高考数学高考大题增分课（四）立体几何中的高考热点问题教学案文（含解析）北师大版.docx

四 立体几何中的高考热点问题 命题解读1.立体几何是高考的必考内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算2重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法线面位置关系与体积计算以空间几何体为载体，考查空间平行与垂直关系是高考的热点内容，并常与几何体的体积计算交汇命题，考查学生的空间想象能力、计算与数学推理论证能力，同时突出转化与化归思想方法的考查，试题难度中等【例1】(本小题满分12分)(2019哈尔滨模拟)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积信息提取看到四边形ABCD为菱形，想到对角线垂直；看到三棱锥的体积，想到利用体积列方程求边长规范解答(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD因为BE平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBE.2分因为BDBEB，故AC平面BED又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED4分(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.6分由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACDACGDBEx3，故x2.9分从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.12分易错与防范易错误区：1.在第(1)问中，易忽视条件BDBEB.AC平面AEC等条件，推理不严谨，导致扣分2在第(2)问中，需要计算的量较多，易计算失误，或漏算，导致结果错误防范措施：1.在书写证明过程中，应严格按照判定定理的条件写，防止扣分2在计算过程中，应牢记计算公式，逐步计算，做到不重不漏通性通法空间几何体体积的求法(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积解(1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TNAM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以点N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得点M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.求点到平面的距离(几何体的高)求点到平面的距离(几何体的高)涉及到空间几何体的体积和线面垂直关系，是近几年高考考查的一个重要方向，重点考查学生的转化思想和运算求解能力【例2】(2019开封模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且DAB60，PAPD，M为CD的中点，平面PAD平面ABCD(1)求证：BDPM；(2)若APD90，PA，求点A到平面PBM的距离解(1)证明：取AD中点E，连接PE，EM，AC，底面ABCD是菱形，BDAC，E，M分别是AD，DC的中点，EMAC，EMBDPAPD，PEAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE平面ABCD，PEBD，EMPEE，BD平面PEM，PM平面PEM，BDPM.(2)连接AM，BE，PAPD，APD90，DAB60，ADABBD2，PE1，EMAC，PMPB2.在等边三角形DBC中，BM，SPBM，SABM2.设三棱锥A PBM的高为h，则由等体积可得h1，h，点A到平面PBM的距离为.规律方法求点到平面的距离(几何体的高)的两种方法(1)等积法：利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解(2)定义法：其步骤为：一作、二证、三求如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求点A到平面PBC的距离解(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC(2)三棱锥PABD的体积VPAABADAB，由V，可得AB.由题设知BCAB，BCPA，所以BC平面PAB，在平面PAB内作AHPB交PB于点H，则BCAH，故AH平面PBC又AH.所以点A到平面PBC的距离为.线面位置关系中的存在性问题是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，一般有三种类型：(1)条件追溯型(2)存在探索型(3)方法类比探索型【例3】(2018秦皇岛模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，且E，F分别为PC，BD的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)在线段CD上是否存在一点G，使得平面EFG平面PDC？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由解(1)证明：如图所示，连接AC，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且点F为对角线BD的中点所以对角线AC经过点F.又在PAC中，点E为PC的中点，所以EF为PAC的中位线，所以EFPA.又PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD(2)存在满足要求的点G.在线段CD上存在一点G为CD的中点，使得平面EFG平面PDC因为底面ABCD是边长为a的正方形，所以CDAD又侧面PAD底面ABCD，CD平面ABCD，侧面PAD平面ABCDAD，所以CD平面PAD又EF平面PAD，所以CDEF.取CD中点G，连接FG，EG.因为F为BD中点，所以FGAD又CDAD，所以FGCD，又FGEFF，所以CD平面EFG，又CD平面PDC，所以平面EFG平面PDC规律方法1.在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本2第(2)问是探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论 (2019长沙模拟)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SEEC；若不存在，请说明理由证明(1)连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意得四棱锥SABCD是正四棱锥，所以SOAC在正方形ABCD中，ACBD，又SOBDO，所以AC平面SBD因为SD平面SBD，所以ACSD(2)在棱SC上存在一点E，使得BE平面PAC连接OP.设正方形ABCD的边长为a，则SCSDa.由SD平面PAC得SDPC，易求得PD.故可在SP上取一点N，使得PNPD过点N作PC的平行线与SC交于点E，连接BE，BN，在BDN中，易得BNPO.又因为NEPC，NE平面BNE，BN平面BNE，BNNEN，PO平面PAC，PC平面PAC，POPCP，所以平面BEN平面PAC，所以BE平面PAC因为SNNP21，所以SEEC21.大题增分专训1(2019济南模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PB的中点(1)证明：PD平面CEF；(2)若PE平面ABCD，PEAB2，求三棱锥PDEF的体积解(1)证明：连接BE，BD，BD交CE于点O，连接OF(图略)E为线段AD的中点，ADBC，BCADED，BCED，四边形BCDE为平行四边形， O为BD的中点，又F是BP的中点，OFPD又OF平面CEF，PD平面CEF，PD平面CEF.(2)由(1)知，BECD四边形ABCD为等腰梯形，ABBCAD，ABAEBE，三角形ABE是等边三角形，DAB，过B作BHAD于点H(图略)，则BH.PE平面ABCD，PE平面PAD，平面PAD平面ABCD，又平面PAD平面ABCDAD，BHAD，BH平面ABCD，BH平面PAD，点B到平面PAD的距离为BH.又F为线段PB的中点，点F到平面PAD的距离h等于点B到平面PAD的距离的一半，即h，又SPDEPEDE2，V三棱锥PDEFSPDEh2.2(2019石家庄模拟)如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，且PA底面ABCD，过AB的平面ABFE与侧面PCD的交线为EF，且满足SPEF：S四边形CDEF13.(1)证明：PB平面ACE；(2)当PA2AD2时，求点F到平面ACE的距离解(1)证明：由题知四边形ABCD为正方形，ABCD，CD平面PCD，AB平面PCD，AB平面PCD又AB平面ABFE，平面ABFE平面PCDEF，EFAB，EFCD由SPEFS四边形CDEF13知E，F分别为PD，PC的中点如图，连接BD交AC于点G，则G为BD的中点，连接EG，则EGPB.又EG平面ACE，PB平面ACE，PB平面ACE.(2)PA2，ADAB1，AC，AEPD，PA平面ABCD，CDPA，又CDAD，ADPAA，CD平面PAD，CDPD在RtCDE中，CE.在ACE中，由余弦定理知cosAEC，sinAEC，SACEAECEsinAEC .设点F到平面ACE的距离为h，连接AF，则VFACEhh.DGAC，DGPA，ACPAA，DG平面PACE为PD的中点，点E到平面ACF的距离为DG.又F为PC的中点，SACFSACP，VEACF.由VFACEVEACF，得h，得h，点F到平面ACE的距离为.3已知在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，四边形ABCD为矩形，E为线段AD上靠近点A的三等分点，O为AB的中点，且PAPB，ABAD(1)求证：ECPE.(2)PB上是否存在一点F，使得OF平面PEC？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：连接PO，EO，CO.平面PAB平面ABCD，PAPB，O为AB的中点，PO平面ABCD，CE平面ABCD，POCE.设AD3，四边形ABCD为矩形，CDAB2，BC3，AEAD1，ED