高中数学导数及其应用1.2导数的计算1.2.2导数的运算法则课件新人教A版.pptx

主题1 导数的运算法则 利用导数的定义分别求y=5+x，y=5x,y= 的导数.,提示：(1) =1， =1.故y=5+x的导数为1. (2) =5， =5.故y=5x的导数为5.,(3) ， . 故y= 的导数为 .,结论：导数的运算法则 1.函数和差的导数，f(x)g(x) =_. 2.函数积的导数，f(x)g(x) =_.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),3.函数商的导数， _ (g(x)0). 推论：常数与函数的积的导数，cf(x)=_.,cf(x),【微思考】 1.导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？ 提示：成立.有时可先化简再求导.,2.在导数的运算法则中，f(x),g(x)是否能是常数函数？ 提示：可以.例如，若y=f(x)c，则y=f(x); 若y=af(x)，则y=af(x); (f(x)0).,主题2 复合函数的导数 1.y=ln(x+2)的结构特征是什么？ 提示：令u=x+2，则y=ln u. 因此y=ln(x+2)可看成是由u=x+2和y=ln u复合而成的.,2.如何求y=ln(x+2)的导数？ 提示：由y=ln(x+2)的结构特征，可考虑由外向内求 导数.令u=x+2,则y=ln u，因此yx=yuux= (ln u)(x+2)= .,结论： 1.复合函数 对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果 _，那么称这个函数 为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作y f(g(x).,通过变量u，y可以表示成x的函数,2.求导法则 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u)和u=g(x)的导数间的关系为yx=yuux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.,【微思考】 求解复合函数的导数时，关键点是什么？ 提示：理清层次，逐层使用求导法则求解.,【预习自测】 1.下列求导运算正确的是( ) A.( )1 B.(log2x) C.(3x)3xlog3e D.(x2cos x)2sin x,【解析】选B.( ) ； (3x)3xln 3；(x2cos x)(x2)cos x x2(cosx)2xcos xx2sin x.,2.当函数y= (a0)在x=x0处的导数为0时，那么x0等于( ) Aa Ba C-a Da2,【解析】选B. y= ,由x20-a2=0得x0=a.,3.f(x)=ln cos2x的导数是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选D.因为f(x)=ln cos2x, 所以f(x)= .,4.函数y 的导数是( ) A. B. C. D.,【解析】选C. = .,5.函数f(x) 的导数为_. 【解析】f(x) . 答案：,类型一 利用运算法则求函数的导数 【典例1】(1)(2016天津高考)已知函数 f(x)=(2x+1)ex,f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的 值为_.,(2)求下列函数的导数： y=x3+log2x; y=(x-2)2(3x+1)2; y=2xln x; y= .,【解题指南】(1)求出f(x)，代入x=0即可. (2)分析各个函数解析式的特点，应用和、差、积、商的导数法则求导.,【解析】(1)因为f(x)=(2x+3)ex，所以f(0)=3. 答案：3,(2)因为y=x3+log2x，所以y= . 因为y=(x-2)2(3x+1)2=(3x2-5x-2)2， 所以y=36x3-90x2+26x+20.,因为y=2xln x,所以y= . 因为y= ， 所以y= .,【方法总结】利用导数的公式及运算法则求导思路,【拓展】以y=f(x)g(x)h(x)为例，讨论连续多个函数的积如何求导？,提示：(1)利用整体思想，化为两个函数的积求导， 即：y=f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x)h(x)， 从而y=f(x)g(x)h(x) +f(x)g(x)h(x). (2)展开化简y=f(x)g(x)h(x)，转化为多项式，利 用和、差的导数法则求导.,【补偿训练】求下列函数的导数： (1)y= . (2)y= .,【解析】(1)y= = .,(2)y= = .,【巩固训练】求下列函数的导数： (1)y= cos x.(2)y=x-sin cos .,【解析】(1)y= = = = .,(2)因为y= ， 所以y= .,类型二 求复合函数的导数 【典例2】(1)已知函数f(x)= ,求其导数. (2)设函数f(x)cos( x)(0)，且f(x) f(x)为奇函数. 求的值； 求f(x)f(x)的最值.,【解题指南】(1)f(x)= 是y=eu与u=-ax2+bx的复合. (2)先求出函数f(x)cos( x)(0)的导 数，再利用f(x)f(x)为奇函数求的值，进而求 出f(x)f(x)的最值.,【解析】(1)令u=-ax2+bx,则y=eu. yx=yuux =eu(-ax2+bx) =eu(-2ax+b) = (-2ax+b).,(2)f(x)f(x)cos( x)sin( x) ( x) cos( x) sin( x) 2sin( x+ ). 