2013版高中全程复习方略配套课件：2.9函数与方程(人教A版·数学理)浙江专用.ppt

第九节 函数与方程,三年12考 高考指数: 了解函数零点的概念，能判断函数在某个区间上是否存在零点.,1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点. 2.常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想. 3.题型以选择题和填空题为主，若与导数综合，则以解答题形式出现，属中、高档题.,1.函数的零点 (1)定义：若实数x是函数y=f(x)的零点，则需满足条件_. (2)三个等价关系：,f(x)=0,【即时应用】 (1)函数f(x)=x3-x的零点是_. (2)函数f(x)=lgx- 的零点个数是_. 【解析】(1)令f(x)=0，即x3-x=0解得x=0,1,-1, f(x)的零点为-1，0，1. (2)由等价关系，零点个数转化为方程lgx- =0的根的个数lgx= ,即又转化为函数y=lgx与y= 图象交点个数，由图象得：有一个交点.,答案：(1)-1，0，1 (2)1,2.函数零点的存在性定理,y=f(x)在(a,b)内有零点,【即时应用】 (1)若函数y=f(x)在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线，判断下列命题是否正确（请在括号中填写“”或“”） 若f(a)f(b)0，则不存在实数c(a,b)使得f(c)=0 ( ) 若f(a)f(b)0，则有可能存在实数c(a,b)使得f(c)=0 ( ),若f(a)f(b)0,则有可能不存在实数c(a,b)使得f(c)=0 ( ) (2)请思考在定理的条件下，当f(x)是_时，在区间（a,b）内f(x)有唯一的一个零点. (3)已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在的最短区间为_.（区间端点为整数） (4)函数f(x)=mx-1在（0，1）内有零点，则实数m的取值范围是_.,【解析】(1)如图甲的情况可判断错正确，如图乙的情况可判断不正确，由零点存在性定理可知不正确. (2)由零点存在性定理容易判断f(x)是单调函数即可.,(3)由于f(0)=-10,f(3)=230, f(4)=590,故只有区间（1，2）满足. (4)由f(0)f(1)1. 答案：(1) (2)单调函数 (3)（1，2） (4)m1,3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x2,0）,(x1,0),无交点,x1,x2,x1,无,【即时应用】 (1)若二次函数f(x)=ax2+bx+c中，ac0,则其零点个数是_. (2)若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点，则实数a的取值范围是_. 【解析】(1)c=f(0),ac=af(0)0,即a和f(0)异号，即 或 函数必有两个零点.,(2)当a=0时，则f(x)=-x-1,易知函数只有一个零点. 当a0时，则函数为二次函数，仅有一个零点， 即=1+4a=0,a= ， 综上，当a=0或a= 时，函数只有一个零点. 答案：(1)2 (2)a|a=0或 ,确定函数零点所在的区间 【方法点睛】 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上； (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数y=f(x)在区间（a，b）内必有零点.,(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,【例1】(1)(2012豫南九校联考）函数f(x)= 的零点 所在的区间为( ) (A)（0，1） (B)（1，2） (C)（2，3） (D)（3，4） (2)(2012汕头模拟）函数f(x)=ln(x-2)- 的零点所在的大致 区间是( ) (A)（1，2） (B)（2，3） (C)（3，4） (D)（4，5）,【解题指南】(1)根据函数零点的存在性定理，只需验证选项中区间端点值是否异号即可作出判断. (2)先求函数定义域，将选项中不在定义域中的区间去掉，然后把剩下区间端点处的函数值求出，再判断.,【规范解答】(1)选B.f(0)=( )0-2-0=40， f(1)=( )1-2-13=10， f(2)=( )2-2-23=-70, f(1)f(2)0, 故函数f(x)=( )x-2-x3的零点所在的区间为（1，2）.,(2)选C.由题意知函数f(x)的定义域为x|x2, 排除A. f(3)= 0, f(5)=ln3 0， f(3)f(4)0， 函数f(x)的零点在（3，4）之间，故选C.,【互动探究】把本例(1)的函数改为方程log3x+x=3,其他不变，判断其解所在的区间. 【解析】构造函数，转化为求函数的零点所在的区间.令f(x)=log3x+x-3,则f(2)=log32+2-3=log3 0,又因为函数f(x)在（0，+）上是连续且单调递增的， 所以方程log3x+x=3的解所在的区间为（2，3）.,【反思感悟】(1)判断函数零点所在的区间，当方程f(x)=0无法解出或函数y=f(x)的图象不易作出时，常用函数零点存在的判定定理判断. (2)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题.,【变式备选】函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( ) (A)（-2，-1） (B)（-1，0） (C)（0，1） (D)（1，2） 【解析】选C.因为f(0)=-10,所以零点在区间 （0，1）上，故选C.,判断函数零点个数 【方法点睛】 判断函数零点个数的常用方法 (1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；,(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.,【例2】(2011陕西高考）函数f(x)= -cosx在0，+) 内( ) (A)没有零点 (B)有且仅有一个零点 (C)有且仅有两个零点 (D)有无穷多个零点 【解题指南】解决本题可转化为两函数y= 和y=cosx在0，+)的交点个数或根据零点存在性定理及函数的性质进行判断.,【规范解答】选B.