正态总体均值的假设检验.ppt

第八章 第二节 正态总体均值的假设检验,一、单个正态总体N(,2)均值的检验,(I) H0:= 0 H1: 0,设X1,X2, ,Xn为来自总体N(,2)的样本. 求:对以上假设的显著性水平=的假设检验.,方差2已知的情况 根据第一节例1,当原假设 H0:=0 成立时,有:,于是当原假设 H0:=0 成立时,有:,方差2未知的况 根据定理,以上检验法叫U检验法.,n=10, =0.05, 0=10 t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622,以上检验法叫t检验法.,例 1 (用例中数据,但未知),上一段 H0:= 0 H1: 0 中 H1:0叫双边对立假设,上一段我们学习的叫双边检验.,接受原假设 H0:=10.,(II)单边检验 H0:=0 H1:0,问题的来源:,而 H0:= 0 H1:0 中 我们要处理的假设检验叫右边检验. 类似, H0:= 0 H1:0 中 我们要处理的假设检验叫左边检验. 这种形式的假设检验问题叫单边检验.它们也很有实用意义. 例如:工厂生产的一种产品的某项指标平均值为0 ,采用了新技术或新配方后,被认为产品质量提高了,该指标的平均值应该随之上升. 我们想看看是否有显著上升.,于是问题就是检验: H0:=0 即新技术或新配方对于提高产品质量无效果. 还是 H1:0 即新技术或新配方确实有效,提高了产品质量.,解决问题的思路:,如果=0,即原假设成立时,那么:,就不应该太大.反之,如果它过于大,那么想必是原假设不成立.,方差2 已知的情况,求解:,当原假设 H0:=0 成立时,有:,于是当原假设 H0:=0 成立时,有:,方差2未知的情况,某厂生产一种工业用绳,其质量指标是绳子所承受的最大拉力.假定该指标服从正态分布. 原来该厂生产的这种绳子平均最大拉力0 =15公斤.现在采用了一种新的原材料,厂方称这种原材料提高了绳子的质量,也就是说绳子所承受的最大拉力比15公斤大了. 为了检验该厂的结论是否真实,从其新产品中随机抽取50件,测得它们承受的最大拉力的平均值为15.8公斤,样本标准差S=0.5公斤.取显著性水平 =0.01.,例 2,问从这些样本看,我们能否接受厂方的结论,即新原材料是否确实提高了绳子的质量?,问题归结为检验如下假设 H0:=15 H1:15 (方差2未知) 此处n=50, =0.01,标准差S=0.5.,解:,我们拒绝原假设,认为新的原材料确实提高了绳子所能承受的最大拉力.,查不到t49(0.01),利用性质: 给定 ,tn()关于自由度n是单调下降的. 我们查t45(0.01)=2.41, 则 t49(0.01) t45(0.01)=2.41,二、两个正态总体N(1 ,12)和 N(2 ,22)均值的比较,在应用上,我们经常会遇到两个正态总体N(1,12)和N(2,22)均值的比较问题.譬如:,欲比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量. 我们把两厂生产的产品的质量指标分别看成两个正态总体N(1,12)和N(2,22).比较它们的产品质量指标的问题,就变为比较这两个正态总体的均值1和2的问题. 欲考察一项新技术对提高产品质量是否有效. 我们把新技术实施前后生产的产品质量指标分别看成一个正态总体N(1,12)和N(2,22).这时,我们所考察的问题,就归结为检验这两个正态总体的均值1和2是否相等的问题.,设X1,X2 , ,Xm . Y1,Y2 , ,Yn分别为来自正态总体N(1,12)和N(2,22)的样本.考虑检验假设:,根据定理7.5.1,(I) H0: 1= 2 H1: 12,（1）方差12和22已知的情况,当H0:1= 2为真时,当H0:1= 2为真时,拒绝域为,（2）方差12=22 =2 但2未知的情况,根据定理5.1,当H0:1= 2 为真时,拒绝域为,其中:,上面,我们假定12=22.