高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义学案无答案新人教A版.docx

2.2平面向量的线性运算22.1向量加法运算及其几何意义学习目标1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性知识点一向量加法的定义及其运算法则分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F13000N，F22000N，牵引绳之间的夹角为60(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果思考1从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？答案后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线表示的力是与表示的力的合力体现了向量的加法运算思考2上述实例中位移的和运算、力的和运算分别运用了什么法则？答案三角形法则和平行四边形法则梳理(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法(2)向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作ab，即ab.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a00aa平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义知识点二向量加法的运算律思考1实数加法有哪些运算律？答案交换律和结合律思考2根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律(注：a，b)答案，ab.，ba.abba.思考3根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律(注：a，b，c)答案()，(ab)c，又()，a(bc)，(ab)ca(bc)梳理向量加法的运算律交换律abba结合律(ab)ca(bc)10aa0a.()2.()30.()4.()5|.()类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量ab和abc.(1)(2)考点向量加法的定义及几何意义题点求作和向量解(1)作法：在平面内任意取一点O，作a，b，则ab.(2)在平面内任意取一点O，作a，b，c，则abc.反思与感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半跟踪训练1如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量(1)_；(2)_；(3)_.考点向量加法的定义及其几何意义的应用题点向量加法在平面几何中的应用答案(1)(2)(3)0类型二向量加法运算律的应用例2化简：(1)；(2)；(3).考点向量的加法运算与运算律题点化简向量解(1).(2)()0.(3)0.反思与感悟(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加(2)向量求和的多边形法则：.特别地，当An和A1重合时，0.跟踪训练2(2017上饶高一检测)向量()()化简后等于()A.B.C.D.考点向量的加法运算与运算律题点化简向量答案D解析向量()().类型三向量加法的实际应用例3在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向考点向量加法的定义及其几何意义的应用题点向量的加法在运动学中的应用解作出图形，如图所示船速v船与岸的方向成角，由图可知v水v船v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，在RtACD中，|v水|10m/min，|v船|20m/min，cos，60，从而船与水流方向成120的角船是沿与水流的方向成120的角的方向行进引申探究1若本例中条件不变，则经过1h，该船的实际航程是多少？解由例3知v船20m/min，v实际20sin6010(m/min)，故该船1h行驶的航程为1060600(m)(km)2若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值解如图，作平行四边形ABDC，则v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为，则tan2.即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.反思与感悟向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键跟踪训练3如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，ACW150，BCW120，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)考点向量加法的定义及其几何意义的应用题点向量的加法在物理学中的应用解如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10N的重力用表示，则.由题意可得ECG18015030，FCG18012060.|cos30105(N)，|cos60105(N)A处所受的力为5N，B处所受的力为5N.1化简等于()A.B.C0D.考点向量的加法运算与运算律题点化简向量答案D解析.2.如图，在正六边形ABCDEF中，等于()A0B.C.D.考点向量的加法运算与运算律题点几何图形中的向量加法运算答案D解析.3正方形ABCD的边长为1，则|为()A1B.C3D2考点向量加法的平行四边形法则题点利用向量的加法求模答案B解析在正方形ABCD中，AB1，可知AC，所以|AC|.4.如图所示，在四边形ABCD中，则四边形为()A矩形B正方形C平行四边形D菱形考点向量加法的平行四边形法则题点判定四边形的形状答案C解析，即，ABDC，ABDC，四边形ABCD为平行四边形5.如图，已知ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：(1)；(2).考点向量加法的定义及几何意义题点求作和向量解(1)延长AC，在延长线上截取CFAO，则向量即为所求(2)在AB上取点G，使AGAB，则向量即为所求1三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则2向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行3使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.一、选择题1化简等于()A.B.C0D.考点向量的加法运算与运算律题点化简向量答案D2如图，四边形ABCD是梯形，ADBC，对角线AC与BD相交于点O，则等于()A.B.C.D.考点向量的加法运算与运算律题点几何图形中的向量加法运算答案B解析.3下列说法正确的个数为()如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么ab的方向必与a或b的方向相同；在ABC中，必有0；若0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；若a，b均为非零向量，则|ab|a|b|.A0B1C2D3考点向量加法的定义及几何意义题点向量加法的三角形不等式答案B解析错，若ab0，则ab的方向是任意的；正确；错，当A，B，C三点共线时，也满足0；错，|ab|a|b|.4已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是()A.B.C.D.考点向量的加法运算与运算律题点几何图形中的向量加法运算答案C解析对于A，；对于B，；对于C，又，所以；对于D，.5在矩形ABCD中，|4，|2，则向量的长度为()A2B4C12D6考点向量加法的平行四边形法则题点利用向量的加法求模答案B解析因为，所以的长度为的模的2倍又|2，所以向量的长度为4.6若在ABC中，ABAC1，|，则ABC的形状是()A正三角形B锐角三角形C斜三角形D等腰直角三角形考点向量加法的平行四边形法则题点判定四边形的形状答案D解析以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，ABAC1，AD，ABD为直角，该四边形为正方形，BAC90，ABC为等腰直角三角形，故选D.二、填空题7如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点(1)_；(2)_.考点向量的加法运算与运算律题点几何图形中的向量加法运算答案(1)(2)08已知点G是ABC的重心，则_.考点向量的加法运算与运算律题点化简向量答案0解析如图所示，连接AG并延长交BC于点E，点E为BC的中点，延长AE到点D，使GEED，则，0，0.9小船以10km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为_km/h.考点向量加法的定义及其几何意义的应用题点向量的加法在运动学中的应用答案20解析如图，设船在静水中的速度为|v1|10km/h，河水的流速为|v2|10 km/h，小船实际航行速度为v0，则由|v1|2|v2|2|v0|2，得(10)2102|v0|2，所以|v0|20km/h，即小船航行速度的大小为20 km/h.10在菱形ABCD中，DAB60，|1，则|_.考点向量加法的平行四边形法则题点利用向量的加法求模答案1解析在菱形ABCD中，连接BD，DAB60，BAD为等边三角形，又|1，|1，|1.三、解答题11如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60，电线AO所受拉力|F1|24N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|12N求F1和F2的合力大小考点向量加法的定义及其几何意义的应用题点向量的加法在物理学中的应用解如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力FF1F2.在OCA中，|24，|12，OAC60，OCA90，|12.F1与F2的合力大小为12N，方向为与F2成90角竖直向上12如图所示，P，Q是ABC的边BC上两点，且BPQC.求证：.考点向量的加法运算与运算律题点证明几何图形中的向量等式证明，.与大小相等，方向相反，0，故0.四、探究与拓展13设非零向量a，b，c，若p，则|p|的取