概率论与数理统计7.27.3.ppt

第二节 估计量的评选标准,一、无偏估计,因为,所以， 是总体数学期望的无偏估计量。,解,设总体的数学期望为,则,解,所以，样本的二阶中心矩不是总体方差的无偏估计。,但任意一个无偏估计的方差不可能无限制 地小，在样本容量一定时，它有一个下限值。 设总体X的概率密度函数为,样本容量为n,则,二、有效估计,中，哪一个估计量最有效？,解,比较上述估计量的方差，可见,证明 由题可知X的分布列为,是总体数学期望的无偏估计。又,对参数求偏导数得,则,又,因此，的无偏估计方差下界为,所以,三、一致估计,证明 设,由大数定理可知:,总结：从统计方法要求来看，我们自然要求一个估计量具有一致性，然而，用一致性来评价估计量好坏时，要求样本容量充分地大，但这一点在实际中往往办不到。无偏性直观、简便，但它不能体现与真值的偏离程度。有效性无论在直观上或理论上都比较合理。所以在使用上，这是用得比较多的一个评价标准。,所以，样本均值是总体均值的一致估计。,第三节 区间估计,则称随机区间 是参数 的 的置信区间或区间估计， 分别称为,及,设总体,1、方差 已知时，均值 的区间估计,一、正态总体均值的区间估计,故随机变量,即,于是有,因此，参数 的置信度是 的置信区间为,总结：1、置信度越大，置信区间越宽，降低了 精度。应适当选取 。 2、当X非正态总体时，在大样本下仍然 可用上述区间作为 的置信区间。,中心极限定理,例1 某厂生产滚珠，从某天生产的产品中随机抽取6个，测得直径为（单位： ）： 14.6 , 15.1,14.9,14.8,15.2,15.1 并知道滚珠的直径 ,求平均直 径 的 置信区间。,由正态分布表查得,使得,解:,这是一个正态总体,已知方差,由前面结 论即可求出置信区间,由样本观察值得,置信下限:,置信上限:,因此, 的置信度为0.95的置信区间是 (14.75,15.15)。,其中,t分布是对称的,对给定的 分布 查表得自由度为n-1的t分布的分位数,使得,2、方差 未知时，均值 的区间估计,由抽样分布可知：,即,从而,故得参数 的置信水平为 的置信区间为,例2 假设初生婴儿的体重服从正态分布,随机抽取12名初生男婴,测得其体重为(单位:g):,2520 3000 3000 3000 3160 3560 3320 2880 2600 3400 2540,试以95%的置信度求初生男婴的平均体重的区间估计。,由样本观察值得,这是一个正态总体，方差未知，求总体 均值的区间估计问题，由上面结论可求出,查分布表得,因为,解,因而得到初生男婴平均体重的95%置信区间为 （2820，3300）,前面讨论的总体均值的置信区间，其置信 限都是双侧的，在有些实际问题中，例如某元件的使用寿命，平均寿命长没有问题，太短就不行。在这种情况下，可将置信上限取为 ，而只考虑置信下限。这种估计方法称为单侧置信限的估计法。,注：,，由 分布表查得,二、正态总体方差的区间估计,又,此分布完全确定，与未知参数无关，对给定的,即,故得 的 置信区间为：,从而， 的 置信区间为,例3 为确定某种溶液中甲醛浓度，取样得4个独立测定值的平均值 ，样本标准差 ，并设被测总体近似服从正态分布，求总体方差 的 置信区间，及总体标准差 的 置信区间。,因为,由 分布表查得,所以,解,又已知,1、方差 已知时，求 的区间估计,因为,三、两个正态总体均值差的估计,设有两个正态总体X和Y，且 及,是分别从总体X和总体Y中抽取的两个独立样本,和 分别为两个样本的均值和方差，下 面求 的 置信区间。,两个样本相互独立，故有,从而,即,从而得到 的 置信区间,2、若 未知时，求 的 区间估计,设,由抽样分布知:,对于给定的 ，由t分布表查得,，使得,从而得 的 置信区间为,下面求正态总体的方差之比 的区间估计。,四、两个正态总体方差比的置信区间,设两个正态总体X和Y，,是分别从总体X和总体Y中抽取的两个独立样本,由抽样分布知,和,又两个样本相互独立，由F分布的定义有,对于给定的 ，由F分布表查得,使得,则,即,所以 的 置信区间为,以上介绍了一些常用的置信区间，下面我们给出非正态总体参数估计的一个例子：,总体服从（0-1）分布，因