高考数学导数及其应用（选修1_1）第11节导数在研究函数中的应用（第3课时）利用导数求解不等式问题习题.docx

第三课时利用导数求解不等式问题【选题明细表】知识点、方法题号分离参数法解决不等式恒成立问题5,6等价转化法解决不等式恒成立问题2,3存在性不等式成立问题7不等式证明1,4基础巩固(时间:30分钟)1.设f(x)是R上的可导函数,且满足f(x)f(x),对任意的正实数a,下列不等式恒成立的是(B)(A)f(a)eaf(0)(C)f(a)解析:构造函数g(x)=,则g(x)=0,即g(x)=是增函数,而a0,所以g(a)g(0),即f(a)eaf(0).故选B.2.若对任意a,b满足0abt,都有bln aaln b,则t的最大值为.解析:因为0abt,bln aaln b,所以0,解得0xe.故t的最大值为e.答案:e3.(2018广东深圳中学第一次阶段性测试)函数f(x)=x-2sin x,对任意的x1,x20,恒有|f(x1)-f(x2)|M,则M的最小值为.解析:因为f(x)=x-2sin x,所以f(x)=1-2cos x,所以当0x时,f(x)0,f(x)单调递减;当x0,f(x)单调递增.所以当x=时,f(x)有极小值,即最小值,且f(x)min=f()=-2sin =-.又f(0)=0,f()=,所以f(x)max=.由题意得|f(x1)-f(x2)|M等价于M|f(x)max-f(x)min|=-(-)=+.所以M的最小值为+.答案:+4.(2018济南模拟)已知f(x)=(1-x)ex-1.(1)求函数f(x)的最大值;(2)设g(x)=,x-1且x0,证明:g(x)0,f(x)单调递增;当x(0,+)时,f(x)0时,f(x)0,g(x)01.当-1x0时,g(x)x.设h(x)=f(x)-x,则h(x)=-xex-1.当x(-1,0)时,0-x1,0ex1,则0-xex1,从而当x(-1,0)时,h(x)0,h(x)在(-1,0)上单调递减.当-1xh(0)=0,即g(x)-1且x0时总有g(x)0).(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对任意x(0,+),f(x)恒成立,求实数m的最大值.解:(1)由f(x)=xln x(x0),得f(x)=1+ln x,令f(x)0,得x;令f(x)0,得0x0),则g(x)=,由g(x)0x1,由g(x)00x1.所以g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数,所以g(x)min=g(1)=4,因此m4,所以m的最大值是4.6.已知函数f(x)=在x=0处的切线方程为y=x.(1)求a的值;(2)若对任意的x(0,2),都有f(x)成立,求k的取值范围.解:(1)由题意得f(x)=,因为函数在x=0处的切线方程为y=x,所以f(0)=1,得a=1.(2)由(1)知f(x)=0知k+2x-x20,即kx2-2x对任意x(0,2)都成立,从而k0.由不等式整理可得k0,函数g(x)在(1,2)上单调递增,同理,函数g(x)在(0,1)上单调递减,所以k0,所以a在区间1,e上有解.令h(x)=,则h(x)=