因为0，f(x)f(x)是奇函数，所以 .,由知f(x)f(x)2sin( x)2sin x， 故f(x)f(x)的最大值是2，最小值是2.,【方法总结】求复合函数的导数的步骤 (1)适当选定中间变量，正确分解复合关系. (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导). (3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数. 即：分解求导回代.,【巩固训练】求下列函数的导数： (1)y . (2)y . (3)y . (4)y5log2(2x1).,【解析】(1)设y ，u12x2， 则y( ) (12x2)( ) (4x) .,(2)设yeu，usin v，vaxb， 则yxyuuvvxeucos va acos(axb) .,(3)设yu2，usin v，v2x ， 则yxyuuvvx2ucos v2 4sin vcos v2sin 2v . (4)设y5log2u，u2x1，则y 5(log2u)(2x1) .,【补偿训练】指出下列函数的复合关系： (1)ysin x3. (2)y . (3)y .,【解析】函数的复合关系分别是(1)ysin u，ux3. (2)ycos u，u . (3)y ，u2cos v，v3x.,类型三 求导法则的综合应用 【典例3】(1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)=e-x-1-x，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程是_.,(2)已知曲线y= . 求：曲线在点P(2，4)处的切线方程. 曲线上与直线4x-y-3=0平行的切线方程.,【解题指南】(1)先求出f(x)当x0时的解析式,然后再求切线. (2)先求出y= 的导数，再利用导数的几何意义求出在点P(2，4)处的切线方程和与直线4x-y-3=0平行的切线方程.,【解析】(1)设x0,则-x0,因为x0时， f(x)=ex1x，所以f(x)= ，又因为f(x) 为偶函数，所以f(x)= ，f(x)= ，f(1)= ，所以切线方程为y2=2(x1)， 即：2xy=0. 答案：2xy=0,(2)因为P(2，4)在曲线 上，且y=x2, 所以在点P(2,4)处的切线的斜率为4. 所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2). 即4x-y-4=0.,设切点坐标为(x0,y0)，则切线斜率为x20，由题意得x20=4， 所以x0=2或-2，切点(2,4)或( )， 所以切线方程为y-4=4(x-2)或y+ =4(x+2)， 即4x-y-4=0或12x-3y+20=0.,【延伸探究】本例(2)中的条件不变，把在点P(2，4)处的切线方程改为过点P(2，4)的切线方程，结果是什么？,【解析】设曲线y= 与过点P(2，4)的切线相切 于点A(x0, )，则切线的斜率为x20，所以切线方 程为y- =x20(x-x0)，即y=x20x- + . 因为点P(2，4)在切线上，所以4=2x20- + ，即 x30-3x20+4=0，所以x30+x20-4x20+4=0,所以x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,所以(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=-1或x0=2，故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.,【方法总结】求曲线在某一点处切线方程的一般步骤 (1)根据曲线的解析式求出导数. (2)代入切点横坐标求出切线的斜率. (3)利用点斜式写出切线的方程.,【巩固训练】已知曲线f(x)=x3-3x,过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程.,【解析】设切点为(x0,y0), 则由导数定义得切线的斜率k=f(x0)=3x20-3, 所以切线方程为y=(3x20-3)x+16， 又切点(x0,y0)在切线上，所以y0=3(x20-1)x0+16, 即x30-3x0=3(x20-1)x0+16,解得x0=-2, 所以切线方程为9x-y+16=0.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 函数的求导方法 (1)公式法：即直接利用基本初等函数求导公式求导. (2)运算法则法：将函数转化为基本初等函数的和、差、积、商，然后运用求导法则求导. (3)复合函数求导法：利用复合函数求导法则求导.,拓展类型:曲线的公切线 【典例】已知定义在正实数集上的函数 f(x)= ,g(x)= (a0),设两曲线 f(x),g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同. (1)若a=1，求b的值. (2)试写出b关于a的函数关系式.,【解题指南】先设公共点的坐标，利用切点处的导数相等建立关系式.,【解析】(1)设f(x)，g(x)的公共点为(x0，y0)，因为 y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点 (x0,y0)处的切线相同，且f(x)=x+2，g(x)= ，,所以f(x0)=g(x0),f(x0)=g(x0)， 所以 由x0+2= ，得x0=1或x0=-3(舍去)，即有b= .,(2)设f(x)，g(x)的公共点为(x0，y0)，因为y=f(x)与 y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同，且f(x)=x+2a,g(x)= ，,所以f(x0)=g(x0