常微分方程与运动稳定性第三篇.ppt

1,第三篇 定性理论,2,第一章 奇点 第二章 相平面法 第三章 极限环,内 容,3,第五章 奇 点,第一节 常点与奇点 第二节 一次奇点 第三节 非线性项对奇点的影响,4,第一节 常点与奇点,研究二维方程组,(5.1),反之,如 X(x0,y0), Y(x0,y0) 中至少有一个不等于零，则此点称为(5.1)的常点。,性质:过常点有唯一解，但奇点处解至少不唯一,5,由于任何奇点都可借助坐标平移而将它化为原点，因而总认为原点是（5.1）的奇点。 在原点邻域内将 X, Y 展为泰劳级数，得：,则此奇点称为一次奇点,反之称为高次奇点。,第二节 一次奇点,6,(5.5),研究以下线性系统,7,(1) q 0, 此时1,2异号,其解为 设1 0，2 0, 则其轨线在原点领域的分布情况如图所示，这样的奇点为鞍点。,根据特征根的各种可能情况，对奇点进行分类：,p16,p17,p30,8,o, 1， 2 为 相异负实根,若210，则积分曲线在原点与 x 轴相切，如图示。反之，若120，则积分曲线在原点与 y 轴相切。 奇点称为稳定结点,对于q 0，p 0，1、2为相异正实根，积分曲线方向远离原点。 奇点为不稳定结点,p17,p20,p16,9,q0，p0，p24q0, v0，将(5.5)化为：,(5.10),其解为r= r0 e -ut，=0+ v t，相应的轨线如图 奇点为稳定焦点,q0, p0, p2-4q0:1,2为共轭复根但实部为正 奇点为不稳定焦点,p17,p16,10,(a) 初等因子是简单。(5.5)可化为：,(5.12),（4）q0, p0, p2-4q=0, 12为一对负重根。这又可分为两种情况；,(b) 初等因子是重的。(5.5) 可化为：,p17,(5.13),p16,11,所有轨线在原点均与轴相切，如图所示。 稳定退化结点,q 0, p0, p24q=0:1,2 一对正重根 不稳定临界结点和退化结点,p17,12,(5) q0, p0:1-2 vi,为一对共轭纯虚根,其解为r=r0,=0+vt, 其轨线如图 -奇点称为中心,13,奇点分类如下：,q0, p0, p2-4q0, 两根相异负实根稳定结点; q0,p0,p2-4q=0, 两根为相等负实根临界结点或退化结点。 q0,p0, 两根为相异正实根不稳定结点; q0,p0,p0,p0,p0, 两根为共轭纯虚根中心.,14,汇,源,15,第三节 非线性项对奇点的影响,则原点（零解）若是(A2)的鞍点,正常结点、焦点，也是(A1)的鞍点,正常结点、焦点（解的结构相同），且稳定性保持不变；但(A2)的临界或退化结点，对(A1) 来说其结构可能发生变化。,16,定义2：设O(0, 0) 为孤立奇点， 若点列 An(rn,n)，当n时， rn0 ,n0 ,且n0 ，n为An点的方向场向量与向径夹角的正切，称=0为特征方向。 显然，若=0为固定方向，则必为特征方向,3.1 奇点的性质 定义1：设 L 为轨线, 其上的点 A(r,),当r0时,0 （t ），称L沿固定方向进入奇点O(0, 0).,鞍 点： 0，/2, 3 /2， 结 点： 0，/2, 3 /2， 焦 点： 无 退化结点： /2, 3 /2 或 0， 临界结点：任意方向,p7,p8,p9,p10,p11,17,定义3： 轨线L与=0相交于P ,若P点向径与方向场夹角为: 0 p ,则为正侧相交； p 2 ,则为负侧相交。 /2 p 3/2 ,则为正向相交；-/2 p /2,则为负向相交。,正侧正向 正侧负向 负侧负向 负侧正向,18,定义4：O为奇点，扇形域 由OA, AB与弧AB围城，称为正常区域， 上满足： 除点O外没有其他奇点, OA, AB为无切线段; 任意点的向径与方向场向量不垂直； 最多包含一个特征方向, 但OA, AB不是特征方向.,结论： 轨线L与OA (或OB) 相交只能是同侧同向： 即： 0 或 2 。