随机变量及其分布律(离散型).ppt

第二章 随机变量及其概率分布,第一讲 随机变量及其分布律（离散型）,概率论与数理统计课程教学团队,第一讲 随机变量及其分布律（离散型）,一、随机变量概念的产生 二、引入随机变量的意义 三、随机变量的分类 四、概率分布律 五、常用离散型随机变量 六、小结,例如: 盒中有 2 个黑球, 3 个白球和 5个红球, 现从中任取一球, 考察此球的颜色., 黑 白 红 X 1 2 3,在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以通过人为设计，将试验结果数值化.,定义1 给定一个随机试验E，是其样本 空间. 如果 , 都有一个实数X ()与它对应, 则称此定义域为的单值实值函数X = X()为(一维) 随机变量.,随机变量通常用大写字母 X, Y, Z 或希腊字母, 等表示.,而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母 x, y, z 等.,例:(1) 某电话总机1分钟内接到的呼叫次数X （次） (2) 某种1批灯泡,任取1只,测试其寿命T（小时） (3) 某1个花店某1天的玫瑰花销量X（朵）,问：每日平均售多少朵？,例1 将一枚硬币抛掷两次, X 表示正面向上的次数, 则有如下对应关系: 正正 正反 反正 反反 X 2 1 1 0,X=0= 反反, X=1=正反,反正, X=2=正正,X=0 , X=1, X=2 互不相容,且 X=0 X=1X=2=,X=0 , X=1, X=2 构成一个完备事件组.,(1) 有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.,二、引入随机变量的意义,如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.,事件收到不少于1次呼叫 X 1,没有收到呼叫 X= 0,又如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.,我们可以把可能的身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.,如 P(X1.7) =？ P(X1.5) =?,P(1.5X1.7) =?,可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内. 也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象高等数学中常量与变量的区别那样.,(2) 引入随机变量, 便于从整体上更全面地研究随机试验.,(3) 引入随机变量, 使得运用高等数学来研究随机试验成为可能.,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及 事件概率,随机变量及其 取值规律,三、随机变量的分类,通常分为两类：,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个 一一列举,全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间.,这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.,随机变量,连续型随机变量,离散型随机变量,学习时请注意它们各自的特点和描述方法.,四、概率分布律,例 3 某位足球运动员罚点球命中的概率为0.8. 今给他4次罚球的机会, 一旦命中即停止罚球. 假定各 次罚球是相互独立的. X 表示罚球的次数. 则,P(X = 1) = 0.8,P(X = 2) = 0.20.8 = 0.16,P(X = 3) = 0.8 = 0.032,P(X = 4) = = 0.008.,X 1 2 3 4 P 0.8 0.16 0.032 0.008,X =1, 2, 3, 4.,定义2 设离散型随机变量 X 的所有可能取 值为 a1, a2, an, X 取值 ai 的概率为 P( X = ai ) = pi , (i = 1, 2,) 称上述一串等式为 X 的概率函数或分布律. 分布 律也可写成表格形式: X a1 , a2 , an , P p1 , p2 , pn ,分布律具有两条性质:,(1) , i = 1,2,且诸 X = ai 互不相容,由概率的可加性, 有,反之, 凡具有这两条性质的数组 一定可构成某离散型随机变量的分布律.,例4 某位足球运动员罚点球命中的概率为0.8. 