方法一：数形结合法，令f(x)= -cosx=0,则 =cosx,设函数y= 和y=cosx,它们在0，+)的图象如图 所示，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f(x)= -cosx在0，+)内有且仅有一个零点.,方法二：当x ,+)时， 1,cosx1,所以f(x)= - cosx0;当x(0, 时,f(x)= +sinx0,所以函数f(x)= -cosx是增函数，又因为f(0)=-1, ,所以f(x)= -cosx在x（0, ）上有且只有一个零点.,【反思感悟】在判断函数y=f(x)零点个数时，若方程f(x)=0易解，则用解方程法求解；否则若可转化为两熟悉函数图象交点问题，用图象法求解，但图象画的太粗糙易出现失误；若图象不易画则可利用零点存在的判定定理及函数的性质综合求解.,【变式训练】函数y=sinx-lgx的零点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解析】选D.令函数y=sinx-lgx=0， 即sinx=lgx,设y1=sinx,y2=lgx, 这两个函数的图象的交点个数就是函数的零点的个数，y2=lgx过（1，0）点和（10，1）点，与y1=sinx的交点个数是3，函数的零点的个数是3，故选D.,【变式备选】(1)判断函数f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)是否存在零点； (2)判断函数f(x)= x3+x2+4x在-1，1上零点的个数，并说明理由.,【解析】(1)方法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y=log2(x+2)与函数y=x的图象，观察知：两函数在-1，3上有一个交点，即函数f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)存在零点. 方法二：显然函数f(x)=log2(x+2)-x在-1,3上是连续不断的，f(-1)=log2(-1+2)+1=10,f(3)=log2(3+2)-3=log25-30, f(x)=log2(x+2)-x(-1x3)存在零点.,(2)函数f(x)在-1,1上只有一个零点，显然函数f(x)= x3+x2+4x在-1，1上是连续不断的， f(-1)= (-1)3+(-1)2+4(-1)= 0, f(1)= 13+12+41= 0, 又f(x)=-2x2+2x+4=-2(x- )2+ , 当-1x1时，0f(x) , f(x)= x3+x2+4x在-1，1上是单调递增函数， 函数f(x)在-1,1上只有一个零点.,由函数零点的存在情况求参数的取值 【方法点睛】 已知函数有零点（方程有根）求参数取值常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.,【例3】(2012临沂模拟）已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x0). (1)若g(x)=m有实数根，求m的取值范围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 【解题指南】(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解； (2)转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点，从而数形结合求解.,【规范解答】(1)方法一：g(x)=x+ =2e,等号成立的条 件是x=e,故g(x)的值域是2e,+)，因此，只需m2e,则 g(x)=m就有零点. 方法二：作出g(x)=x+ (x0)的大致图象如图： 可知若使g(x)=m有零点，则只需m2e.,(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有 两个不同的交点，作出g(x)=x+ (x0)的大致图象.,f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2， 其图象的对称轴为x=e,开口向下，最大值为m-1+e2.故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.m的取值范围是（-e2+2e+1,+）.,【反思感悟】有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函数图象交点问题求解.,【变式训练】(2012长沙模拟）已知函数f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d(a0)的图象如图所示. (1)求c,d的值； (2)若x0=5,方程f(x)=8a有三个不同的根，求实数a的取值范围.,【解析】函数f(x)的导函数为f(x)=3ax2+2bx+c-3a-2b. (1)由题干图可知，函数f(x)的图象过点（0，3），且f(1)=0, 得 (2)依题意f(x)=ax3+bx2-(3a+2b)x+3(a0),f(x)=3ax2+2bx- 3a-2b, 由图知f（5）=0，得b=-9a 若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)8af(1) 由得-25a+38a7a+3,解得 a3, 所以，当 a3时，方程f(x)=8a有三个不同的根.,【创新探究】函数零点命题的新考向 【典例】(2011山东高考）已知函数f(x)=logax+x-b(a0,且a1).当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n,n+1),nN*，则n=_. 【解题指南】解答本题可先确定函数f(x)在（0，+）上的单调性，然后根据a,b满足的条件及对数的运算性质探究出f(x)零点所在的区间，从而对照x0(n,n+1),nN*确定出n的值.,【规范解答】23,-b0, f(3)0,即f(2)f(3)0， 由x0(n,n+1),nN*，知n=2. 答案：2,【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们得到以下创新点拨及备考建议：,1.(2011新课标全国卷）在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( ) (A)（ ，0）(B)（0， ）(C)（ ， ）(D)（ ， ） 【解析】选C.f(x)是R上的增函数且图象是连续的，又 , f(x)在（ ）内存在唯一零点.,2.(2011浙江高考）设函数f(x)= 若f(a)=4,则实数a=( ) (A)-4或-2 (B)-4或2 (C)-2或4 (D)-2或2 【解析】选B.当a0时，f(a)=-a=4,a=-4; 当a0时，f(a)=a2=4,a=2.综上，a=-4或2.,3.(2012济宁模拟）已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x- -1的零点分别为x1,x2,x3，则x1,x2,x3的大小关系是( ) (A)x1x2x3 (B)x2x1x3 (C)x1x3x2 (D)x3x2x1 【解析】选A.由已知x1,x2,x3分别为方程x+2x=0，x+lnx=0和x- -1=0的根，亦即方程2x=-x,lnx=-x,- -1=-x的解，在