 0 0 0 2x x y 1 2 00 xy,x1 2 0 512 2 ) a b (e, a b 【解读与点评】本题考察双曲线的渐近线与抛物线的基本概念与几何性质，曲 线的切线，以及运用导数解决曲线切线问题的能力. (5) D解：两类组中选出一名女生有种选法; 乙组中选出一 112 536 CCC225 名女生有种选法.故共有 345 种选法. 211 562 CCC120 【解读与点评】本题考查排列组合的知识，关键在于灵活利用两个计数原理， 8 并准确利用排列数和组合数公式 排列、组合、概率是高中数学教材中专门讲应用问题的章节，地位非常独特.概 率问题实际上是几个排列、组合的问题的综合题，因此掌握好各种条件限制下的排 列、组合问题的求解，应该是掌握好概率问题的前提.而理清一个实际应用问题中的 限制条件，再用加法与乘法原理肢解之成为基本排列、组合问题，是求解排列、组 合综合问题的基本着眼点. (6) D解:因为是单位向量，所以,a b c 2 () ()()acbca babcc 1 |cos,12cos,12abab cab c 【解读与点评】本题是一道运算量很小，思维量很大的好题，它非常精细地体 现了“考试要求” ，尤其是求解过程中折射出的考试要求中所列“(用向量的模)计算 长度” “(用向量数量积)处理垂直”等，可以以点带面呈放射状扩散的思路和方法. “考试要求”中对向量的运算的要求级别都是“理解和掌握”层次，只有对向 量的四种运算了如指掌，才能充分发挥向量的工具作用. (7) D解：如图，设的中点为 D，连结，易知即为异面BCAD,DA1 1 A AB 直线与所成的角,由三角余弦定理，易知AB 1 CC 1 1 3 coscoscos 4 ADAD A ADDAB A A AB 【解读与点评】考查二面角、异面直线所成角的 概念等基础知识，以及考虑些类问题的基本方法. 公垂线没有给出的异面直线之间的距离是考试大纲不要求的，这样异面直线所 成的角就凸显出来，其中异面直线的概念应该是处理这类问题的基本出发点. (8) C解:因为函数的图像关于点中心对称，所以3cos(2)yx 4 , 0 3 因此，从而 4 2, 3 k 4 2() 3 kk Z min | 3 【解读与点评】三角函数图象的对称性知识，以及思维能力. （9）B解:设切点，则,又因为)y,x(p 000000 1,ln()yxyxa ，从而所以故1 1 0 0 ax |y xx / .ax1 0 .x,y10 00 2a B C B C A1 1 1 A D 9 【解读与点评】本题考查运用导数知识解决直线与曲线相切的能力 （10）C. 解：如图分别作于于，于，QAAACCPBBlPD 于，连则，所以DBD,CQ 60PBDACQ32AQ3BP 又因为当且仅当2 PDAC 222 12APAPAQPQ32 ，即重合时取最小值0AP AP点与点 【解读与点评】 本题考查二面角、两点之间的距离，点到直线的距离等知识 (11) D. 解：因为 与都是奇函数，故1fx 1fx 因此函数关于点及点11 ,11fxfxfxfx fx1, 0 对称，函数是周期的周期函数所以1, 0)x(f 2 114T ，即是奇函1414fxfx 33fxfx 3fx 数 【解读与点评】本题考查函数的奇偶性及周期函数的概念，以及思维能力. 奇偶函数的概念是处理函数奇偶问题的本质方法；周期函数的概念是处理周期 函数的根本方法 (12) A解:过点作于,并设右准线 与轴的交点为，易知.由BlBM MlxN1FN 题意,故.又由椭圆的第二定义,得所FBFA3 3 2 |BM| 3 2 3 2 2 2 |BF| 以2 |AF| 【解读与点评】本题考察椭圆的基本概念与几何性质，以及运算能力. 客观题中的解析几何题主要考查直线、圆与圆锥曲线的基础知识、基本方法和 基本技能，求解此类题的关键是准确掌握与深刻领会各自的概念与几何性质，以及 相互之间的位置关系. 二、填空题 (13) 解： 373 101010 C( C )2C240 【解读与点评】本题考察二项式定理，用二项展开式的通项求展开式的特定项，以 及考查运算能力. 10 考查二项展开式中的常数项的概率是比较大的，它们的思路、解法与专辑中的 题的解法相比，是小巫见大巫. (14) 解：因为是等差数列，由，得所以 n a72 9 S89 559 a,aS 2492945645 324aaaaaaaaaa 【解读与点评】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式、前 n 项和公 式等基础知识，以及运算能力. 掌握等差数列内容的标志是在深刻理解等差数列概念基础之上，准确用等差数 列的通项公式、前 n 项和公式进行运算；灵活应用等差数列知识解决问题的前提是 深谙等差数列的性质.