因此有三类正常区域：,I,II,III,19,结论： 轨线L与OA (或OB) 相交只能是同侧同向： 即： 0 或 2 。因此有三类正常区域：,引理：若为正常区域 I ，从 OA, AB与AB上出发的轨线都进入O（当t时）; 若为正常区域 II , AB上有一点或一段闭弧，从其上出发的轨线都进入O（当t时）;,若为III , 有两种情况: (1) 没有轨线进入O; (2) POA或 AB: POA时, OP上出发的轨线都进入O; PAB时, QOAAP, 从Q出发的轨线都进入O,20,其中F2，G2 是 x, y 二次以上的函数,且满足(A3) 。令 x=rcos, y=rsin，运算可得:,(A4),考虑结点为稳定时， 非奇异变换，将 (A1) 化为：,1. 结点情况,p7,d/dt = 0 = 0, /2, , 3 /2 -特征方向,21,o,1, 2 微小量；21 0 r 0 dr/dt 0., -正常区域 II; , -正常区域 I,结论：当1 0, , 内只有一对轨线当t 时沿y轴方向趋于原点；其余轨线则均沿x方向趋于原点。 原点为稳定结点。,p8,总之，若线性奇点为结点，加上非线性项之后仍为结点，并且稳定性保持不变。,p8,22,鞍点情况 两特征根均为实根：设10,23,鞍点情况 两特征根均为实根：设10, -正常区域 II (t) , -正常区域 II (t-),结论：当0, , 内只有一对轨线沿y轴趋于原点(当t-时); , 内只有一对轨线沿x轴趋于原点(当t时). 原点为鞍点,24,焦点与中心的情况,焦点情况与结点、鞍点相似：线性部分为焦点时，加上非线性项仍为焦点且稳定性不变;,对于线性部分为中心的情况，加上非线性项后，可能依然为中心，但也可能变为（不）稳定焦点;,25,若满足: X(-x, y)= X(x, y) Y(-x, y)= -Y(x, y),若满足: X(x, -y)=-X(x, y) Y(x, -y)= Y(x, y),(A1),26,能否给出判断稳定性的依据? -问题实质:如何确定奇点的性质与（A9）系数之间的关系。,按照线性部分特征根的不同情况进行讨论.,27,分为以下几个方面： 两特征根为实根或共轭负根，此时奇点将为稳定或不稳定结点，焦点或不稳定鞍点; 两特征根为一对纯虚根，线性奇点为中心，加上高次项后，为中心或焦点; 两特征根一是零根，另一个正实根，奇点为不稳定; 两特征根一是零根，另一个负实根，这是所谓Lyapunov第一临界情况; 两特征根全为零根，又可分为两种情况: 初等因子是简单的，化为齐次方程研究; 初等因子是非简单的，奇点为不稳定。,28,第一节 保守系统的基本性质 第二节 带有参数的保守系统 第三节 耗散系统 第四节 轨线的作图法,第六章 相平面法,29,第一节 保守系统的基本性质,一、保守系统 -能量（机械能）保持守恒的系统。 单自由度系统的运动微分方程：,p32,由(6.2.), 系统的奇点为： y=0，f(x)=0 (6.4),系统奇点（若有的话）分布在 x 轴上,30,由(6.3)，当 f(x)=0, y0时，有 0，即轨线切线水平。,由（6.3）求得积分曲线的方程：,h 为常数-其力学意义为机械能守恒,(6.5), 在 h V(x)0 的 x 区间内才有积分曲线, V(x0)= f(x0)=0 -系统奇点x0对应势能的极值,31,在奇点x0邻域内将V(x)展开为泰劳级数(取到二次项):,(6.7),V(x0)0 V(x0) 极小值 (6.8) 椭圆方程 奇点 x0 为中心； V(x0)0 V(x0) 极大值 (6.8) 双曲线方程， 故奇点为鞍点; V(x0)=0 V(x0) 非极大极小 拐点， 此时, 若 V (3)(x0)0, 积分曲线可近似表示为,p7,32,(6.9),对应中心鞍点型奇点: 一半中心，一半鞍点（高次奇点-线性部分的特征根出现零根）。 