今给他4次罚球的机会, 一旦命中即停止罚球. 假定各 次罚球是相互独立的. X 表示罚球的次数.,在例 4中,设 A = 罚偶数次, B = 罚球超过两 次, 则,P(A) = P(X = 2) + P(X = 4) = 0.16 + 0.008 = 0.168,X 1 2 3 4 P 0.8 0.16 0.032 0.008,P(B) = P(X2) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0.032 + 0.008 = 0.04,或 P(B) = 1P(X2) = 1P(X = 1) + P(X = 2) = 1( 0.8 + 0.16 ) = 0.04,例4 某位足球运动员罚点球命中的概率为0.8. 今给他4次罚球的机会, 一旦命中即停止罚球. 假定各 次罚球是相互独立的. X 表示罚球的次数.,X 1 2 3 4 P 0.8 0.16 0.032 0.008,例5 设盒中有 3 个黑球 2个白球, 每次从中任取一球, 不放回地抽取, 直到抽得白球为止, 求抽取次数 X 的分布律, 并求抽取次数小于 2.5 的概率.,解 X 的值域X = 1, 2, 3, 4 .,P(X =1),P(X = 2),P(X = 3),P(X = 4) = 3 / 52 / 41 / 32 / 2 = 1 / 10.,X 1 2 3 4 P 2 / 5 3 / 10 1 / 5 1 / 10,P(X 2.5) = P(X =1) + P(X = 2) = 2 / 5 + 3 / 10 = 7/10 .,= 2 / 5,= 3 / 5,2 / 4 = 3 / 10,2 / 42 / 3 = 1 / 5,= 3 / 5,例6 若离散型随机变量 X 的分布律为,求常数.,解 由性质(2), 有,五、常用离散型随机变量,1 . 二项分布,设 X 的分布律为,其中 0 p 1, 称 X 服从二项分布, 记作XB(n, p),利用二项式定理,特别, 当 n =1时, 即XB(1, p)时, 称 X 服从两点分布. 此时 X 的分布律为,P(X = 0) = 1 p, P(X = 1) = p.,X 0 1 P 1 p p,例7 一射手的命中率为0.6, 连续向一目标射击 三次, 则命中的次数X B( 3, 0.6).,若以 Ai 表示第 i 次命中, i =1, 2, 3, 则,X = 0, 1, 2, 3 .,一般, 若一试验满足,(1) 该试验由n次重复试验组成,(2) 各次试验出现什么结果互不影响,即相互独立,(3) 每次试验只考虑两个相互对立的事件A和 , 且P(A) = p, P( ) = 1p, 0p1,则称此类试验为n重贝努利试验概型. 在此试验中, 事件A发生的次数XB(n, p).,解 此人每蒙一道题看作一次试验, 蒙对的概率 为1 / 4, 共蒙 40 道题相当于40 次独立试验,而至少蒙对 10 道题的概率是,例8 一张考卷共有40 道选择题, 每题有4个选择答案 ( 其中只有一个是对的 ), 若某人一道题也不会, 问此人蒙对 10 道题的概率是多少?,蒙对 10 道题的概率是,蒙对的题数XB( 40, 1 / 4 ),具有此分布的变量在实际应用中很多, 例如 单位时间内电话交换台收到的呼唤次数, 一本书一页中印刷错误数, 某地区在一天内邮递遗失的信件数, 某医院一天内的急诊人数, 某地区某一时间间隔内发生的交通事故的次数, 某地区居民中活到百岁的人数.,可以证明当 n 较大, p 较小, = n p 的大小适 中(10 ) 时, 有近似公式,泊松分布的重要应用之一是用来近似代替二项 分布.,2. 泊松分布,2. 泊松分布,设 X 的分布律为,其中0, 称 X 服从泊松分布, 记作 XP().,由指数函数的幂级数展开式,得,例9 保险公司里有2500个同一年龄且同一社 会阶层的人参加人寿保险, 在一年内每个人死亡的概 率为 0.002, 每个入保的人在一月一日付 12元保险费, 而在死亡时家属可向保险公司领 2000元. 问 (1) 在一 年内保险公司亏本的概率是多少? (2) 在一年内保险 公司至少获利 10000元的概率是多少?,解 (1) 年初保险公司收入为 250012 = 30000 (元). 若一年内死亡X人, 则保险公司应付出2000X (元). 若2000X 30000, 即X 15(人), 则保险公司亏本 ( 不 计利息 ). 2500人中一年内死亡人数 X B(2500,0.002).,(1) P保险公司亏本,(2) 保险公司至少获利10000元意味着 300002000X 10000, 即X 10.,P保险公司获利10000