常用的等差数列的性质有：数列是等差数列 n a (或(a、b 是常数)；或 21 2 nnn aaabnaan (a、b 是常数)；若等式左右两端具有相同数目的项，则足码bnnaSn 2 的和相等的项的和也相等，特别地，；依次 k 项的和2 nn kn k aaank 组成的数列仍为等差数列，公差是，更一般地，间隔相等的连续等长片段的和dk 2 仍成等差数列；设项数是奇数，则是中间项，且21Nnkk k a ，；设项数是偶数，则 kn anS k aSS 偶奇 1 k k S S 偶 奇 2Nnkk ，；数列，都是等差数 1nkk Sk aa dkSS 奇偶 1 k k a a S S 偶 奇 n a n b 列，则 (p、q 是任意实数)也是等差数列. nn p aq b (15) 解：在中 ,可得,由正弦定理,ABC 1202BAC,ACAB32BC 可得外接圆半径,设此圆圆心为，球心为，在中，易ABC2r / OO / OBORt 得球半径，故此球的表面积为5R204 2 R 【解读与点评】本题考察球的基础知识，表面积的计算，以及运算能力和空间想像 能力. 教材中关于球的理论的主要内容是球的概念、性质，球的表面积与体积，主要 题型是球面距离的计算，特别是地球表面上的有关计算. 11 (16) 解：令因为所以, 因此 tan ,xt 24 x1t 3 tan 2 tanyxx 44 222 42 2 2tan2222 8 111 1tan1 111 4 24 xt xt tt t 【解读与点评】本题考查函数的最值问题，解决这些问题往往需要综合利用三角函 数的性质，换元法，以及求二次函数最值方法 三、解答题 17解法一：在中，由于，则由正弦定理及余ABCsin cos 3cos sin ACAC 弦定理有:，化简并整理得：.c bc acb ab cba a 2 3 2 222222 222 2 acb 又由已知，所以.解得或(舍). bca2 22 2 4bb 4b0b 解法二:由余弦定理得: .又所以 222 2cos acbbcA.b, bca02 22 ，又2 cos 2bcA ，所以sin cos 3cos sin ACAC ， sin cos cos sin 4cos sin ACACAC 即sin4cos sin ACAC 由正弦定理得sin 4cos sin BAC ，故，由，解得sin sin b BC c 4 cos bcA4b 解法三：由得由于sin cos 3cos sin ACACtan 3tan AC ，从而，所以，由勾股定理得：tan , tan BDBD AC DACD DACD3DAb4 ，从而，即 222222 BDDAc,BDCDa 2222 DACDca 又，所以，由，得 222 8DAcabca2 22 2 82DAb 4b 【解读与点评】 本题考察三角形中的三角函数的应用从 08 年高考考纲中就明确 提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解 决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就 行，不必强化训练 此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手. S AFB E H C D M 12 对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不 22 2acb 好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正sincos3cossin,ACAC 弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 18() 解法一：作交于点，则，所以CD/MESDEAB/ME 连结，则四边形为直角梯形作，SADME面AEABMEABMF 垂足为，则为矩形设，则,FAFMExME xSE xFB,)x(ADEDAEMF222 222 ，由，得 60tanFBMF 解得即，)x()x(2322 2 1x1ME 从而，所以为侧棱的中点DCME 2 1 MSC 解法二：过作于，则MCDMN N ，则均为设ABCDMN面BMN,AMNRt ，则在中xMN ,x)x(AM 22 22 2 22xBMABM ，解得，即 222 2cos 60AMABBMAB BM 1x DCME 2 1 解法三：易得，所以，又在SDCBC面MCBC 中，由SDCRt22SC 得 60cos|MB|AB|MBAB 所以MCDCMCAB)CBMC(ABMBAB 2452|MC|,MBC|,MC|MB| 因此为侧棱的中点MSC 解法四：以为坐标原点，建立空间直角坐D 标系，设，则xyzD ),(A002 ),(S),(C),(B200020022 S AB DC M N S A B C D M 13 设，则，)y,y,(M 00 20 00 2,2,2MByy ),(AB020 ，故，即 60AB,MB 60cos|MB|AB|MBAB ，解得，即，所以为侧棱的 2 00 2 222(2)yy1 0 y),(M110MSC 中点 () 解法一：由()得，又，2 22 MCBCMB260AB,ABM 所以为等边三角形又由()知为侧棱ABMM 的中点，故SC262AM,SA,SM 取的中 90 222 SMA,AMSMSAAM 