2004普通高等学校招生全国统一考试天津卷文科数学试题及答案

2004年普通高等学校招生天津卷文史类数学试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第卷1至2页，第卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效参考公式：如果事件A、B互斥，那么，如果事件A、B相互独立，那么柱体（棱柱、圆柱）的体积公式其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，那么下列结论正确的是A. B. C. D. 2. 不等式的解集为A. B. C. D. 3. 对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的充分条件4. 若平面向量与向量的夹角是，且，则A. B. C. D. 5. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点若，则A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 96. 若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则A. B. C. D. 7. 若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是A. B. C. D. 8. 如图，定点A和B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且那么，动点C在平面内的轨迹是A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点9. 函数的反函数是A. B. C. D. 10. 函数 为增函数的区间是A. B. C. D. 11. 如图，在长方体中，分别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，若，则截面的面积为A. B. C. D. 12. 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数若的最小正周期是，且当时，则的值为A. B. C. D. 2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第卷（非选择题 共90分）注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚题号二三总分171819202122得分二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品产品数量之比依次为现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有16件那么此样本的容量 14. 已知向量，若与垂直，则实数等于 15. 如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是 16. 从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有 个（用数字作答）三. 解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知（1）求的值；（2）求的值18.（本小题满分12分） 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛（1）求所选3人都是男生的概率；（2）求所选3人中恰有1名女生的概率；（3）求所选3人中至少有1名女生的概率19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，是PC的中点（1）证明平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值20.（本小题满分12分）设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，成等比数列（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式21.（本小题满分12分）已知函数是R上的奇函数，当时取得极值（1）求的单调区间和极大值； （2）证明对任意，不等式恒成立22.（本小题满分14分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程2004年普通高等学校招生天津卷文史类数学参考解答一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. A 7. A8. B 9. D 10. C 11. C 12. D二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分13. 80 14. 15. 16. 36三. 解答题17. 本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力满分12分（1）解：由，有解得（2）解法一：解法二：由（1），得 于是 代入得 18. 本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，满分12分（1）解：所选3人都是男生的概率为 （2）解：所选3人中恰有1名女生的概率为 （3）解：所选3人中至少有1名女生的概率为19. 本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分方法一：（1）证明：连结AC、AC交BD于O连结EO 底面ABCD是正方形 点O是AC的中点在中，EO是中位线 而平面EDB且平面，所以，平面EDB（2）解：作交CD于F连结BF，设正方形ABCD的边长为 底面ABCD F为DC的中点 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角在中， 在中 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点设（1）证明：连结AC，AC交BD于G连结EG依题意得， 底面ABCD是正方形 G是此正方形的中心，故点G的坐标为 这表明而平面且平面EDB 平面EDB（2）解：依题意得，取DC的中点 连结EF，BF ， ， ， 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角在中， 所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为20. 本小题主要考查等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式以及等比中项等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，满分12分（1）证明：因，成等比数列，故而是等差数列，有，于是 即化简得 （2）解：由条件和，得到 由（1），代入上式得故 ，因此，数列的通项公式为，21. 本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，满分12分（1）解：由奇函数的定义，应有，即 因此， 由条件为的极值，必有，故解得，因此，当时，故在单调区间上是增函数当时，故在单调区间上是减函数当时，故在单调区间上是增函数所以，在处取得极大值，极大值为（2）解：由（1）知，是减函数，且在上的最大值在上的最小值所以，对任意的，恒有22. 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线