2014世纪金榜第十四章第三节.ppt

第三节 特征值与特征向量及矩阵的简单应用,1.特征值与特征向量 对于二阶矩阵A，要使实数成为它的一个特征值，必须满足 条件：存在一个非零向量 ，使得_； 非零向量 称为A的属于特征值的一个特征向量的条件是： _. 从几何观点分析，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后， 与原向量保持在同一直线上.0方向_；0方向_ _；0，特征向量就被变换成_.,零向量,相,反,不变,设 是一个二阶矩阵，R,则A的特征多项式为： f()=_=_. 2.矩阵M的n次变换 对于二阶矩阵M，它的特征值分别为1和2，其对应的特征 向量分别为 和 (两者不共线)，则当任一向量 时， = _.,2-(a+d)+ad-bc,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)任意向量都可以作为特征向量.( ) (2)矩阵A的属于特征值的特征向量是惟一的.( ) (3)每一个二阶矩阵都有特征值及特征向量.( ) (4)矩阵A的属于特征值的特征向量共线.( ) (5)矩阵A的特征向量分别为1,2,任意非零向量均可以用1,2表示.( ),【解析】(1)错误.特征向量必须是非零向量. (2)错误.矩阵A的属于特征值的特征向量有无数个. (3)错误.如矩阵 就没有特征值，也就没有特征向量.,(4)正确.若是矩阵A的特征向量，则k(k0)都是矩阵A的特征向量，显然是共线向量. (5)正确.都可以表示为 (其中t1,t2为实数)的形式. 答案：(1) (2) (3) (4) (5),考向 1 二阶矩阵的特征值与特征向量的求法 【典例1】(2012江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A-1= 求矩阵A的特征值 【思路点拨】由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而 求出矩阵A的特征值.,【规范解答】A-1A=E， A=(A-1)-1. 矩阵A的特征多项式为 令f()=0，解得矩阵A的特征值1=-1,2=4.,【互动探究】在本题中，改为求矩阵A的特征向量. 【解析】设矩阵A的特征向量为 当=-1时， 即 得x+y=0.所以矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为 当=4时， 即 得2x=3y. 所以矩阵A的属于特征值4的一个特征向量为,【拓展提升】求一个矩阵的特征值和特征向量的步骤 (1)根据条件写出此矩阵的特征多项式f(). (2)令f()0得特征值. (3)根据特征向量的定义，得二元一次方程组，求得x,y间的关系式，取其一组特殊值，得之.,【变式备选】已知二阶矩阵M有特征值=8及对应的一个特征 向量 并且矩阵M对应的变换将点(-1，2)变换成(-2，4). (1)求矩阵M. (2)求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量e2的坐标之 间的关系.,【解析】(1)设 则 故 又 即 联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4, 故,(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f()=(-6)(-4)-8=2-10+16， 故其另一个特征值为=2. 设矩阵M的另一个特征向量 则 所以 所以矩阵M的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是2x+y=0.,考向 2 二阶矩阵的简单应用 【典例2】设p,q为实数，,是方程x2-px+q=0的两个实根，数列xn满足x1=p，x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn- 2 (n=3,4,) 试用,表示数列xn的通项公式. 【思路点拨】为了探求该数列的通项,我们可以引入辅助数列yn,利用向量 与 之间的特征值,求出数列xn的通项公式.,【规范解答】构造新数列yn,令y1=1,yn=xn-1(n2,nN),则xn=pxn-1-qyn-1， 从而 得转移矩阵 M的特征多项式为 令f()=0.,当时,矩阵的特征值为,代入二元一次方程-x+y=0得对应的一个特征向量分别为 设 则 且+=p,解之得:,由 得 即 特别地,当=时, 综上所述，,【拓展提升】矩阵的作用与应用 一个矩阵是一张由数据(或字母)排列成的表,它能把原本纷繁复杂的事物或数学对象的数学规律简单明了地表示出来,使人一目了然.同时对矩阵施行某些运算，则可以使我们看清事物之间或对象之间蕴含的数学规律.矩阵的简单应用包括生产问题、图论问题、信息学问题、数列问题.,【变式训练】斐波那契数列an满足a1=a2=1,an=an-1+an-2(n3, nN),试求其通项公式. 【解析】设b1=0,bn=an-1(n2,nN),则an=an-1+bn-1,于是向量 之间满足 所得转移矩阵为 M的特征多项式为,故特征值为 代入二元一次方程-x+y=0得 对应的一个特征向量分别为 设 则 解之得:,从而 从而得 即,1.已知矩阵 求矩阵M的特征值及其相应的特征 向量.,【解析】矩阵M的特征多项式为 令f()=0,解得1=1,2=2. 将1=1代入二元一次方程组 解得x=0，y可取任意值. 矩阵M属于1的一个特征向量可以为 同理矩阵M属于2的一个特征向量可以为,2.(2013苏州模拟)已知二阶矩阵A有特征值1=3及其对应的 一个特征向量 特征值2=-1及其对应的一个特征向量 求矩阵A的逆矩阵A-1.,【解析】设二阶矩阵 则有 且 即 且 解得a=1,b=2,c=2,d=1. 从而,3.(2013苏州模拟)求矩阵 的特征值和特征向量.,【解析】f()=(+1)(-6)-8=2-5-14=(-7)(+2), 由f()=0可得：1=7,2=-2. 由 可得 所以属于1=7的一个特征向量为 由 可得 所以属于2=-2的一个特征向量为,4.已知矩阵 其中aR，若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P(-4,0)， (1)求实数a的值. (2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.,【解析】(1)由 得2-2a=-4a=3. (2)由(1)知 则矩阵M的特征多项式为 令f()=0，得矩阵M的特征值为-1或4. 当=-1时， x+y=0, 矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为,当=4时， 2x-3y=0, 矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为,5.(2013扬州模拟)设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换. (1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量. (2)求逆矩阵M-1以及椭圆 在M-1的作用下的新曲线的 方程.,【解析】(1)由条件得矩阵 它的特征值为2和3，对应的一个特征向量分别为 及 (2) 椭圆 在M-1的作用下的新曲线 的方程为x2+y2=1.,6.已知矩阵 向量 (1)求A的特征值1，2和对应的特征向量 (2)计算 的值,【解析】(1)矩阵A的特征多项式为 由f()0，解得12，23. 当12时，解得 当23时，解得,(2)由 得 解得m3，n1. 则,7.已知矩阵 若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为 属于特征值1的一个特征向量为 求矩阵A， 并写出A的逆矩阵.,【解析】由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为 可得 即cd6; 由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为 可得 即3c2d2，解得 即 A的逆矩阵是,8.对任意实数x，矩阵 总