当然,这是个不得已加上去的条件.但如果不加此条件,就无法使用简单易行的t检验了. 在实用中,只要我们有理由认为12和22相差不是太大就可以使用上面方法.通常是如果方差比检验未被拒绝(见下节),就认为12和22相差不是太大.,上面,我们假定12=22.当然,这是个不得已加上去的条件.但如果不加此条件,就无法 使用简单易行的t检验了. 在实用中,只要我们有理由认为12和22相 差不是太大就可以使用上面方法.通常是如果方差比检验未被拒绝(见下节),就认为12和22相 差不是太大.,说明,假设有A,B两种药,欲比较它们在 服用2小时后血液中的含量是否一样. 对药品A,随机抽取8个病人,他们服药2小时后,测得血液中药的浓度(用适当的单位)为: 1.23,1.42,1.41,1.62,1.55,1.51, 1.60,1.76. 对药品B,随机抽取6个病人,他们服药2小时后,测得血液中药的浓度为: 1.76,1.41,1.87,1.49,1.67,1.81. 假定这两组观测值抽自于具有共同方差的两个正态总体.在显著性水=0.10下, 试检验病人血液中这两种药的浓度是否有显著不同?,例3,接受原假设.即认为病人血液中这两种药浓度无显著差异.,解:,问题就是从总体 XN(1,2)和YN(2,2).分别抽取样本X1,X2 ,X8 和 Y1,Y2 ,Y6. 其样本均值,样本方差分别算得为:,与(I)分析完全类似,得到:,(II)单边检验 H0: 1= 2 H1: 12,方差12和22已知的情况,拒绝域为:,方差12=22 =2 但2未知的情况,拒绝域为:,类似(一)(II)的分析,拒绝域和 H0: 1= 2 H1: 12 是一样的.,两个正态总体与成对数据的区别 两个正态总体假定来自这两个正态总体的两组样本是相互独立的. 成对数据两组样本是来自对同一个总体上的重复测量,它们是成对出现的且是相关的.,(II)单边检验 H0: 12 H1: 12,三、成对数据的t检验,例如:为了考察一种降血压药的效果,测试了n个高血压病人服药前后的血压分别为 X1,X2 , ,Xn 和Y1,Y2 , ,Yn . 这里(Xi ,Yi)是第i个病人服药前和服药后的血压.它们是有关系的,不会相互独立. 另一方面, X1,X2 , ,Xn 是n个不同病人的血压,由于各人体质诸方面的条件不同, 这n个观测值不能看成来自同一个正态总体的样本.同样,Y1,Y2 , ,Yn也不能看成来自同一个正态总体的样本. 这样的数据称为成对数据.,(Xi ,Yi)是在同一个人身上观测到的血压, Xi-Yi就消除了人的体质诸方面的条件差异,仅剩下降血压药的效果. 我们可以把di=Xi-Yi, i=1,2,n.看成来自正态总体N( , 2)的样本. 其中就是降血压药的平均效果. 一般的成对数据同样也是这样转变的.用(一)中所学,就是作检验: H0:= 0 H1: 0 H0:=0 H1:0 H0:0 H1:0,处理成对数据的思路,为了检验A,B两种测定铁矿石含铁量的方法是否有明显差异,现用这两种方法测定了取自12个不同铁矿的矿石标本的含铁量(%),结果列于表8.2.1. 问这两种测定方法是否有显著差异?取=0.05.,通常是方差2未知的情况,这个检验通常称为成对t检验.,例4,将方法A和方法B的测定值分别记为 X1,X2 , ,X12 和Y1,Y2 , ,Y12 .,解:,这12个标本来自不同铁矿, X1,X2 , ,X12 不能看成来自同一个总体的样本, 同理,Y1,Y2 , ,Y12也不能看成来自同一个总体的样本.故需用成对t检验.记 di=Xi-Yi, i=1,2,12.,所以我们接受原假设,即认为两种测定方法无显著性差异.,假设检验和区间估计的关系,请看演示,假设检验和区间估计,提出 假设,根据统计调查的目的, 提出 原假设H0 和备选假设H1,作出 决策,抽取 样本,检验 假设,对差异进行定量的分析， 确定其性质(是随机误差 还是系统误差. 为给出两