高考数学第2节不等式的证明与应用教学案文（含解析）北师大版选修4_5.docx

第二节不等式的证明与应用考纲传真1.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.2.能够利用平均值不等式，柯西不等式求一些特定函数的极值.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法1基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅当adbc时，等号成立)(2)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当或是零向量，或存在实数k，使k(，为非零向量)时，等号成立(3)柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则.(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立3不等式的证明方法(1)比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为求差比较法和求商比较法两种名称求差比较法求商比较法理论依据abab0 abab0 abab0b0，1ab b0，1ab(2)分析法从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已经证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因导果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)放缩法通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)不等式：x233x；a2b22(ab1)；2，其中恒成立的是()ABCDD由得x233x0，所以x233x；对于，因为a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，所以不等式成立；对于，因为当ab0时，20，即2，故选D3若a，b，c，则a，b，c的大小关系为()AabcBacbCbcaDcabA“分子”有理化得a，b，c，abc.4已知a0，b0且ln(ab)0，则的最小值是_4由题意得，ab1，a0，b0，(ab)2224，当且仅当ab时等号成立用综合法与分析法证明不等式【例1】设a，b，c，d均为正数，且abcd.证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，abcd，得()2()2.因此.(2)必要性：若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)，得.充分性：若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因为|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件规律方法分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程 设x1，y1，求证：xyxy.证明由于x1，y1，要证xyxy，只需证xy(xy)1yx(xy)2.因为yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)，因为x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立用放缩法证明不等式【例2】若a，bR，求证：.证明当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0|ab|a|b|，所以.规律方法1.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如，.上面不等式中kN*，k1；(2)利用函数的单调性；(3)真分数性质“若0ab，m0，则”2在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度 设n是正整数，求证：1.证明由2nnkn(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，1.原不等式成立柯西不等式的应用【例3】(2017江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8.证明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.规律方法1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明2利用柯西不等式求最值的一般结构为：(aaa)(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件 已知大于1的正数x，y，z满足xyz3.求证：.证明由柯西不等式及题意得，(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)(xyz)227.又(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)6(xyz)18，当且仅当xyz时，等号成立1(2017全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.2(2016全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解(1)f(x)