点，连接，取中点，连接，则GBGSAHGH ，由此知为二面AMBG AMGH BGH 角的平面角连接，在中，BAMSBHBGH ， 2 2 2 1 3 2 3 SMGH,AMBG ，所以 2 22 22 AHABBH 所 3 6 2 222 GHBG BHGHBG BGHcos 以二面角的大小为BAMS 6 arccos 3 解法二：由()得 2 22 MCBCMB 又，所以为等260AB,ABM ABM 边三角形所以取的中点，连接，AMGBG 则取的中点，连接AMBG ACN ，则又由()知BN,GNSC/GN ，所以，是二SCAM AMGN BGN 面角的平面角的补角又BAMS S AFB E H C D M S A B C D M 14 ，在中， 2 6 3BN,BG 2 2 GNBGN 所以，即二面 222 6 cos 23 BGGNBN BGN BG GN 6 arccos 3 BGN 角的大小为 （或为）BAMS 6 arccos 3 6 arccos 3 解法三：由得的中点，又),(A),(M002110AM 211 , 222 G ， ),(MS),(GB110 2 1 2 3 2 2 ).,(AM1120 AMGB 所以因此等于二面角0 AMMSAMMS,AMGB MS,GB 的平面角所以二面角BAMS 3 6 |MS|GB| MSGB MS,GBcos 的大小为BAMS)arccos( 3 6 【解读与点评】 本小题主要考察直线和平面、平面和平面的位置关系的判定 和性质，空间角的计算等基础知识，以及空间想象能力和推理能力. 立体几何主要研究空间几何体的大小、形状和位置关系，是通过空间线线、线 面、面面的位置关系来实现的，研究思路有两个方向：一是进行纯粹的位置关系的 演化，也就是传统立体几何方法，应用这种方式时要搞清其中剪不断的各种位置关 系中的层层链接；二是以向量为工具考量位置关系以及进行角、距离等相关计算， 特别是当题目条件易于建立空间直角坐标系时，向量的应用就显得迫不及待.因此在 实际解题时，要三思而后行，要敏锐意识到哪些题目可以用向量快速求解，哪些题 目用传统立体几何方法简洁，避免只重形式不看效果的生搬硬套，象本题的向量法 就不比传统方法简单，也不快捷. 19() 解法一：记表示事件：第 局甲获胜，表示事件： i Ai543,i j B 第局乙获胜，记表示事件：甲获得这次比赛的胜利j43,j B 因为前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的 比赛中，甲先胜 2 局，从而 ，由于各局的 54354343 ABAAABAAB 比赛结果相互独立，故 15 125 81 54354343 )ABA(P)AAB(P)AA(P)B(P 解法二：记表示事件：甲获得这次比赛的胜利令甲每局比赛获胜的概率为A ，由题知P60.P 64801 22 2 21 2 .PC)P(PC)A(P () 解法一：的可能取值为 2，3由于各局比赛相互独立，所以 5202 4343 .)BBAA(P)(P480213.)(P)(P 的分 布列为 所以482.E 解法二：的可能取值为 2，3520404060602.)(P 480213.)(P)(P 的 分布列 为 所以482.E 解法三：的可能取值为 2，3520404060602.)(P 4806060404060404040606040603.)(P 的分布列为 所以482.E 23 P0.520.48 23 P0.520.48 23 P0.520.48 16 【解读与点评】 本小题本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，随 机事件的分布列，数学期望等，以及运用所学知识与方法解决实际问题的能力. 概率应用问题的求解要点是在准确理解题意的基础上，抽象出正确的概率模型. 其中等可能性事件的概率是概率内容的基础，对立事件、相互独立事件的概率都要 转化为多个等可能性事件的概率，所以求解这类概率题的关键是认准概率模型. 20() 解法一：由已知得，且，即1 11 ab n nn n a n a 2 1 1 1 从而又， n nn bb 2 1 1 )n(bb nn n 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 112 1 1 1 b 故所求的通项公式为 1 2 1 2 n n b 解法二：，1 11 ab )(n)(n n a n n a nnn nn 1121 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 21 所以 1 2 1 2 n n n n a b 解法三：，因为， n nn bb,b 2 1 1 11 2 2 1 2 1 2 1 0 1 1 1 bbb n n n n 所以 1 2 1 2 n n b () 由()知，令，则 11 2 2 2 1 2 nn n n n)(na n k k n k T 1 1 2 ，于是，又 n k k n k T 1 1 2 2 1 0 111 2 2 4 22 1 2 n k nnk nnn nn TTT ，所以 1 21 n k kn n 1 2 14 2 n n n Sn n 【解读与点评】 本小题主要考查求数列的通项公式，求数列的前项和要n 会根据公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、 简捷的运算途径的能力. 