将(6.2)中的f(x)也在这一点邻域内展开，得：,33,在一般情况下,对于V(n)0,当n为偶数时V为极值，当n为奇数时V为拐点。积分曲线为较复杂的高次曲线，如图(6.2)所示( y0, x0; y0, x0),p28,34,方程中不含速度项，为保守系统(机械能守恒)； 方程中含有速度项，而速度项前的系数为常数或定号函数，为非保守系统； 方程中含有速度项,而速度项前的系数是变号函数，则不能确定是否保守系统。,35,第二节 带有参数的保守系统,36,f(x, )=0, 在平面内为一曲线，如图(6.4),假定阴影区: f(x, ) 0 可看出，当参数增大时，奇点数目随之变化。,f(x, ) 0,37,由于Vxx” (x, ) = fx(x, ),因而在奇点x处： Vxx” (x, ) 0 (fx(x, )0)时，V-极小 中心； Vxx” (x, ) 0 (fx(x, ) 0)时，V-极大 鞍点； Vxx” (x, ) = 0，但Vxx” 0时 中心鞍点。,与不含参数的保守系统相同,38,沿 x增加方向看f(x, )的变化，判断fx(x, )的符号,2 , 3 , 5 分岔点 (奇点数目变化),f(x, ) 0,39,解: 由质点的动量距定理，可得小球的运动微分方程为,例1. 一质量为m的小球，可沿一半径为 r 的大环滑动，此大环以匀角速度绕铅直轴而转动。设小球与大环之间无摩擦，试研究小球的运动.,(6.17),40,曲线如图(6.6): 阴影区- f (,)0。,平衡位置: =0, =(0, ), 当| | 1时; =0, =(0, , cos-1 ),当|1时。,41,相平面内轨线的分布情况（：- ）：,|1,42,此时共有三个鞍点(=0,)与两个中心(=cos-1); A,B分别为通过=0,=0与0，= 的分界线，其方程为,(6.20),43,耗散系统属于非保守系统，其运动微分方程通常可表示为,第三节 耗散系统,(6.21),将 各项乘以 得,44,-由(6.22)知 y=0时 g(x, y)=0，因而耗散系统(6.25)的奇点分布，与和它对应的保守系统的奇点分布相同，但奇点的性质却可能改变(中心变成焦、结点)。,45,例2. 考虑阻尼作用单摆的运动。,耗散项：,对应的保守系统为,共有三个平衡位置(中心，鞍点)：,由于 ，故系统为耗散系统。,46,其中0, g()在-, 上连续，且为2 的周期函数，g(0)0，g(0) 0,当0时g( )0 ，g()=0。,显然，这是较例2更为一般情况，此时系统由三个奇点:=0，=0，而且0为稳定焦点或结点，为鞍点。,47,(1) 等倾线法,第四节 轨线作图法,(6.27),令k等于一系列不同的数值，得出一系列等倾线，在每一等倾线上画出相应的dy/dx的方向，然后用欧拉折线法便可大致描出轨线的图形。,48,例:,令,49,50,直线CA的斜率为,它与(6.35) dy/dx的乘积等于-1,因而(6.35)积分曲线在A点的切线方向应与CA垂直。,51,例4 受有干摩擦力与线性恢复力的振动系统，其运动微分方程为,为了应用Linard作图法，需使x的系数等于1。为此，作变换 ，即可将上式化为:,然后，利用Linard作图法，可以证明它的积分曲线为一系列半圆所组成，这些半圆在x轴上相连接，其圆心为 如图所示。,52,第七章 极限环,第一节 前 言 第二节 极限环的存在性 第三节 极限环的唯一性 第四节 极限环的稳定性 第五节 判断极限环不存在的定理,53,第一节 前 言,对于微分方程的积分曲线而言，它存在一条孤立的单闭曲线，而在其领域内的其他积分曲线，均以螺旋线形式向该闭曲线无限逼近，则这条闭曲线称为极限环。力学意义：孤立周期解,54,由此可见，r=0即x=y=0是一个奇点; 而r=1即x2+y2=1是一个周期解.而其它积分曲线都是螺线，即：当t时. 对于r1，有：,故r单调减少而趋于1;,因而闭曲线 x2+y2=1 是稳定的极限环,(7.2),55,例2,(7.3),其积分曲线形状见图; 单闭曲线x2+y2=1是不稳定极限环。