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文档简介

代数学基础,内容提要 群 环和域 有限域,群,一般来说,一个代数结构是指一个非空集合S以及定义在S上的二元运算的总体,要求二元运算满足一定的条件。,定义 群的定义,.,注意:,有限群和无限群: 如果集合 G 中的元素个数有限,就称群G为 有限群;否则称为无限群。,阿贝尔群 阿贝尔群又称交换群(commutative group),本章中出现的所有群都是指交换群。,举例,下面,我们给出群的一些具体例子。,群的例子(1),整数集 Z 在加法下构成群,记为(Z, +). (Z, +)是一个无限群、阿贝尔群。 有理数集Q、实数集R和复数集C关于加法都形成无限群。单位元,逆元素的定义与整数加法群相同。,群的例子(2),Q、R 和 C中的非零元素在乘法下构成群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。 这三个群的完整表示是(Q*, , (R*, , (C*, 。 将这些群称为乘法群。,群的例子(3),对任意自然数 n , 整数模 n 集合构成一个包含 n 个元素的有限加法群,这里的加法运算是模 n 加,将这个群记为Zn 。 这个群的完整表示为(Zn,+(mod n)). 注意: Zn 是 Z/nZ的简化表示。,群的例子(4),时钟上表示小时的数字在模12加法下构成群Z12 , 将( Z12 , +(mod 12)称为时钟群。,群的例子(5),Zn=0, 1, 2, , (n-1) Zn中所有与 n 互素的的元素是Zn的一个子 集, 这个子集按照模 n 乘法运算构成一个群,用Zn*表示。 例如, (Z15*, (mod15) ) = (1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, (mod15) ),群的例子(6),集合B=0,1,在异或运算下形成群。,群的例子(7),x3 -1=0的根在乘法运算下构成一个有限群。 x =1是方程的一个解,该方程有三个根。 用u和v表示其它两个根。由于 x3 -1=(x-1)(x2 + x + 1) 则u和v是 x2 + x + 1=0的两个根。 由二次方程根与系数的关系, u和v互逆。 封闭性: (x2)3 1 =0 。,群的例子(8),置换群 S=1,2,n Sn是S上所有置换构成的集合 | Sn |=n! , 是Sn中置换, 表示和的复合, 即(x)=(x) Sn构成群, 称为n阶对称群.,置换的表示 = = =,(1234)(56) = = (132) (1432) = (1423),重复群运算的简化表示,群的性质,子群,子群,对于群 G 的一个非空子集H,要判别H是否是G的子群,需要验证4条: 封闭性 结合律(不必验证) 单位元 逆元素,子群的例子(1),在加法运算下,Z Q R C. 注意,在这个例子中: 子群中的单位元和群中的单位元相同,都是0 子群中元素的逆元素和群中该元素的逆元素一致,子群的例子(2),全体偶数的集合(包括0),在加法运算下,是整数加法群的一个子群。因此也是 (1)中所有群的子群。,子群的例子(3),在乘法运算下, Q* R* C*。,子群的例子(4),子群的例子(5),B=0,1在异或运算下是一个群。 0是B的一个真子群 1不是B的子群,子群的例子(6),设G是一个群,e是它的单位元 e和G是群G的两个平凡子群。,群的阶,有限群G中元素的个数称为G的阶,记为#G. #Zn = n B=0,1按照异或运算,#B = 2 #Roots (x3-1) = 3,子群中的单位元,在我们给出的例子中,子群的单位元就是包含它的群的单位元! 事实上,对任意子群都有这样的结论成立: 证明: 设H是G的一个子群,H中的单位元为eH,G 中的单位元为eG。那么,在H中,有eH 。eH = eH; 在G中,有eH 。eG = eH。从而可得到eH = eG。,子群中的逆元素,由于eH = eG,因此子群H中元素的逆元正是它在G中的逆元。,子群的判别 (1),子群的判别方法:,子群的判别(2),设H是群G的一个非空子集, H是G的子群的充要条件是对任意的元素x, y H, 有xy-1 H.,子群的判别 (3),当 H 是一个有限集合时,判别会变得容易些,只需满足封闭性即可:,拉格朗日定理,陪集(Coset)的定义,拉格朗日定理:,商群的概念,注: 此处,首先应说明商群上的运算是一个二元运算。 实际上,商群上的运算可以看作集合之间的乘法运算,因为:,商群的例子(1),设 n0 是一个整数,在加法运算下,集合 nZ=0, n, -n, 2n, -2n,是Z的一个子群, 那么商群 Z/nZ=x+nZ | x为任一整数 有n个元素,即 Z/nZ=0+nZ,1+nZ,n-1+nZ 可以看出Z/nZ=Zn 事实上,Z/nZ是Zn的正式和标准记法,为了表达的方便, 用Zn代替Z/nZ。,商群的阶,商群的例子(2),群元素的阶,注:当一个元素g的阶ord(g)有限时,如果有gn =e成立,则必有ord(g)|n,即n一定是ord(g)的倍数。,例子(1),在时钟群Z12中: 12是满足112=0 (mod 12)的最小正整数,所有ord(1)=12; 类似地,ord(2)=6,ord(3)=4,ord(4)=3, ord(5)=12。,例子(2),0, 1关于异或运算形成一个群,ord(0)=1, ord(1)=2.,例子(3),在群Roots(x3-1)中,o

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