根据已知数列的递推公式求另一个由已知数列演变出的数列的通项公式是一个 常考点解决这类问题的关键在于如何从已知数列的递推公式中抽象出要求数列的 递推公式再有这个递推公式求得被求数列的通项公式，其中需要综合利用累加、 迭代等求数列通向公式的方法以及等差等比数列的通项公式 17 21() 解法一：将代入，并化简得xy 2222 4ry)x( (1)0167 22 rxx 与有四个交点的充要条件是方程(1)有两个不等的正根由此得EM 21 x,x 解得：又，所以的取值范 016 07 01647 2 21 21 22 rxx xx )r()( 16 4 15 2 r0rr 围是 15 , 4 2 解法二：将代入，并化简得xy 2222 4ry)x( 0167 224 ryy 与有四个交点的充要条件是方程有两个不等的正根由此得EM 2 2 2 1 y,y 解得：又，所以的取值范 016 07 01647 22 2 2 1 2 2 2 1 22 ryy yy )r()( 16 4 15 2 r0rr 围是 15 , 4 2 解法三：抛物线上的点到圆心的距离为xy 2 00 ,xy4, 0 ，又由于原点 2 222 00000 71515 (4)716 242 dxyxxx 在圆内或圆上时，圆与抛物线最多有三个交点，所以故使得与有四O4rEM 个不同焦点时4 2 15 r () 解法一：不妨设与的四个交点的坐标分别为：EM ，则直线)x,x(D),x,x(C),x,x(B),x,x(A 22221111 的方程分别为：BD,AC 解得点的坐标 2121 1111 2121 , xxxx yxxxyxxx xxxx P 18 为设，由及(1)知由于四边形 12, 0 x x 21x xt 2 16rt 2 7 0 t 为等腰梯形，因而其面积为：则ABCD|xx|xxS 1221 22 2 1 面面 将代入上 2 2 12121212 24Sxxx xxxx x txx,xx 2121 7 式，并令得：， 2 S)t (f343982882727 232 ttt)t()t()t (f ，求导数得令)t( 2 7 098562476722 2 tt)t)(t()t (f / ，解得 (舍去)当时，；当0)t (f / 2 7 6 7 t,t 6 7 0 t0)t (f / 时，；当时，故当且仅当时， 6 7 t0)t (f / 2 7 6 7 t0)t (f / 6 7 t 有最大值，即四边形的面积最大，故所求的点的坐标为)t (fABCDP),(0 6 7 解法二：不妨设与的四个交点的坐标分别为：EM ，则直线)x,x(D),x,x(C),x,x(B),x,x(A 22221111 的方程分别为：BD,AC 解得点的坐)xx( xx xx xy),xx( xx xx xy 1 12 12 11 12 12 1 P 标为设，由及(1)知由于四边形),xx(0 2121x xt 2 16rt 2 7 0 t 为等腰梯形，因而其面积为：则ABCD|xx|xxS 1221 22 2 1 面面 将代入xx)xx()xxxx(S 21 2 212121 2 42txx,xx 2121 7 上式，并令得： 2 S)t (f ， ，当 27 329 3 28 2 1 4142727 2 1 2727 32 )()t)(t)(t()t()t()t (f 且仅当时，即时，等号成立又，所以四边形的tt41427 6 7 t),( 2 7 0 6 7 面积最大时，所求的点的坐标为P 7 , 0 6 【解读与点评】本小题主要考查圆和双曲线的定义和性质、圆与双曲线的位置 关系、一元二次方程根的情况、根与系数的关系、直线的交点坐标的求法、以及利 用导数求函数最值等综合知识，以及解析几何的基本思想、方法和综合解决数学问 19 题的能力. 22() ，依题意知，cbxx)x(f / 363 2 方程有两个根，且等价于0)x(f / 21 x,x 12 1, 0 ,1, 2xx ，02010001)(f,)(f,)(f,)(f / 由此得满足的约束条件为，c, b 44 12 0 12 bc bc c bc 满足这些条件的点的区域为图中的阴影部分)c, b( 20 () 由题设知，故于是0363 2 2 22 cbxx)x(f / cxbx 2 1 2 1 2 22 由于，而由()知 2 3 22 2 2 3 22 2 3 2 1 33x c xcxbxx)x(f,x21 2 ，故，又由()知，所以0cc)x(fc 2 3 2 1 34 2 02c 2 1 10 2 )x(f 【解读与点评】 本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均 值不等式等综合知识，以及综合分析、推理论证的能力. 