《大学概率统计》PPT课件.ppt

第四章 随机变量的数字特征,一. 数学期望 二.方差 三. 协方差、相关系数,1 随机变量的数学期望,例：一射击选手进行打靶练习，规定射入区域e2得2分，射入区域e1得1分，射入区域e0得0分。该选手总共射击N次， a0次得零分， a1次得1分， a2次得2分。求该选手的平均成绩？,(p79)若离散型r.v. XPX=xk=pk, k=1,2,且,，则称,为r.v.X的数学期望, 简称期望或均值。,数学期望描述随机变量取值的平均特征,若连续型r.v.Xf(x),为X的数学期望。(P79),则称,几个重要r.v.的期望,1.0-1分布的数学期望,2. 二项分布b(n, p),EX=p,3.泊松分布,4.均匀分布U(a,b),5.指数分布,6. 正态分布N(,2),解:,Y,Pk,1 0,随机变量函数的期望,EX1：设随机变量X的分布律为,求: 随机变量Y=X2的数学期望.,X,Pk,-1 0 1,定理1: 若 XPX=xk=pk, k=1,2, 则Y=g(X)的期望 E(Y) 为(p81),推论: 若(X,Y)PX=xi ,Y=yj=pij, i,j=1,2, , 则 Z=g(X，Y)的期望为,解:,(p82)定理2 若Xf(x), -x, 则Y=g(X)的期望,推论： 若(X, Y) f (x, y), -x, -y, 则Z=g(X, Y)的期望,EX,设X服从N(0,1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4).,解：,E(XY),1. E(c)=c, c为常数;,证明: 设Xf(x), 则,数学期望的性质(P83),2. E(cX)=cE(X), c为常数;,3. E(X+Y)=E(X)+E(Y);,证明: 设(X,Y)f(x,y),4. 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).,证明: 设(X,Y)f(x,y),例6 若Xb(n,p), 求 E(X).,解: 设X为n重贝努里试验中事件A发生的次数，P(A)=p,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,令,答:,答:,解：设r.v.X为掷一色子10次，所得点数之和。,Xi (i=1,2,10)为第i次掷得的点数。,则：,Xi 的分布律为,Xi,Pk,1,2,3,4,5,6,？,如何定义？,2 方差,方差是衡量随机变量取值波动程度 的一个数字特征。,可见,(p85) 若EX-E(X)2存在，则称 EX-E(X)2 为r.v. X的方差，记为D(X)或Var(X).,称 为r.v.X的标准差或均方差.,证明: D(X)=EX-E(X)2,推论 D(X)=E(X2)-E(X)2.,证明:,方差的性质(P87),(1) D(c)=0 反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 PX=C=1.,证明:,X与Y独立,(3) 若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);,2. 二项分布b(n, p)：,几个重要r.v.的方差(P90),1.0-1分布的数学期望,EX=p,DX=p(1-p),解法:,设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,3. 泊松分布()：,4. 均匀分布U(a, b)：,5.指数分布：,6. 正态分布N(, 2)：,1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，方差都是1。,2.已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，且每个 Xi的期望都是0，方差都是1,令Y=X1+X2+Xn，求E（Y2）,思考,切比雪夫不等式(P87),若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有,这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式：,解: 由切比雪夫不等式,令,已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,?,当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。,？,“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？,3 协方差及相关系数,一、协方差定义与性质,若r.v. X的期望E(X)和Y的期 望E(Y)存在, 则称 Cov(X, Y)=EXE(X)YE(Y) 为X与Y的协方差, 易见 Cov(X, Y)=E(XY) - E(X)E(Y). (P91),证:,例1 设(X, Y)在D=(X, Y)：x2+y21上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。,故, X与Y不独立.,协方差性质 (P92) (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X); (2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,c)=0 (3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为 常数,(4) Cov(X+Y，Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z); (5) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y).,D(X-Y)=DX+(-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y),(6),EX:设随机变量XB（12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,分别求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差及V和W的协方差。,二、相关系数,若r.v. X，Y的方差和协方差均存在, 且DX0,DY0，则,称为X与Y的相关系数. (P93),相关系数的性质 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常数a, b 使PY= aX+b=1； (3) X与Y不相关 XY=0;,EX1,D,1,x=y,解：,设(X,Y)服从区域 D: 0x1,0yx 上的均匀分布,求X与Y的相关系数.,EX2,解：,P97,若（X，Y）服从二维正态分布， 则：X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。,4 矩与协方差矩阵(p98),1. K阶(原点)矩 E(Xk), k=1, 2, 2. K 阶中心矩 EX-E(X)k, k= 2, 3. K+l 阶混合原点矩 E(Xk Yl), k, l=1, 2, 4. K+l 阶混合中心矩 EXE(X)kYE(Y)l, k, l=1, 2, ,5 n 维正态分布(P100）,1.,相互独立正态随机变量的线性组合还是正态随机变量。即,若X1，Xn相互独立，且,则对任意常数1 ，n,，,2.,r.v.( X1， , Xn )T服从n维正态分布的充要条件 是X1， , Xn的任意线性组合l1 X1+ ln Xn服从 一维正态分布。,例1 一架小飞机可载客9人，其载重量为750千克