,56,对于,其积分曲线形状见图。 单闭曲线是半稳定极限环 (即一侧不稳定另一侧不稳定),解的稳定性（Liapunov） 轨道稳定性,57,图7.4,环域定理 设在x-y平面上有两个单闭曲线C1及C2在C1内部。并满足下面两个条件(图7.4)：,(1) C1上之点的矢量场由C1的外部指向内部, C2上之点的矢量场由C2的内部指向外部;,(2) C1及C2所围成的环行区域内无奇点; 则在该环域内至少存在一个稳定极限环C: C1 C C2,第二节 极限环的存在性 （ Poincar-Bendixson环域定理）,C1,一个C : 稳定; 二个C : 一个稳定，一个半稳定； 三个C : 中间稳，两边半稳；或中间不稳，两边半稳,58,(7.7),以van der Pol方程为例说明环域定理的应用。方程的形式为,(7.8),59,或,(7.11),可见，它与(6.35)完全相同，所以其轨线方向可以用Linard作图法求出。,先在相平面上做出曲线: x= - (y),60,为应用环域定理证明van der Pol方程存在稳定的极限环, 先做环域的内境界线2:,由此得：,如果取r2充分小,可使y23,从而有,这表明(7.10)的轨线均由2的内部穿向外,如图(7.5)所示。,61,图7.5,下页,下下页,62,上页,只证明一个不等式(2-原点对称):,63,C2D2圆弧半径,-只要|y|足够大，总可以满足,用Linard作图法容易得出，在1上的轨线均是自外部指向内部。又(7.10)只有唯一的奇点原点，因而2，2构成的环域内无奇点：vdP方程在该环域内至少存在一个稳定极限环。,上页,64,定理1. (7.12)有唯一的稳定极限环，若满足：,g(-x)=-g(x),当x0时：xg(x)0,(2) 对一切x ，f 及 g 连续,且g满足Lipschicz条件,(4) 在x正半轴上F有唯一的零点 x=a (当0a时F(x)单调增加)。,65,(7.13),(2)首先证(7.13)对一切(x,y)满足Lipschitz条件,事实上,对|x|A,|y|A,由于f连续,故有上界m。 如此由中值定理得,又由条件(2)知,66,这里取k=m+n+1。上式表明(7.13)的确满足Lipshitz 条件，因此它的解存在且唯一。,此外，由于y-F(x)=0与g(x)=0只有一个解x=0,y=0，故原点是(7.13)的唯一奇点。,67,根据g, F的性质,可知当0 0, 故原点不稳定.,68,由此，在y轴上轨线具有平行于x轴的切线，而在曲线L：y=F(x)上，轨线具有平行于y轴的切线。,(5)设轨线 lb 与曲线 L 相交于B点,以 b表示B点的横坐标。由于在0xb内有:,故当t减少时lb之值将增加而进入曲线L的上方，从而同时有,69,x,y,A,D,P,B,L: y=F(x),b,Q,K,M,a,C,E,O,图7.6,70,这表明当t减少时x也减少。综上所述可知当t减少时，由B出发之轨线lb必与y轴的正半轴相交，否则将在y轴附近出现无限大斜率：与在y轴轨线具有水平切线相矛盾。设上述交点为A。同理可证当t增加时lb必与y轴的负半轴相交设相交点为C(参看图7.6)。,(6)现证|OA|=|OC|是lb为闭轨的充要条件。事实上以(-x,-y)代(x,y)方程(7.13)不变,故其积分曲线对原点对称。因此，如|OA|=|OC|，则lb必闭，反之，如lb为必轨但却有|OA|OC|则由于积分曲线对原点对称性，故必存在另一闭轨lb，且lb 与lb必相交，而这与(7.13)解的唯一性相矛盾。由此可见,如为闭轨,则必有|OA|=|OC|。,71,72,则：,由(7.17)知当dV=Fdy。当x0与dya时F0与dy0,因而2(b)0。现进而研究当b改变时(b)的变化情况。当b增大时AD上升而EC下降,因而对于同一的x值而言,其|y|之值将增大。,73,又,对于弧AD 而言，y-F(x