函数与不等式的综合并不是一件新鲜事，但通过导数进行的这种交叉与融合并 不多见，这也是一种新的函数类题的命题趋势.特别是用导数考察函数的单调性，以 及用导数求函数的最值的题目在近几年的高考试题中频频出现，这类题与不等式的 证明、解不等式、不等式恒成立问题进行综合也司空见惯，考查的是综合和灵活应 用知识解题的能力.对付这些类型的题目，必须对相关方法和技能了如指掌，而且还 要适时进行必要的转化与化归. 试卷综合解读与评析试卷综合解读与评析 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）(理科数学)符合高中数学 的教学水平，贯彻了高考命题的指导思想和原则，试卷平和清新，达到考基础、考 能力、考素质、考潜能的考试目标，试题由易到难，形成自然梯度，入手容易，层 层推进，使不同程度的考生都能发挥出最佳水平.纵观整份试题，下列几点给我们留 下了深刻的印象： 1 1 立足基础知识、基本方法和基本技能，深入挖掘教材的考立足基础知识、基本方法和基本技能，深入挖掘教材的考 评价值评价值 这份试题有多题源于课本，比如第、题等都是课本 例题或习题的类比、改造、延伸和拓展.课本中的这些重要的例题和习题，或者提供 某个重要的结论，或者体现某种数学思想，或者是更高层次数学命题的具体形式， 对这些题目的改编与加工为命制高质量的数学试题提供了一个很广阔的舞台. 2 2 注重理论数学，检测考生后继学习的潜能注重理论数学，检测考生后继学习的潜能 21 本份试题注重考查考生的思维层级，注重检测考生进入高校继续学习的潜能.特 别是第(22)题，该题综合运用导数求函数的极值、线性规划、不等式的证明、不等 式恒成立、导数的灵活应用.在推理过程运用的分析与综合、转化与化归等数学思想、 数学方法，是对考生综合数学素养的全方位检测，实现了考查高中与大学衔接所需 知识的目的，为高校选拔人才提供最价值的依据. 3 3 不刻意追求知识的覆盖面，凸显能力立意不刻意追求知识的覆盖面，凸显能力立意 今年的考试大纲指出“对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的 比例，构成数学试卷的主体.” 考试大纲是这样说的，试题也是如此命的！在代 数的传统重点内容中着重考查函数、三角、不等式、数列等主要内容；在立体几何 中主要考查线线、线面、面面位置关系以及体积；在解析几何中着重考查圆锥曲线 的定义、基本量的运算，以及直线与圆锥曲线的位置关系；在新教材新增加的内容 中主要考查了向量、导数的工具作用，以及概率与统计的应用.虽然重点内容绝大部 分都有所涉及，但知识点的覆盖没有面面俱到.全卷命题以能力立意，着重考查思维 能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新能力.比如第题，首先考查考生 的阅读理解能力，然后考查等价转化能力.如果直接计算每一线段长就十分繁难，而 转化为椭圆的定义及等差数列求和，不用动笔就可以计算出答案.试题中有许多原创 和新改编的题，是所谓“秘卷” “宝典”中没有的，体现了高考的公平.如第题， 是以高等数学群论为背景而编拟的一道判断填空题，它考查考生对新情景下对新知 识的接受理解能力，抽象概括能力. 总之，这套数学试题在今年三十多套试题中属质量上乘的一份，全卷与全国高 考数学试题的题型、题量、难度、分值分配类似，无偏题怪题，不少题立意鲜明， 背景新颖，设问灵活，层次清晰，体现了数学重视量化、重视思维的特点，对防止 题海战术、抑制烂编资料起到了良好的作用，引导中学数学教育立足课本减轻学生 负担，促进教学改革，发挥了正确导向功能. 22 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 文科数学（必修选修文科数学（必修选修） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 第卷 参考公式：参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式AB， ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互独立，那么其中表示球的半径AB，R 球的体积公式)B(P)A(P)BA(P 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么AP 3 4 3 VR 次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径nkR 23 ( )(1)(01,2) kkn k nn P kC PPkn ， 一、选择题 （1）的值为 （ ）sin 585 (A) (B) (C) (D) 2 2 2 2 2 3 2 3 (2) 设集合，全集，则集合9754,A 98743,B BAU 中的元素共有（ ）() U AB （A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个 (3) 不等式的解集为（ ）1 1 1 x x （A） (B) x|xx|x110x|x10 （C） (D)x|x01x|x0 (4) 已知, 则 ( ) 1 tan 4, cot 3 tan() (A) (B) (C) (D) 11 7 11 7 13 7 13 7 (5) 设双曲线的渐近线与抛物线相切，则)b,a( b y a x 001 2 2 2 2 1 2 xy 该双曲线的离心率等于( ) （A） （B）2 （C） （D） 356 (6) 已知函数的反函数为，则 ( ) )x(f)x(xlg)x(g021)(g)(f11 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 (7) 甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙 两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 （D）345 种 (8) 设非零向量满足，c, b,acba|,c|b|a| B C B C A1 1 1 A D 24 则 ( )b,a （A） （B） 150 120 （C） （D） 60 30 (9) 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影 111 ABCABC 1 AABC 为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）BCAB 1 CC （A） （B） （C） (D) 3 4 5 4 7 4 3 4 (10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值3cos(2)yx 4 (,0) 3 为 (A) (B) (C) (D) 6 4 3 2 (11) 已知二面角为 ，动点 P、Q 分别在面、内，P 到的距离为l 60 ，Q 到的距离为，则 P、Q 两点之间距离的最小值为（ ）332 (A) (B) 2 (C) (D) 4232 (12) 已知椭圆的右焦点为,右准线为 ，点，线段交1 2 2 2 y x :CFllAAF 于点，若,则CBFBFA3 |AF| (A) (B) 2 (C) (D) 3 23 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 (13) 的展开式中，的系数与的系数之和等于 10 )yx( 37 yx 73y x (14) 设等差数列的前项和为，若,则 a n n n S72 9 S 942 aaa (15) 已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆OAOOAMOA ，若圆的面积为，则球的表面积等于_.MM3O (16) 若直线被两平行线与所截得的线段的长m01 1 yx:l03 2 yx:l 25 为，则的倾斜角可以是22m 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 （17） （本小题满分 10 分） 设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为， n an n s n bn n T 已知的通项公式 113333 1,3,17,12, nn ababTSb求a (18) (本小题满分 12 分) 在中，内角 A、B、C 的对边长分别为、，已知，ABCabcbca2 22 且，求sin cos 3cos sin ACACb (19) 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ABCDS ABCDSDABCD ，在侧棱上，2AD2 SDDCMSC 60ABM ()证明：是侧棱的中点；MSC （）求二面角的大小BAMS S A B C D M 26 (20)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结 束假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互 独立已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局 （）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （）求甲获得这次比赛胜利的概率 （21） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数63 24 xx)x(f （）讨论的单调性；)x(f （）设点在曲线上，若该曲线在点处的切线 通过坐标原点，P)x(fy Pl 求 的方程l (22)（本小题满分 12 分） （注意：（注意： 在试题卷上作答无效）在试题卷上作答无效） 如图,已知抛物线 27 与圆相交于四个点xy:E 2 （rry)x(:M04 222 ABCD、 （I