大数定律及中心极限定理.ppt

第四章 大数定律 及中心极限定理,大数定律的概念,例1 掷一颗骰子, 出现1点的概率是1/6, 在掷的次数比较少时, 出现1点的频率可能与1/6相差很大, 但是在掷的次数很多时, 出现1点的频率接近1/6是必然的. 例2 测量一个长度a, 一次测量的结果不见得就等于a, 量了若干次, 其算术平均值仍不见得等于a, 但当测量次数很多时, 算术平均值接近于a几乎是必然的.,算术平均值 在相同条件下对某一个随机变量进行反复地试验, 计划试验n次, 就试验方案而言, 这样的试验将产生出相互独立且同样分布的n个随机变量X1,X2,.,Xn. 将这n个随机变量加起来除以n称做这n个随机变量的算术平均值,虽然n个随机变量的算术平均值仍然是随机变量, 人们相信当试验次数n无限增大的时候, 此随机变量将趋向于常数, 即数学期望, 这就是大数定律.,这就让人想到极限的概念. 但是, 传统的极限定义在这里遇到了麻烦. 传统的一个数列an的极限是定义为, 任给一个非常小的实数e, 存在着一个正数N, 当nN时, |an-a|e. 但概率不行. 比如说虽然掷硬币试验次数增加时频率将趋于0.5, 但无论试验多少回, 次次正面向上的机会都是存在的.,1 大数定律,第四章 大数定律及中心极限定理,1.大数定律,定义4.1：,返回主目录,1 大数定律,第四章 大数定律及中心极限定理,返回主目录,切贝谢夫不等式,设随机变量x有期望值Ex及方差Dx, 则任给e0, 有,示意图,Ex,Ex+e,Ex-e,j(x),x,Dx/e2,1 大数定律,第四章 大数定律及中心极限定理,此定理说明了频率的稳定性。,这个定理说明在试验条件不变的情况下, 重复进行多次试验时, 任何事件A发生的频率将趋向于概率.,1 大数定律,第四章 大数定律及中心极限定理,注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。,返回主目录,这个定理说明我们应当相信只要反复试验, 则一个随机变量的算术平均值将趋向于常数, 通常就是数学期望.,2.中心极限定理,中心极限定理是概率论的一个非常重要的定理, 它原来叫中心极限定律. 对中心极限定理, 只需要记住这样一个描述就行: 如果多个相互独立的随机变量相加, 不管它们是离散的还是连续的或者是任何类型的, 只要它们大小相差并不悬殊, 则加起来以后得到的随机变量, 就近似服从正态分布.,正态分布的概率密度的图形,二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1分布的随机变量之和, 下面是当xB(20,0.5)时, x的概率分布图,Poisson分布相当于二项分布中p很小n很大的分布, 因此, 参数l=np当很大时也相当于n特别大, 这个时候Poisson分布也近似服从正态分布, 下面是l=30时的Poisson概率分布图.,在c2(n)分布中, 如果自由度n很大, 也可以认为是多个自由度为1的相互独立的c2(1)分布的随机变量的和, 因此也近似服从正态分布. 下面是c2(60)的概率密度曲线.,x,0,60,120,例1 一个螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是一两, 标准差是0.1两. 求一盒(100个)螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.,解 设一盒重量为x, 盒中第i个螺丝钉的重量为xi, (i=1,2,.,100). x1,.,x100相互独立,例2 对敌人的防御地段进行100次轰炸, 每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量, 其期望值为2, 方差为1.69. 求在100次轰炸中有180颗到220炸弹命中目标的概率.,解 令第i次轰炸命中目标的次数为x, 100次轰炸命中目标次数x=x1+x2+.+x100. Ex=200, Dx=169, 近似有xN(200, 132),2 中心极限定理,常见的中心极限定理,定理1,返回主目录,2 中心极限定理,定理2 （李雅普诺夫定理）,(Liapunov定理),返回主目录,常见的中心极限定理,由定理1有结论成立。,(De Moivre-Laplace),常见的中心极限定理,2 中心极限定理,推论：,设随机变量 服从参数为 n , p (0p1) 的二项分布, 当 n 充分大时有：,说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。,返回主目录,常见的中心极限定理,例.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？,解:设Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,100,则X1,X100独立同分布.,由中心极限定理,例 10部机器独立工作, 每部停机的概率为0.2. 求最多有3部机器同时停机的概率.,解 10部机器中同时停机的数目xB(10,0.2),例 产品为废品的概率为p=0.005, 求10000件产品中废品数不大于70的概率.,解 10000件产品中的废品数xB(10000,0.005),例 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01, 求500发炮弹中命中5发的概率.,解 命中飞机的炮弹数目xB(500,0.01),例 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？,解 设X表示一年内死亡的人数,则XB(n, p), 其中n= 10000，p=0.6%， 设Y表示保险公司一年的利润， Y=1000012-1000X 于是由中心极限定理 (1)PY0=P1000012-1000X0 =1PX120 1 (7.75)=0;,PY60000=P1000012-aX60000 =PX60000/a0.9;,（2）设赔偿金为a元，则令,由中心极限定理,上式等价于,例 设电站供电所有10000盏电灯, 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7, 而假定开关时间彼此独立, 估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.,解 开着的灯数xB(10000,0.7),2 中心极限定理,第四章 大数定律及中心极限定理,例1,某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。,解：,设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题意有：,返回主目录,2 中心极限定理,第四章 大数定律及中心极限定理,即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。,返回主目录,2 中心极限定理,第四章 大数定律及中心极限定理,例2.,现有一批种子，其中良种占1/6。今任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？,解：,由德莫佛-拉普拉斯定理,返回主目录,第四章 大数定律及中心极限定理,故近似地有,返回主目录,2 中心极限定理,第四章 大数定律及中心极限定理,良种粒数X的范围为,返回主目录,假设一批种子的良种率为 ，从中任意选出600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式和中心极限定理分别估计：这600粒种子中良种所占比例与 之差的绝对值不超过0.02的概率。,2 中心极限定理,第四章 大数定律及中心极限定理,思考题：,2 中心极限定理,第四章 大数定律及中心极限定理,例3,设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常工作，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统正常工作的概率。,解：设X是损坏的部件数，则 XB(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当 X 15.,由德莫佛-拉普拉斯定理有,返回主目录,第四章 大数定律及中心极限定理,例4某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？,解：设有X部分机同时使用外线，则有,设有N条外线。由题意有,由德莫佛-拉普拉斯定理有,第四章 大数定律及中心极限定理,例5 一加法器同时收到20个噪声电压 ，设它们