(考试资料下载)微分几何教案曲面论（四）2.4-2.6

微分几何教案（十二） 曲面的第一基本形式：2.42.62.4 曲面域的面积设曲面S：，给出曲面S上的一个区域D,我们推导出区域D面积的计算公式。首先用坐标曲线把曲面域DP(u,v)分成完整的和不完整的曲边四边形。u-线，v-线越密，完整的曲边四边形就越接近于平行四边形，而不完整的曲边四边形的面积在整个区域内所占比重越小，以至可以略去，而对每一个 曲边四边形，设，则，以为邻边的平行四边形的面积近似为，所以， 区域D的面积元素，区域D的面积 ，其中为曲面上区域D对应(u,v)平面上的区域。 定义 仅由第一基本形式出发所能建立的几何性质称为曲面的内在性质或内蕴性质。 可知曲线的弧长，曲面上两方向的夹角，曲面域的面积都是曲面的内在性质。2.5等距变换1 曲面S到曲面的变换 定义 给出两个曲面S: ，。把S上的点P(u,v)与曲面上的点之间建立一个1-1对应，如果这个1-1对应可以用下式表示：，其中 连续且有连续偏导数，还有，则称S与之间的1-1对应关系为S到的变换。说明：如果S与之间存在变换，则S与上的对应点就有相同的参数。以后讨论变换时，总假定对应点有相同的参数，因而S与上的对应曲线有相同的参数方程：u=u(t),v=v(t).这是因为P(u,v)与 对应，即与对应，将代入得，可见相对应的点有相同的参数。2 曲面S到曲面的等距变换定义 （等距变换或保长变换）：曲面之间的一个变换，如果它保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换或保长变换。这时称这两个曲面是等距对应的或等价的。3 S与的等距等价的条件 定理 两个曲面之间的一个变换是等距变换的充要条件是经过适当参数的选择后，它们具有相同的第一基本形式。证明：“”两个曲面之间建立一个变换以后，对应曲线有相同的参数方程,设S上曲线，上对应曲线是， 对应间的弧长分别是， 。因为曲面间的变换是等距变换，因此对应间的弧长相等，因此=对曲面S, 上的任意曲线都成立。 由于在曲面上任一点沿任意方向都有曲线，所以上述等式对任一点的任意方向du:dv是恒等式，于是 对于对应曲面上任意一对对应点都成立。 “”:曲面上曲线的弧长是由曲线的参数方程和曲面的第一基本形式所确定，据上面所述，经过变换对应曲线有相同的参数方程，所以如果对应曲面的第一基本形式相同，则他们对应曲线的弧长相等，因此两曲面之间的变换是等距变换。 说明:由该定理，仅由第一基本形式确定的曲面的性质即内蕴性质在等距变换下是不变的。因此，上面提到的曲面上曲线的弧长，夹角，曲面域的面积都是等距不变量。以后把曲面上仅用第一类基本量E,F,G表示的几何量叫做曲面的内蕴量。例 正螺面 与悬链面可以等距对应。证 正螺面的第一基本形式， 悬链面的第一基本形式，令， 第一式开方积分得 ，将其带入第二式得，取v=,即取 ， 将其带入正螺面的第一基本形式可得第二个曲面的第一基本形式。故两曲面等距等价。 注：知道了两个曲面的方程，如何寻找一个对应关系，使它们等距对应（当然这个等距对应关系不一定存在），一般来说是比较困难的，这需要解一组偏微分方程组。（见王申怀书146页）2.6 保角变换 1 定义 两曲面之间的一个变换,如果使曲面上任意两曲线的交角与对应曲面上对应曲线的交角相等,则这个变换称为保角变换(也称保形变换). 2 变换为保角变换的充要条件 以下讨论中仍假定两曲面的对应点有相同的参数。 定理 两曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一基本形式成比例。也就是说，如果两曲面有相同的参数表示时，两曲面的第一基本形式，有。证明：“”若，将其带入曲面上曲线的交角公式 =为曲面S上对应曲线的交角公式，可见交角不变。“”由于保角变换使曲面上两曲线的正交性保持不变，所以由曲面S上两曲线正交条件可对应上对应曲线的正交条件，由这两式消去得：，由于du和dv的任意性,在dv=0,du0时得到，在du=0,dv0时得到,所以 ， 注：因为等距变换使第一基本量不变，可知等距变换一定是保角变换。 例 球面（除北极外）到平面的球极投影变换是保角变换。 解 球极投影变